分割理論

　　拿蘭莎的三個(gè)問(wèn)題來(lái)和朋友開(kāi)個(gè)玩笑倒是挺有意思。前兩個(gè)問(wèn)題的答案都不是規(guī)則的圖形。這些圖形的巧妙分割表明，一個(gè)正方形既然不能被分成五個(gè)小正方形，那它一定能被分成五個(gè)別的什么形狀。解答方法如此淺顯卻很少有人想到，這真是令人遺憾。而這種方法又是把正方形五等份的唯一方法。

　　如果你的朋友對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有興趣，你可以接下來(lái)給他(或她)出第四個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題。首先讓你的朋友看看圖2-17所示的圖形，怎樣能分成相同形狀的四小塊？能分成形狀相同的三小塊嗎？

　　圖2-17

　　你的朋友可能經(jīng)過(guò)一番苦苦思索百思不解而放棄，這時(shí)你把答案給他(或她)看看，面對(duì)如此淺顯的解答，你的朋友一定會(huì)瞠目而汗顏。這個(gè)問(wèn)題的解答方法同蘭莎分割正方形的思路如出一轍，答案如圖2-18所示。這個(gè)方法同樣可以把這個(gè)圖形分割成任意等份。

　　這類(lèi)問(wèn)題和前面切乳酪的問(wèn)題一樣，都屬于娛樂(lè)數(shù)學(xué)(recreationaI mathematics)的一個(gè)重要的分支，有時(shí)稱作“分割理論”。它為我們解決平面幾何和立體幾何中的許多實(shí)際問(wèn)題提供了有效的方法。蘭莎的頭兩個(gè)問(wèn)題更有趣，因?yàn)榉指詈蟮男�塊與分割前的大塊形狀相似。如果一個(gè)圖形能分成若干彼此全等而又與原圖形相似的小圖形，那么，這個(gè)圖形就叫做“可縮圖形”(rep―tile)。

　　圖2―19又列了幾個(gè)可縮圖形，你能把它們分別分成若干彼此全等又和原圖形狀相似的小圖形嗎？

　　圖2-19

　　“顯然，若干小的可縮圖形可以拼成同形狀的大的可縮圖形。假設(shè)某種可縮圖形能夠取之無(wú)盡用之不竭，可以推想，他們拼成的同形狀的大的可縮圖形會(huì)逐漸布滿無(wú)盡的平面。比如，蘭莎解決的第一個(gè)問(wèn)題L形可縮圖形，四個(gè)同樣的小L形可以拼成一個(gè)大L形，然后四個(gè)同樣的大L形可以拼成一個(gè)更大的L形。這樣無(wú)止境地拼下去，結(jié)果當(dāng)然會(huì)拼成一個(gè)無(wú)盡頭的平面。反之一個(gè)大L形分成四個(gè)小L形，一個(gè)小L形再分成四個(gè)更小的L形。這樣無(wú)止境地分下去，圖形會(huì)越來(lái)越小，直至無(wú)窮小。

　　關(guān)于可縮圖形我們研究得還很不夠。凡已知的可縮圖形都可以通過(guò)重復(fù)的拼接而充滿一個(gè)平面。也就是說(shuō)，一個(gè)基本的可縮圖形通過(guò)水平延展而不是旋轉(zhuǎn)或折轉(zhuǎn)來(lái)拼成一個(gè)平面。有沒(méi)有可縮圖形不能重復(fù)地拼下去呢？這是拼接理論中一個(gè)尚未解決的比較艱深的問(wèn)題。

　　關(guān)于空間的可縮圖形我們研究得就更有限了。立方體屬于這類(lèi)空間的可縮圖形，因?yàn)榘藗�(gè)立方體可以組合成一個(gè)大立方體，就像四個(gè)正方形拼成一個(gè)大正方形一樣。你能再想出別的立體的可縮圖形嗎？

　　如果我們不要求分割后的小圖形與原來(lái)的圖形形狀相似，那么我們還能從這類(lèi)問(wèn)題中琢磨出別的趣味。例如圖2―20所示，是一個(gè)由五個(gè)小正方形拼成的T字圖形，它不能被分割成四個(gè)小T字圖形但是你能把它分割成四個(gè)別的什么圖形嗎？

　　圖2-20

　　把一個(gè)平面圖形分割成盡可能少的全等圖形(如兩份)，這一目標(biāo)更難達(dá)到。圖2―21給出了幾個(gè)例子，你有興趣試著分割一下嗎？答案見(jiàn)本書(shū)的附錄。

　　分割理論還有一個(gè)分支，是將已知的多邊形分割成盡可能少的幾部分，當(dāng)然形狀不限，然后這些部分可以重新組合成另一個(gè)不同的給定的多邊形。例如，一個(gè)正方形最少能被分成多少份，使被分割的部分能重新組合成一個(gè)正三角形？(答案是4份)這部分內(nèi)容在《幾何分割中的重組同題》(Recreational problems in Geomeerie Dissections)和《亨利?林格如何解決這些問(wèn)題》(How to Solve Them by Harry Lindgren)兩書(shū)中有詳盡而精彩的論述。