《華羅庚學校思維訓練導引》三年級第一節(jié)
三年級上學期 第01講 計算問題第01講

胡兆（同音）璽 鄧平

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加法與減法
【內(nèi)容概述】
各種加法和減法的速算與巧算方法，如湊整，運算順序的改變，數(shù)的組合與分解，利用基準數(shù)等。
【例題分析】
1．計算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
分析1：通過仔細觀察發(fā)現(xiàn)前面一個數(shù)都比后面一個數(shù)大10，因此可以設一個基準數(shù)。
詳解：我們不妨設1986為基準數(shù)。
1966＋1976＋1986＋1996＋2006
=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）
=1986*5
=9930
評注：通過仔細觀察題目后，通常會發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。找到規(guī)律，就能輕而一舉的解決問題。

分析2：等差數(shù)列的個數(shù)是奇數(shù)個時，中間數(shù)是它們的平均數(shù)
詳解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
＝1986×5
＝9930

2．計算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890
答案：34
分析：這些數(shù)粗略一看好象是雜亂無章，其實不然。通過對各位數(shù)的觀察，
詳解：
先看個位：3+4+5-6+7-8+9-0=14
再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意個位的進位：2+1=3（1是個位進位來的）
最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0
這樣：我們就得到了34這個數(shù)
評注：做這種有技巧的計算時，要先通過觀察，找到規(guī)律后再逐一化簡。把它變成一道很容易且學過的題。就像這道題一樣，本來是3位數(shù)加減法，而我們把它變成了一位數(shù)加減法。但需要注意的是：千萬不能忘了前一位的進位。

3．計算：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
答案：20000
分析：這個題目一眼看去沒有辦法簡單運算，但如果把括號內(nèi)得數(shù)算出，便發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。
詳解：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996
=6472+5319+9354+6839-1996*4
=6472+5319+9354+6839-7984
=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）
=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）
=（6472+5319+6839）+1300+70
=18630+1370
=20000
評注：在一道簡算的大題中，有可能有好幾個地方可以簡便運算，一些技巧性的題目，簡算會在過程中體現(xiàn)出來，而不讓你一眼看出，大家要在解題過程中找出簡算步驟，這就需加強練習，方可得心應手。

4．（1）在加法算式中，如果一個加數(shù)增加50，另一個加數(shù)減少20，計算和的增加或減少量？
答案：增加30
分析：此題并非很難，只是初學者會認為缺少條件。其實這與兩個加數(shù)與和的本身值是無關的。因為計算的只是“和的增加或減少量”。
詳解：如果我們用“A”來代替一個加數(shù)，B代表另一個加數(shù)，（A+B）代表和
（A+50）+（B-20）
=（A+B）+30
評注：某些題目的某些條件并不是我們所需知的，用字母或符號代表這些不需知的未知數(shù)是我們必須學會的技巧。

（2）在加法算式中，如果被減數(shù)增加50，差減少20，那么減數(shù)如何變化？
答案：增加70
分析：與上題一樣。其實減數(shù)變化與被減數(shù)、減數(shù)和差的本身值是無關的。
詳解：我們用“A”來代表被減數(shù)，B代表減數(shù)，（A-B）代表差
減數(shù)=被減數(shù)-差
=（A+50）-[（A-B）-20]
=B+70
評注：用字母表示數(shù)的方法用在這里很合適。一些無需知的未知數(shù)在運算過程中就會抵消，這樣會給計算帶來方便。

5．計算：
1＋2＋1
1＋2＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
…………………
根據(jù)上面四式計算結果的規(guī)律，求：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1的值。
分析：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：所有數(shù)的和＝中間數(shù)×中間數(shù)

詳解：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1
＝193×193
＝37249

評注：這個數(shù)列我們特別講一個很復雜的方法，但很鍛煉大家的思維的。
設 1式.............1+2+1
2式.............1+2+3+2+1
3式.............1+2+3+4+3+2+1
4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1
5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
……
觀察發(fā)現(xiàn)1式與2式差5，2式與3式差7，3式與4式差9，4式與5式差11……
又通過觀察發(fā)現(xiàn)每兩式相差的數(shù)都相差2(例如：1式與2式差5，2式與3式差7，7-5=2；再例如：2式與3式差7，3式與4式差9，9-7=2）
再觀察 1式與2式差5 5與2式中的3差2
2式與3式差7 7與3式中的4差3
3式與4式差9 9與4式中的5差4
4式與5式差11 11與5式中的6差5
觀察上面這一步 最后相差的都是式子中間的數(shù)減1
所以最后一個式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）與它上面一個式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差為：193+（193-1）=385
所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）
=（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385）
=4+390*[（385-5）/2+1]/2
=4+390*191/2
=4+37245
=37249
當然，這樣的方法考試不可取，平常煉一下，多見識幾種方法還是有好處的。

6．請從3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985這12個數(shù)中選出5個數(shù)，使它們的和等于1995。
答案：9、77、231、693、985。
分析：首先，我們觀察數(shù)的特征，要使得5個數(shù)的和恰好是1995，那么我們需要通過求出3到4個數(shù)的和，使它們接近1955，剩下的比較小的差異通過一兩個數(shù)進行“微小調(diào)節(jié)”。
詳解：通過我們觀察數(shù)的特征，我們將幾個較大的數(shù)相加，得到：985+693+231=1909
1995-1909=86
這樣比1995還相差86
所以我們只要在剩下的數(shù)里面尋找兩個數(shù)的和是86即可
77+9=86
所以這五個數(shù)是：
9、77、231、693、985。
評注：一些題目往往不一定要按順序思考，利用從相反方向出發(fā)的原則也是可以解一些靈活性較強的題的。比如這個題目我們還可以用這12個數(shù)的和減去1995，用差來作為尋找的目標。

7．題目：從1999這個數(shù)里減去253以后，再加上244，然后再減去253，再加上244......，這樣一直減下去，減到第多少次，得數(shù)恰好等于0？
答案：195次
分析：這道題目看似簡單，因為一個循環(huán)減少9，有的同學認為只要求1999能被9整除多少次即可。其實還隱藏著一個問題：如果1999這個數(shù)在某一點也就是在減253加244過程中有可能運算完只剩253，而減去253后就等于0。我們來實驗一下所述情況有沒有可能發(fā)生
1999-253=1746
1746/(253-244)=194
194+1=195
恰好如我們所猜測的。
詳解：1999-253=1746
1746/(253-244)=194次
但是最后一次減去也是一次運算：194+1=195次
評注：結果正如分析所述，194+1的這個1就代表前面所減的253的那次。為了需要，我們先減去了253，這樣算起來會比后減253更方便。