摘要：本文概述了奧林匹克數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過程，在此基礎(chǔ)上分析論證了奧林匹克數(shù)學(xué)的基本特征及教育功能，指出科學(xué)合理地舉辦數(shù)學(xué)奧林匹克活動，對于傳播數(shù)學(xué)思想方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)教師素質(zhì)的提高和數(shù)學(xué)教育改革，發(fā)展和選拔優(yōu)秀人才等都是十分有益的。

　　關(guān)鍵詞：奧林匹克數(shù)學(xué)；特征；教育功能

　　1、奧林匹克數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

    奧林匹克運(yùn)動起源于古希臘，它原是關(guān)于體能的競賽。數(shù)學(xué)奧林匹克與體育奧林匹克相類似，它是青少年智能的競賽，智能和體能都是創(chuàng)造人類文明的必要條件，所以前蘇聯(lián)人首創(chuàng)了“數(shù)學(xué)奧林匹克”這個名詞。國際數(shù)學(xué)奧林匹克(InternationalMathe2maticalOlympiads)簡稱IMO，是一項(xiàng)以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，以中學(xué)生為對象的國際性競賽活動，至今已有30余年的歷史。

　　數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，而其核心則是問題。解數(shù)學(xué)難題的競賽至少可以追溯到16世紀(jì)初期。當(dāng)時，不少數(shù)學(xué)家喜歡提出問題，向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，以比高低。其中在意大利有過塔爾塔利亞(Tartaglia)和卡當(dāng)諾(Cardano)關(guān)于解一元三次方程的激烈競爭。19世紀(jì)法國科學(xué)院也曾以懸賞的形式征求對數(shù)學(xué)難題的解答，常常獲得一些重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)王子高斯就是比賽的優(yōu)勝者。

　　公開的解題競賽無疑會引起數(shù)學(xué)家的注意和激發(fā)更多人的興趣，隨著學(xué)校教育的發(fā)展，教育工作者開始考慮在中學(xué)生中間舉辦解數(shù)學(xué)難題的競賽，以激發(fā)中學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和引起對數(shù)學(xué)的興趣。

　　世界上真正有組織的數(shù)學(xué)競賽開始于1894年，當(dāng)時匈牙利數(shù)學(xué)界為了紀(jì)念著名數(shù)學(xué)家、匈牙利數(shù)學(xué)會主席埃特沃斯榮任匈牙利教育部長而組織了第一屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。開始命名為埃特沃斯競賽，后來，庫而俄克大力推進(jìn)了這一工作，為了紀(jì)念他，匈牙利中學(xué)數(shù)學(xué)競賽又叫庫而俄克競賽。這一活動除兩次世界大戰(zhàn)和1956年匈牙利事件而中斷七年外，每年十月舉行一次，每次競賽出三道題，限四小時作完，允許使用任何參考書。這些試題難度適中，別具風(fēng)格，雖然用中學(xué)生學(xué)過的知識就可以解答，但又涉及許多高等數(shù)學(xué)的課題。中學(xué)生通過做這些試題，不但可以檢查自己對初等數(shù)學(xué)掌握的程度，提高靈活運(yùn)用這些知識以及邏輯思維的能力，還可以接觸到一些高等數(shù)學(xué)的概念和方法，對于以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有很大幫助。匈牙利數(shù)學(xué)競賽的上述特點(diǎn)，使得它的命題方向?qū)κ澜绺鲊鴶?shù)學(xué)競賽，乃至國際數(shù)學(xué)奧林匹克的命題都產(chǎn)生了重大的影響。

　　自1894年匈牙利舉辦數(shù)學(xué)競賽之后，羅馬尼亞、前蘇聯(lián)等東歐諸國相繼舉辦全國性的數(shù)學(xué)競賽，20世紀(jì)五六十年代，世界出現(xiàn)了一個舉辦中學(xué)數(shù)學(xué)競賽的高潮。這種競賽高潮的興起，為國際數(shù)學(xué)奧林匹克的誕生奠定了基礎(chǔ)。1956年羅馬尼亞教授羅曼(Roman)發(fā)起了第一次國際數(shù)學(xué)奧林匹克，東歐諸國正式確定了開展國際數(shù)學(xué)奧林匹克計劃，并于1959年7月，在羅馬尼亞的古都布拉索夫舉行了第一屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克，參加的七個國家都是東歐國家。以后的幾屆IMO，參賽國只限于東歐少數(shù)國家，實(shí)際上只有地區(qū)性而沒有多少國際性。

　　直到20世紀(jì)60年代末才逐步擴(kuò)大到西歐及美洲，發(fā)展成真正全球性的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。1990年在北京舉行的第31屆IMO有54個隊，而2001年在美國舉行的第42屆IMO已有83個隊、四百多名選手參加，基本上包括了世界上中學(xué)數(shù)學(xué)教育水準(zhǔn)較高的國家。

　　現(xiàn)在，IMO已成為一項(xiàng)國際上最有影響力的學(xué)科競賽，同時也是公認(rèn)水平最高的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。我國的數(shù)學(xué)競賽始于1956年。在著名數(shù)學(xué)家華羅庚、蘇步青等人的倡導(dǎo)下，由中國數(shù)學(xué)理事會發(fā)起，北京、天津、上海、武漢四城市首先舉辦了高中數(shù)學(xué)競賽。到第二年舉辦的城市更多。正當(dāng)數(shù)學(xué)競賽逐步向全國推廣的時候，因面臨嚴(yán)重經(jīng)濟(jì)困難，1959年和1961年數(shù)學(xué)競賽被迫中斷，至1965年，只零零星星地舉行過6屆。比賽前后，華羅庚等著名數(shù)學(xué)家直接給中學(xué)生作報告，在這些報告的基礎(chǔ)上，出版了一批優(yōu)秀的課外讀物--數(shù)學(xué)小叢書，共計十三冊，如華羅庚的《從楊輝三角談起》，段學(xué)復(fù)的《對稱》，史濟(jì)懷的《平均》，姜伯駒的《一筆畫及郵遞線路問題》，蘇步青的《非歐幾何學(xué)》等，這是我國第一批“奧林匹克數(shù)學(xué)”學(xué)術(shù)著作。這段時間，我國數(shù)學(xué)競賽活動的勢頭很好，對我國的中等教育與人才培養(yǎng)起了很好的作用，引起各界的關(guān)注。競賽的方式、試題的難度、選手的水平等都與IMO相同或相近，我們完全可以走向世界，參加國際的角逐。但是，1966年開始的“史無前例”的文化大革命，使數(shù)學(xué)競賽在中國完全絕跡。

　　1978年是科學(xué)的春天，我國的數(shù)學(xué)競賽活動又重新開始，華羅庚教授親自主持了規(guī)�？涨暗娜珖�八省市數(shù)學(xué)競賽，與此同時，許多省、市都恢復(fù)了數(shù)學(xué)競賽。1979年從八省市的競賽發(fā)展為除臺灣以外的全國29個省、市、自治區(qū)的競賽。由華羅庚教授任競賽委員會主任，并主持命題工作。競賽分初賽和決賽二試進(jìn)行。1980年全國競賽暫停一年。

　　1980年，在大連召開了第一屆全國數(shù)學(xué)普及工作會議，代表們著重研究了數(shù)學(xué)競賽工作，把全國數(shù)學(xué)競賽作為中國數(shù)學(xué)會及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會的一項(xiàng)經(jīng)常性工作，并正式定名為“全國各省、市、自治區(qū)高中聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽”。從此，中國的數(shù)學(xué)競賽有了一個常設(shè)的、學(xué)術(shù)性民辦機(jī)構(gòu)，開創(chuàng)了走向世界的新階段。

　　全國高中聯(lián)賽的命題貫徹在普及基礎(chǔ)上提高的原則，要有利于促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于發(fā)現(xiàn)人才、培養(yǎng)人才，有利于參加IMO隊員的選拔工作。試題的命題范圍以高中數(shù)學(xué)競賽大綱為準(zhǔn)。從1981年開始，中國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽以各省市聯(lián)合競賽的方式延續(xù)下來，1985年發(fā)展到初中，1990年延伸到小學(xué)。

　　1985年，我國派出兩名選手參加第26屆IMO以了解情況，投石問路，結(jié)果只獲得一枚銅牌，與各國選手相比成績處于中下。為了改變這一落后狀況，提高我國在IMO中的成績，加速培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才，中國數(shù)學(xué)會決定：自1986年起，每年一月份由中國數(shù)學(xué)會和南開大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中國科技大學(xué)中的一所大學(xué)聯(lián)合舉辦一次全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營。冬令營邀請各省、市、自治區(qū)頭一年全國高中聯(lián)賽的優(yōu)勝者參加。自1991年起，冬令營定名為“中國數(shù)學(xué)奧林匹克”(簡稱CMO)。

　　CMO的考試方法類似于IMO，兩天共考6題，每天3題，要求在4.5小時內(nèi)完成，試題的難度接近于IMO，從中選拔出20余名隊員組成國家集訓(xùn)隊，然后經(jīng)過集訓(xùn)，最后選出6名選手參加當(dāng)年7月舉行的IMO。

　　我國參加IMO的時間不長，但是，由于眾多數(shù)學(xué)教育界知名專家、學(xué)者及集訓(xùn)隊教練員、隊員的共同努力，成績突飛猛進(jìn)。只經(jīng)過短暫的4年就由開始參賽的中下水平一躍成為IMO的冠軍，得到了國際數(shù)學(xué)界的公認(rèn)。第31屆IMO在中國的成功舉行，更進(jìn)一步提高了我國在國際教育界和科學(xué)界的地位。

　　IMO常務(wù)委員會主席、前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅克夫列副教授稱贊道：“中國古代數(shù)學(xué)的卓越成就，和如今在IMO中的輝煌成果，都給人留下了深刻的印象�！�

　　2、奧林匹克數(shù)學(xué)的基本特征

　　奧林匹克數(shù)學(xué)形成于數(shù)學(xué)競賽活動，在這樣的背景中形成的競賽數(shù)學(xué)的知識形態(tài)是很特殊的，它不具備完整的知識體系和嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，但又具有相對穩(wěn)定的內(nèi)容，通過問題和解題將許多具有創(chuàng)造性、靈活性、探索性和趣味性的知識、方法綜合在一起，這就決定了這門學(xué)科的主要研究對象是競賽數(shù)學(xué)命題與解題的規(guī)律和藝術(shù)，并且具有不同于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的許多特征。

　　2.1 內(nèi)容的廣泛性

　　競賽數(shù)學(xué)通過一個個千姿百態(tài)的問題和機(jī)智巧妙的解法，橫跨傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，與代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合等保持著密切而自然的聯(lián)系，但又不同于這些學(xué)科系統(tǒng)的專門研究，它可以隨時吸收有趣味的、富有靈活性和創(chuàng)造性而又能為選手接受的問題，而不受研究對象的限制，因此這門學(xué)科比其他學(xué)科的內(nèi)容更為廣泛。

　　競賽數(shù)學(xué)包含了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精華。數(shù)學(xué)歷史上的著名問題，是歷代數(shù)學(xué)大師的光輝杰作，是人類文明的寶貴財富，它們以別致、獨(dú)到的構(gòu)思，新穎、奇巧的方法和精美、漂亮的結(jié)論，使人們賞心悅目、流連忘返。由于種種原因，今天學(xué)校的課堂教學(xué)，沒能提供機(jī)會讓青少年學(xué)生接觸這筆豐富的遺產(chǎn)，而競賽數(shù)學(xué)繼承和發(fā)揚(yáng)了這筆豐富的遺產(chǎn)。這既說明了命題者的主觀傾向，又說明了那些傳統(tǒng)名題的教育價值。

　　競賽數(shù)學(xué)吸收了能用初等語言表達(dá)，并能用初等方法解決的高等數(shù)學(xué)中的某些問題。這里的問題甚至解法的背景往往來源于某些高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，滲透了高等數(shù)學(xué)中的某些內(nèi)容、思想和方法。競賽數(shù)學(xué)又不同于這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域。通常數(shù)學(xué)往往追求證明一些概括的廣泛的定理，而競賽數(shù)學(xué)恰恰尋求一些特殊問題；通常數(shù)學(xué)追求建立一般的理論和方法，而競賽數(shù)學(xué)則追求用特殊的方法來解決特殊問題，而不需要高深的數(shù)學(xué)工具，這些問題往往可以從思考角度、理解方法和解題思路方面推出一種廣義的認(rèn)識。

　　2.2 命題的新穎性

　　由于競賽題目難度大，為了保證題目的新意，許多競賽題目不僅常常使用現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)語言，而且體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(主要是離散數(shù)學(xué))，甚至有些內(nèi)容就是科學(xué)研究的新成果。前沿數(shù)學(xué)家在自己的研究中遇到一些中間子問題，最終能用初等方法來解決，于是就變?yōu)椴豢啥嗟玫暮迷囶}。另外，對一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究成果經(jīng)過簡單化、特殊化后可以找到初等解法，更是競賽試題的重要來源。正如競賽專家喬治?西澤克斯(GeorgeSezekers)所說：“我所提出的問題幾乎全部來自'實(shí)際生活'，那就是說，來自數(shù)學(xué)家的實(shí)際工作所產(chǎn)生的問題。”

　　例1(1986CMO第1題)a1，a2，？，an為實(shí)數(shù)，如果它們中任意兩數(shù)之和非負(fù)，那么對于滿足x1+x2+？+xn=1的任意非負(fù)實(shí)數(shù)x1，x2，？，xn有不等式a1x1+a2x2+？+anxn≥a1x21+a2x22+？+anxnn成立。請證明上述命題及其逆命題。

　　這是命題者常庚哲先生科研中遇到的問題。例2(1990IMO預(yù)選題)10個地區(qū)之間有兩個國際航空公司，在任意兩個地區(qū)之間都有一直達(dá)航線(中間不停)，所有航線都是可往返的。證明至少有一個國際航空公司可以提供兩條互不相交的環(huán)形旅行線，其中每條線上的站數(shù)是奇數(shù)。這一題目的背景是圖論中的拉木賽(Ramsy)定理，以這一定理為背景的競賽題目很多，也很有趣。解答這類問題主要應(yīng)用染色方法及抽屜原理，而不要求具有高深和特殊的數(shù)學(xué)知識。

　　2.3 方法的創(chuàng)造性

　　奧林匹克數(shù)學(xué)是才智的角逐。解競賽題雖然離不開一般的思維規(guī)律，也有一些使用頻率較高的方法和技巧，但沒有固定的常規(guī)模式可循，它需要縱觀全局的整體洞察力，敏銳的直覺和獨(dú)創(chuàng)性的構(gòu)思，要求學(xué)生自己去探索、嘗試，通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求解決問題的有效途徑。一些有固定模式可以遵循的問題，不屬于奧林匹克數(shù)學(xué)。

　　例3(1983IMO第6題)設(shè)a、b、c是三角形的三邊長，求證：

　　a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0并說明等號何時成立。

　　16歲的西德選手波恩哈德?李由于對此題的巧妙求解而被授予奧林匹克特別獎。首先，他記左邊為I，由于多項(xiàng)式I是輪換對稱的，不妨設(shè)a≥b，c，故有I=a(b-c)2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)≥0

　　顯然，I=0的充要條件是a=b=c.

　　3、奧林匹克數(shù)學(xué)的教育功能

　　從教育的角度看，奧林匹克數(shù)學(xué)競賽是以開發(fā)智力為根本目的，以問題解答為基本形式，以競賽數(shù)學(xué)為主要內(nèi)容，且具有綜合教育功能的數(shù)學(xué)教育.這種教育有明顯的選拔功能、激勵功能、導(dǎo)向功能。概括地講，奧林匹克數(shù)學(xué)的教育功能主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

　　3.1 奧林匹克數(shù)學(xué)教育有利于發(fā)現(xiàn)人才

    培養(yǎng)人才通過數(shù)學(xué)競賽可以及時發(fā)現(xiàn)人才、選拔人才，并通過適當(dāng)?shù)姆绞郊右蕴厥馀囵B(yǎng)，促使人才加快成長。

　　例如，較早開展數(shù)學(xué)競賽的匈牙利，雖然是一個小國，卻培養(yǎng)出一大批世界級科學(xué)家。歷屆IMO的獲得者中有不少取得了輝煌的成就。因此，奧林匹克數(shù)學(xué)教育是引導(dǎo)有才能的青少年步入科學(xué)殿堂的階梯；是發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)新一代學(xué)者和科技人才的重要手段。美國數(shù)學(xué)競賽委員會顧問特爾勒教授就曾指出：“在IMO的參加者中，十分可能產(chǎn)生新一代的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖�！�

　　在科技高速發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)作為一門重要學(xué)科，其思維的素質(zhì)不僅對自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面有用，而且更滲透到社會科學(xué)、人文科學(xué)等領(lǐng)域。因此，數(shù)學(xué)競賽不僅造就數(shù)學(xué)人才，同時，也更大量地為各個學(xué)科儲備科技領(lǐng)袖與擅于科學(xué)決策的管理人才。例如，從1969年開始到1983年的16次諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎中，有9次由數(shù)學(xué)家獲得，這充分表明良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)對眾多領(lǐng)域都有著重要作用。

　　3.2 奧林匹克數(shù)學(xué)可激發(fā)青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

　　“興趣”是指人們積極探索某種事物的認(rèn)知傾向。興趣來源于動機(jī)，動機(jī)來源于需要，而需要來源于價值觀。要使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣，必須使他們親自感受與體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的無限魅力。奧林匹克數(shù)學(xué)問題從結(jié)構(gòu)到解法都充滿著藝術(shù)的魅力和誘人的趣味，其間所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法閃爍著人類智慧的結(jié)晶和偉大的創(chuàng)造力，它吸引人們積極探索，給學(xué)生提供了充滿生機(jī)的學(xué)習(xí)情境和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思辨力量的機(jī)會。

　　此外，數(shù)學(xué)競賽采用“問題與解答”的方式，具有公開的競爭性，每一場競賽都是選手們價值的自我發(fā)現(xiàn)、自我實(shí)現(xiàn)的機(jī)會，使得它具有良好而鮮明的激勵功能。因此，通過數(shù)學(xué)競賽，可以有效地發(fā)展學(xué)生科學(xué)探索精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并從中確立理想、信念等價值觀念。

　　3.3 奧林匹克數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革起促進(jìn)作用

　　奧林匹克教育作為一種較高層次的教育活動，從一定意義上講，也是某種數(shù)學(xué)教育的試驗(yàn)，因而它對中學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革會產(chǎn)生一定的影響。作為聯(lián)系著中學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“中間數(shù)學(xué)”，在其教育活動中，許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新思想、新方法、新內(nèi)容不斷地滲透、影響著中學(xué)數(shù)學(xué)。通過競賽活動，讓現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容先在“中間數(shù)學(xué)”進(jìn)行試驗(yàn)，到了教師和學(xué)生都能普遍接受的時候，再穩(wěn)妥地滲透和部分地移植到中學(xué)數(shù)學(xué)課程中去。日本數(shù)學(xué)教育家早在60年代國際數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化盛行期間就指出：“集合與向量成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，在10年前還是微不足道的特殊見解，但今天它卻已成了常識”�，F(xiàn)在，在數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的內(nèi)容，如集合、關(guān)系、映射、矩陣都已變成諸多國家中學(xué)數(shù)學(xué)教材中成熟的內(nèi)容。

　　3.4 奧林匹克數(shù)學(xué)教育重視能力培養(yǎng)

　　數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力和解決實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)競賽是一種智力競賽，它要求學(xué)生能解各種各樣的數(shù)學(xué)難題，這一性質(zhì)就要求人們注重智力的開發(fā)與能力的發(fā)展。在這一教育活動中，它不僅包括了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如觀察試驗(yàn)、歸納猜想、類比聯(lián)想、一般與特殊、數(shù)形結(jié)合等思維方法，同時也滲透了如觀察、探索、枚舉、化歸等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、解題策略等。

　　另外，在數(shù)學(xué)競賽題目中，有許多涉及到實(shí)際應(yīng)用的問題，如計數(shù)、圖論、邏輯、抽屜原理等。解決這類問題，一般都需要對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行分析、歸納，把實(shí)際問題抽象成為數(shù)學(xué)問題，然后用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和方法去解決。在這一構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程中，能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看待和處理實(shí)際問題的能力，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和模型解決實(shí)際問題的意識和能力，提高學(xué)生揭示實(shí)際問題中隱含的數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的能力等等。使學(xué)生能夠在這一創(chuàng)造性思維過程中，看到數(shù)學(xué)的實(shí)際作用，感受到數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的感受力。在強(qiáng)調(diào)素質(zhì)教育的今天，奧林匹克數(shù)學(xué)的這一教育功能有著更為重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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　　〔責(zé)任編輯張淑霞〕