討論文化問(wèn)題，可以列舉文化的各個(gè)部門(mén)：科學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、政治、宗教、倫理……請(qǐng)注意，數(shù)學(xué)也是文化的一部分。教學(xué)和任何學(xué)科不同，它幾乎是任何科學(xué)所不可缺少的。沒(méi)有任何一門(mén)科學(xué)能像像它那樣澤被天下。它是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的語(yǔ)言和工具，這一點(diǎn)大概沒(méi)有什么人會(huì)懷疑了。它的思想是許多物理學(xué)說(shuō)的核心，并為它們的出現(xiàn)開(kāi)辟了道路，了解這一點(diǎn)的人就比較少了。它曾經(jīng)是科學(xué)革命的旗幟，現(xiàn)代科學(xué)之所以成為現(xiàn)代科學(xué)，第一個(gè)決定性的步驟是使自己數(shù)學(xué)化。為什么會(huì)這樣？因?yàn)閿?shù)學(xué)在人類(lèi)理性思維活動(dòng)中有一些特點(diǎn)。這些特點(diǎn)的形成離不開(kāi)各個(gè)時(shí)代的總的文化背景，同時(shí)又是數(shù)學(xué)影響人類(lèi)文化最突出之點(diǎn)。我這里并不想概括出什么是數(shù)學(xué)文化，而只是就它對(duì)人類(lèi)精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠(chéng)然，其他的學(xué)科也可能有這些特點(diǎn)，但大抵是與受數(shù)學(xué)的影響分不開(kāi)的。
　　首先，它追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)。在這本小書(shū)里可以看到許多被吸引到數(shù)學(xué)中來(lái)的人正是因?yàn)閿?shù)學(xué)有這樣的特點(diǎn)。例如說(shuō)，歐幾里得平面上的三角形內(nèi)角和為180°，這絕不是說(shuō)“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內(nèi)角和“在某種誤差范圍內(nèi)”為180°，而是在命題的規(guī)定范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180°。產(chǎn)生這個(gè)特點(diǎn)的原因可以由其對(duì)象和方法兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)明。從希臘的文化背景中形成了數(shù)學(xué)的對(duì)象并不只是具體問(wèn)題，數(shù)學(xué)所探討的不是轉(zhuǎn)瞬即逝的知識(shí)，而是某種永恒不變的東西。所以，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須有明確無(wú)誤的概念，而且其方法必須由明確無(wú)誤的命題開(kāi)始，并服從明確無(wú)誤的推理規(guī)則，借以達(dá)到正確的結(jié)論。通過(guò)純粹的思維竟能在認(rèn)識(shí)宇宙上達(dá)到如此確定無(wú)疑的地步，當(dāng)然會(huì)給一切需要思維的人以極大的啟發(fā)。人們自然會(huì)要求在一切領(lǐng)域中都這樣去做。正是因?yàn)檫@樣，而且也僅僅因?yàn)檫@樣，數(shù)學(xué)方法既成為人類(lèi)認(rèn)識(shí)方法的一個(gè)典范，也成為人在認(rèn)識(shí)宇宙和人類(lèi)自己時(shí)必須持有的客觀(guān)態(tài)度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。就數(shù)學(xué)本身而言，達(dá)到數(shù)學(xué)趔的途徑既有邏輯的方面也有直覺(jué)的方面，但就其與其他科學(xué)比較而言，就其影響人類(lèi)文化的其他部門(mén)而言，它的邏輯方法是最突出的。這個(gè)方法發(fā)展成為人們常說(shuō)的公理方法。迄今為止，人類(lèi)知識(shí)還沒(méi)有哪一個(gè)部門(mén)應(yīng)用公理方法得到如數(shù)學(xué)那樣大的成功。但是，如果到今天某個(gè)知識(shí)部門(mén)還是只有診斷而沒(méi)有論據(jù)，只是一堆相互沒(méi)有邏輯聯(lián)系的命題，前后又無(wú)一貫性，恐怕是不會(huì)有人接受的了。每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)之外，無(wú)論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒(méi)有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開(kāi)那偉大而永恒的謎??宇宙和人類(lèi)的真正面目是什么？??是人類(lèi)文化發(fā)展到高度的標(biāo)志。這個(gè)偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過(guò)來(lái)也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績(jī)之一。
　　數(shù)學(xué)作為人類(lèi)文化組成部分的另一個(gè)特點(diǎn)是它不斷追求最簡(jiǎn)單的、最深層次的、超出人類(lèi)感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下朝廷的。這是一種化繁為簡(jiǎn)以求統(tǒng)一的過(guò)程。從古希臘起，人們就有一個(gè)信念：冥冥之中最深處宇宙有一個(gè)偉大的、統(tǒng)一的、而且簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)圖，這是一個(gè)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)圖。在一切比較深入的科學(xué)研究后面，必定有一種信念驅(qū)使我們。這個(gè)信念就是：世界是合理的，簡(jiǎn)單的，因而是可以理解的。對(duì)于數(shù)學(xué)研究則還要加上一點(diǎn)：這個(gè)世界的合理性，首先在于它可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述。在古代，這個(gè)信念有些神秘色彩�？墒前l(fā)展到現(xiàn)代，科學(xué)經(jīng)過(guò)了多次偉大的綜合。多少隨意地列舉一些：歐幾里得的綜合；牛頓的綜合；麥克斯韋的綜合；愛(ài)因斯坦的綜合；量子物理的綜合；計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，哪一次不是或多或少遵循這個(gè)信念？也許有例外：達(dá)爾文和孟德?tīng)�，但是今天已�?jīng)開(kāi)始，人們?cè)谟脭?shù)學(xué)去討論物種的進(jìn)化與競(jìng)爭(zhēng)，討論遺傳的規(guī)律。人們會(huì)又一次看見(jiàn)宇宙的根本規(guī)律表現(xiàn)為一種抽象的、至少是數(shù)學(xué)味很重的設(shè)計(jì)圖。這不是幻想而是現(xiàn)實(shí)。為什么DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)是在卡文迪許實(shí)驗(yàn)室完成，受了研究分子結(jié)構(gòu)的X射線(xiàn)衍射方法那么多好處？難道看不出這也是一種把生命歸結(jié)為最簡(jiǎn)單成分的不同位置、不同形式、不同數(shù)量而成的數(shù)學(xué)味很重的結(jié)構(gòu)嗎？這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵(lì)人們按照最深刻的內(nèi)在規(guī)律來(lái)考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類(lèi)文化精神的結(jié)晶。數(shù)學(xué)正是在這樣的文化氣氛中成長(zhǎng)的，而反過(guò)來(lái)推動(dòng)這種文化氣氛的發(fā)展。現(xiàn)在應(yīng)該提出的問(wèn)題是，對(duì)這樣一種信念應(yīng)該怎樣去估價(jià)。是否還應(yīng)該同時(shí)也看到它的不足的一面？從科學(xué)史看來(lái)，一直存在一種“還原”的傾向：把復(fù)雜的現(xiàn)象歸結(jié)為一些最簡(jiǎn)單的最原始的因素的作用。物體分成了“質(zhì)點(diǎn)”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細(xì)胞，然后又是細(xì)胞核、細(xì)胞質(zhì)、染色體、基因、核酸……豐富無(wú)比、千差萬(wàn)別的世界的多樣性似乎越來(lái)越被歸納為這些基本的成分或稱(chēng)為宇宙的磚石在數(shù)量上、形狀上、結(jié)構(gòu)上的差別，這當(dāng)然是數(shù)學(xué)發(fā)揮作用的大好場(chǎng)所。同時(shí)也就產(chǎn)生了一種越來(lái)越深刻的疑問(wèn)：大千世界真是這些最簡(jiǎn)單的成分疊加的嗎？難道線(xiàn)性的疊加原理竟是宇宙的最根本法則嗎？由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀(jì)念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？可是，每一個(gè)從事數(shù)學(xué)研究的人仍然抱有下面說(shuō)的信念：想解決這個(gè)更深刻的問(wèn)題我把它稱(chēng)為綜合，而把那種還原的傾向稱(chēng)為分析仍然要靠數(shù)學(xué)，當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展將越來(lái)越證實(shí)這一點(diǎn)。
　　數(shù)學(xué)的再一個(gè)特點(diǎn)是它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。在發(fā)揮自己力量的同時(shí)又研究自己的局限性，從不擔(dān)心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開(kāi)辟自己前進(jìn)的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結(jié)構(gòu)。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠(yuǎn)？從希臘時(shí)代起，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為宇宙即數(shù)(他是指自然數(shù))，可是遇到了無(wú)理數(shù)，后來(lái)的希臘人只好采用不可公度理論，因?yàn)榕�不清，就干脆不講無(wú)理數(shù)，而討論一般的線(xiàn)段長(zhǎng)。希臘人甚至不講數(shù)，使希臘數(shù)學(xué)與其他民族――例如中國(guó)――相比呈現(xiàn)了缺點(diǎn)。但即令如此，也要保持高度嚴(yán)整，而不允許采取折衷主義的態(tài)度。歷史終于證明，正是希臘人開(kāi)辟了研究無(wú)理數(shù)系的道路。他們研究數(shù)學(xué)，卻同時(shí)考慮數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是否存在。希臘人考慮數(shù)學(xué)對(duì)象的存在問(wèn)題，把存在歸結(jié)為可構(gòu)造，然后就問(wèn)：“用直尺與圓規(guī)經(jīng)有限步驟去三等分任意角可能嗎？”因?yàn)榕�不清是否可能，即沒(méi)有構(gòu)造的方法以證明三等分角的存在，他們的幾何學(xué)中干脆不講一個(gè)角的三分之一，只講平分線(xiàn)，從不講角三分線(xiàn)。越向后面發(fā)展，數(shù)學(xué)就出現(xiàn)了越來(lái)越多的“不可能性”：x2+1=0不可能在實(shí)數(shù)域中求解，五次以上的方程不能用根式求解，平行線(xiàn)公理能不能證明？到20世紀(jì)初才知道是既不能證明又不能否證。大家都說(shuō)，數(shù)學(xué)最需要嚴(yán)格性，數(shù)學(xué)家就要問(wèn)什么叫嚴(yán)格性？大家都說(shuō)，數(shù)學(xué)在證明一串串的定理，數(shù)學(xué)家就要問(wèn)什么叫證明？數(shù)學(xué)越發(fā)展，取得的成就越大，數(shù)學(xué)家就越要問(wèn)自己的基礎(chǔ)是不是鞏固。越是在表面上看來(lái)沒(méi)有問(wèn)題的地方，越要找出問(wèn)題來(lái)。乘法明明是可以交換的，偏偏要研究不可交換的乘法。孟子自嘲地說(shuō)：“予豈好辯哉，予不得已也!”數(shù)學(xué)家只需要換一個(gè)字：“予豈好‘變’哉，予不得已也!”當(dāng)然，任何科學(xué)要發(fā)展就要變。但是只是在與實(shí)際存在的事物、現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果發(fā)生矛盾時(shí)才變。惟有數(shù)學(xué)，時(shí)常是在理性思維感到有了問(wèn)題時(shí)就要變。而且，其他科學(xué)中“變”的傾向時(shí)常是由數(shù)學(xué)中的“變”直接或間接引起的。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中許多重要的變是由于直覺(jué)地感到有變的必要，感到只有變才能直視宇宙的真面目。但無(wú)論如何，是先從思維的王國(guó)里開(kāi)始變，即否定自己。這種變的結(jié)果時(shí)常是“從一無(wú)所有之中創(chuàng)造了新的宇宙”。
　　到了最后，數(shù)學(xué)開(kāi)始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀(jì)末年，數(shù)學(xué)向自己提出的問(wèn)題是：“我真是一個(gè)沒(méi)有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無(wú)疑的知識(shí)嗎？我自認(rèn)為是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我證明了某些對(duì)象的存在，或者說(shuō)我無(wú)矛盾地創(chuàng)造了自己的研究對(duì)象，可是它們確實(shí)存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構(gòu)造出來(lái)，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒(méi)有銀行的支票呢？”
　　總之，數(shù)學(xué)是一株參天大樹(shù)，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽(yáng)光。它不斷擴(kuò)展自己的領(lǐng)地，在它的樹(shù)干上有越來(lái)越多的鳥(niǎo)巢，它為越來(lái)越多的學(xué)科提供支持，也從越來(lái)越多的學(xué)科中吸取營(yíng)養(yǎng)。它又把自己的根伸向越來(lái)越深的理性思維的土地中，使它越來(lái)越牢固地站立。從這個(gè)意義上來(lái)講，數(shù)學(xué)是人類(lèi)理性發(fā)展最高的成就(或者再加上“之一”二字更好一些)。
　　數(shù)學(xué)深刻地影響人類(lèi)精神生活，可以概括為一句話(huà)，就是它大大地促進(jìn)了人的思想解放，提高與豐富了人類(lèi)的整個(gè)精神水平。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)使人成為更完全、更豐富、更有力量的人。愛(ài)因斯坦說(shuō)的“得到解放”，其實(shí)正是這個(gè)意思。
　　數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神。數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，確實(shí)是為了滿(mǎn)足人類(lèi)的物質(zhì)生活需要�？墒�，離開(kāi)了這種探索精神，數(shù)學(xué)是無(wú)法滿(mǎn)足人的物質(zhì)需要的�！帮L(fēng)調(diào)雨順”是人類(lèi)的物質(zhì)生活不可少的�？墒恰拔讕煛钡摹捌碛辍辈灰彩菨M(mǎn)足需要的“手段”之一嗎？人總有一個(gè)信念：宇宙是有秩序的，數(shù)學(xué)家更進(jìn)一步相信，這個(gè)秩序是可以用數(shù)學(xué)表達(dá)的，因此人應(yīng)該去探索這種深層的內(nèi)在的秩序，以此來(lái)滿(mǎn)足人的物質(zhì)需要。因此，數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其永恒的主題是“認(rèn)識(shí)宇宙，也認(rèn)識(shí)人類(lèi)自己”。在這個(gè)探索過(guò)程中，數(shù)學(xué)把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標(biāo)準(zhǔn)，給人類(lèi)的思想解放打開(kāi)了道路�，F(xiàn)在人人都知道實(shí)驗(yàn)方法的重要性，但是任何科學(xué)實(shí)驗(yàn)，離開(kāi)了一定的邏輯思維，將是沒(méi)有意義的。在伽利略的時(shí)代就是這樣，他的許多實(shí)驗(yàn)都是所謂理想實(shí)驗(yàn)，在近代就更是這樣。在不同的時(shí)代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，數(shù)學(xué)在文化中的這一地位是不可移易的，而只有日益加強(qiáng)。有人認(rèn)為數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的核心或基石，始終處于中心地位，而影響到人類(lèi)知識(shí)的一切部門(mén)。似乎沒(méi)有必要去爭(zhēng)這個(gè)“中心”或“核心”的地位，但是歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒(méi)有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的。

　練　習(xí)
一　作者在本文中論述了數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)特點(diǎn)？是分別從什么角度論述的？
二、找出課文中關(guān)于下列論題的論述，并說(shuō)說(shuō)作者是怎樣給數(shù)學(xué)這一學(xué)科定位的。
　1．?dāng)?shù)學(xué)與社會(huì)文化的關(guān)系。
　2．?dāng)?shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系。
　3．?dāng)?shù)學(xué)中邏輯思維（理性思維）和感性思維（直覺(jué)思維）的關(guān)系。
三　縱使上下文，說(shuō)說(shuō)下列語(yǔ)句的含義。
　1．除了邏輯的要求和實(shí)踐的檢驗(yàn)以外，無(wú)論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒(méi)有。
　2．難道看不出這也是一種把生命歸結(jié)為最簡(jiǎn)單萬(wàn)分的不同位置、不同形式、不同數(shù)量而成的數(shù)學(xué)味很重的結(jié)構(gòu)嗎？
　3．由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀(jì)念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？
　4．離開(kāi)了這種探索精神，數(shù)學(xué)是無(wú)法滿(mǎn)足人的物質(zhì)需要的。“風(fēng)調(diào)雨順”是人類(lèi)的物質(zhì)生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿(mǎn)足需要的“手段”之一嗎？
四　據(jù)史書(shū)記載，托勒密?chē)?guó)王曾經(jīng)問(wèn)歐幾里得除了他的《幾何原本》外，還有沒(méi)有學(xué)幾何的捷徑。歐幾里得回答說(shuō)：“在幾何里，沒(méi)有專(zhuān)為國(guó)王鋪設(shè)的大道�！边�有一次，一個(gè)學(xué)生才做了一道題，就問(wèn)歐幾里得學(xué)了幾何能得到什么。歐幾里得讓人給這名學(xué)生三個(gè)錢(qián)幣，因?yàn)樗�想在學(xué)幾何中獲取實(shí)利。請(qǐng)?jiān)僬規(guī)讋t數(shù)學(xué)史上類(lèi)似的小故事，結(jié)合自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會(huì)，談?wù)勀銓?duì)這一學(xué)科的認(rèn)識(shí)