13.如圖所示,A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分別是5、3、4,求A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積.

14.分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個,并求這些真分?jǐn)?shù)的和.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  26

從圖中可以看出全班45人,借語文或數(shù)學(xué)課外讀物的共39+32=71(人),超過全班人數(shù)71-45=26(人),這26人都借了語文、數(shù)學(xué)兩種課外書。

2．  67

將長方形和正文形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，即這兩個圖形蓋住的圖形面積為 (平方厘米).

3.  32

在1到100這100個自然數(shù)中,5的倍數(shù)有20個,7的倍數(shù)有14個,既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)有2個,故5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的個數(shù)是20+14-2=32.

4.  45

從圖中可以看出:懂俄語的人數(shù)(即陰影部分)等于總?cè)藬?shù)減去只懂英語的人數(shù),即100-(75-20)=45(人)

5.  19

所求人數(shù)=全班人數(shù)-(會騎車人數(shù)+會游泳人數(shù)-既會騎車又會游泳人數(shù))=46-(17+14-4)=19(人)

6.  6857

在1到10000中,能被5整除的有 (個),能被7整除的有 (個),能被35整除的有 (個).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(個).從而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(個).

7.  9883

1~10000中完全平方數(shù)有100個(因?yàn)?span lang="EN-US">100²=10000),完全立方數(shù)有21個(因?yàn)?span lang="EN-US">21³<10000<22³),完全六次方數(shù)有4個(因?yàn)?span lang="EN-US">4⁶<10000<5⁶)

故1~10000中是完全平方數(shù)或完全立方數(shù)的數(shù)共有100+21-4=117個;從而既不是完全平方數(shù),又不是完全立方數(shù)的數(shù)有10000-117=9883(個).

8.  4

9.  720

1~1001中,有7的倍數(shù) (個);有11的倍數(shù) (個),有13的倍數(shù) (個);有7´11=77的倍數(shù) (個),有7´13=91的倍數(shù) (個),有11´13=143的倍數(shù) (個).有1001的倍數(shù)1個.

由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(個),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720(個).也就是說,分母為1001的最簡分?jǐn)?shù)有720個.

10.  31,56

如圖,當(dāng)100人都是或者音樂愛好者,或者體育愛好者時(shí),這兩者都愛好的人數(shù)為最小值即56+75-100=31(個).

當(dāng)所有的音樂愛好者都是音樂愛好者時(shí),這兩者都愛好的人數(shù)最大可為56人.

11.        如圖,選甲乙而不選丙的有a=29-24=5(人),選甲丙而不選乙的b=28-

24=4(人),選乙丙而不選甲的有c=26-24=2(人), 僅選了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),僅選了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少選了一科的人數(shù)是:甲+d+c+e=45(人),故三門均未選的人數(shù)為50-45=5(人).

12.  由第9題的結(jié)論知分母是1001的最簡分?jǐn)?shù)的個數(shù)是720.又真分?jǐn)?shù) 和真分?jǐn)?shù)  (a與1001互質(zhì))是成對出現(xiàn)的,故上述720個真分?jǐn)?shù)可以分成360對,每一對=數(shù)之和為1,故上述720個分母是1001的真分?jǐn)?shù)之和為360.

所以所有小于1001且與1001互質(zhì)的數(shù)之和為360´1001=360360.

13.        設(shè)陰影部分的面積是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.

14.        因?yàn)?span lang="EN-US">385=5´7´11,故在1~385這385個自然數(shù)中,5的倍數(shù)有

(個),7的倍數(shù)有 (個),11的倍數(shù)有 (個),                       5´7=35的倍數(shù)有 (個),5´11=55的倍數(shù)有 (個),7´11=77的倍數(shù)有 =5(個),385的倍數(shù)有1個.

由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-(11+7+5)+1=145(個),而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385-145=240(個).即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240(個).

如果有一個真分?jǐn)?shù)為 ,則必還有另一個真分?jǐn)?shù) ,即以385為分母的最簡真分?jǐn)?shù)是成對出現(xiàn)的,而每一對之和恰為1.故以385為分母的240最簡分?jǐn)?shù)可以分成120時(shí),它們的和為1´120=120.