第一講 行程問題
走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量：
距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等；
速度在單位時(shí)間內(nèi)（例如1小時(shí)內(nèi)）行走或移動(dòng)的距離；
時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.
這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：
距離=速度×?xí)r間
很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如
總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).
工作量=工作效率×?xí)r間.
因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.
當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.
這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
一、追及與相遇
有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，
甲走的距離-乙走的距離
= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間
=（甲的速度-乙的速度）×?xí)r間.
通常，“追及問題”要考慮速度差.
例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？
解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.
此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此
所用時(shí)間=9÷6＝1.5（小時(shí)）.
小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是
面包車速度是 54-6＝48（千米/小時(shí)）.
城門離學(xué)校的距離是
48×1.5＝72（千米）.
答：學(xué)校到城門的距離是72千米.
例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)？
解一：可以作為“追及問題”處理.
假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分鐘）?
因此，小張走的距離是
75× 20＝ 1500（米）.
答：從家到公園的距離是1500米.
還有一種不少人采用的方法.
家到公園的距離是
一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.
例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上；如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？
解一：自行車1小時(shí)走了
30×1-已超前距離，
自行車40分鐘走了
自行車多走20分鐘，走了
因此，自行車的速度是
答：自行車速度是20千米/小時(shí).
解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差
1小時(shí)與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：
馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是
35- 15＝ 20（千米/小時(shí)）.
解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.
例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？
解：畫一張簡單的示意圖：
圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4＝4（千米）.
而爸爸騎的距離是 4＋ 8＝ 12（千米）.
這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4＝3（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.
但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了
4＋12＝16（千米）.
少騎行24-16＝8（千米）.
摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.
8＋8＋16＝32.
答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.
下面講“相遇問題”.
小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么
甲走的距離+乙走的距離
=甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間
=（甲的速度+乙的速度）×?xí)r間.
“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.
例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？
解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12＝3（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是
36÷（3＋1）＝9（分鐘）.
答：兩人在9分鐘后相遇.
例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.
解：畫一張示意圖
離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米
小張比小王每小時(shí)多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是
2÷（5-4）＝2（小時(shí)）.
因此，甲、乙兩地的距離是
�。�5＋ 4）×2＝18（千米）.
本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎？對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.
請?jiān)倏匆粋�(gè)例子.
例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.
解：先畫一張行程示意圖如下
設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.
下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.
在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12＋ 16＝ 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)
�。ɑ駿點(diǎn)）相遇所用時(shí)間是
28÷5＝ 5.6（小時(shí)）.
比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6＝0.4（小時(shí)）.
甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4＝30（千米/小時(shí)）.
同樣道理，乙的速度是
16÷0.4＝40（千米/小時(shí)）.
A到 B距離是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： A，B兩地距離是 420千米.
很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.
例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).
問：（1）小張和小王分別從A， D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇？
�。�2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米？
解：（1）小張從 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分鐘）；當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10＝15（分鐘），走了
因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是
2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分鐘）.
從出發(fā)到相遇的時(shí)間是
25＋ 15＝ 40 （分鐘）.
（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).
小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走
小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1（千米）.
答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.
二、環(huán)形路上的行程問題
人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).
例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
�。�1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？
�。�2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是
500÷1.25-180=220（米/分）.
（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個(gè)周長），因此需要的時(shí)間是
500÷（220-180）＝12.5（分）.
220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.
例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長.
解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是
80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：這個(gè)圓的周長是360米.
在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).
例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？
解：畫示意圖如下：
如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是
40×3÷60＝2（小時(shí)）.
從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了
6×2-2＝10（千米）.
小王已走了 6＋2=8（千米）.
因此，他們的速度分別是
小張 10÷2＝5（千米/小時(shí)），
小王 8÷2=4（千米/小時(shí)）.
答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).
例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？
解：畫示意圖如下.
第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了
3.5×3＝10.5（千米）.
從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇處，離乙村
8.5-7.5=1（千米）.
答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.
下面仍回到環(huán)行路上的問題.
例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？
解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：
12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.
出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了
此時(shí)兩人相距
24-（8＋11）=5（千米）.
由于從此時(shí)到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是
5÷（4＋6）＝0.5（小時(shí)）.
2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.
答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.
例14 一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？
解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.
30÷（5-3）＝15（秒）.
因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
90÷（5-3）＝45（秒）.
B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
15，，105，150，195，……
再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.
第一次是出發(fā)后
30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要
90÷（10-5）＝18（秒），
A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是
6，24，42，，78，96，…
對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.
答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.
請思考， 3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？
例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求
解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.
設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.
根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出
分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.
從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.
PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間
=DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間
=18-12
=6.
而（PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間）是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得
PC上所需時(shí)間是（24+6）÷2＝15，
PD上所需時(shí)間是24-15＝9.
現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有
BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間
=P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間
=（9＋18）-12
= 15.
BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間
=16.
立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.
從這一例子可以看出，對要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.
三、稍復(fù)雜的問題
在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：
�。�1）在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn)；
�。�2）靈活地運(yùn)用比例.
例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？
解：畫一張示意圖：
圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于
這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）.
這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要
130÷2=65（分鐘）.
從乙地到甲地需要的時(shí)間是
130＋65=195（分鐘）＝3小時(shí)15分.
答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.
上面的問題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡明些.
例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時(shí)，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？
解：先畫一張示意圖
設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：
騎車從家開始，步行從B點(diǎn)開始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.
具體計(jì)算如下：
不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是
1＋1.5＝2.5（單位）.
每個(gè)單位是 2000÷2.5＝800（米）.
因此，從公園到家的距離是
800×1.5＝1200（米）.
答：從公園門口到他們家的距離是1200米.
這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請?jiān)倏匆焕?
例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開出，相向而行.經(jīng)過5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間？
解：畫一張示意圖：
設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5（小時(shí)）.我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.
有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.
慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢？去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛3×7=21（單位）.從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1＝14（單位）.
現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是
14÷（2＋3）＝2.8（小時(shí)）.
慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了
7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小時(shí)）.
答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.
例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來時(shí)順?biāo)热r(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.
解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們在B之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖
第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.
為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭�，與C至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此
順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.
由于兩者速度差是8千米.立即可得出
A至B距離是 12＋3=15（千米）.
答：A至B兩地距離是15千米.
例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的
解一：畫出如下示意圖：
當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的
到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分
時(shí)20分相當(dāng)于
因此就知道，汽車在第一段需要
第二段需要 30×3＝90（分鐘）；
甲、乙兩市距離是
答：甲、乙兩市相距185千米.
把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.
還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.
第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.
時(shí)間一樣.
第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.
因此，三段路程所用時(shí)間的比是
5∶9∶2.
汽車走完全程所用時(shí)間是 80×2＝160（分種）.
例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20％，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？
解：設(shè)原速度是1.
�。ズ�，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的
這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.
用原速行駛需要
同樣道理，車速提高25％，所用時(shí)間縮短到原來的
如果一開始就加速25％，可少時(shí)間
現(xiàn)在只少了40分鐘， 72-40＝32（分鐘）.
說明有一段路程未加速而沒有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間
真巧，320-160＝160（分鐘），原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長
答：甲、乙兩地相距270千米.
十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.
全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有
x∶120＝72∶32.
