8. 將棋盤黑白相間地染色后,馬的走法是從一種顏色的格子跳到另一種顏色.棋盤上有32個(gè)白格與32個(gè)黑格,故馬可能跳遍整個(gè)棋盤.圖中給出了一種走法.
|
56
|
41
|
58
|
35
|
50
|
39
|
60
|
33
|
|
47
|
44
|
55
|
40
|
59
|
34
|
51
|
38
|
|
42
|
57
|
46
|
49
|
36
|
53
|
32
|
61
|
|
45
|
48
|
43
|
54
|
31
|
62
|
37
|
52
|
|
20
|
5
|
30
|
63
|
22
|
11
|
16
|
13
|
|
29
|
64
|
21
|
4
|
17
|
14
|
25
|
10
|
|
6
|
19
|
2
|
27
|
8
|
23
|
12
|
15
|
|
1
|
28
|
7
|
18
|
3
|
26
|
9
|
24
|
9. 先對4´4的棋盤黑白相間的涂色(如圖),這道題的實(shí)際問題是問7個(gè)1´2矩形能否分別復(fù)蓋剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三個(gè)棋盤.若7個(gè)1´2矩形可以復(fù)蓋剪殘的棋盤,因?yàn)槊總�(gè)1´2矩形均可蓋住一個(gè)白格和一個(gè)黑格,所以棋盤的白格與黑格數(shù)目應(yīng)該相等.都是7個(gè).而剪去A格和C格的棋盤(2)有5個(gè)白格8個(gè)黑格,剪去A、D的棋盤(3)有5個(gè)白格8個(gè)黑格,因此這兩個(gè)剪損的棋盤均不能被7個(gè)1´2矩形復(fù)蓋,也就不能剪成7個(gè)1´2的矩形.
棋盤(1)可以被7個(gè)1´2的矩形所復(fù)蓋.下面給出一種剪法:
|
A
|
1
|
1
|
2
|
|
7
|
7
|
B
|
2
|
|
6
|
5
|
4
|
3
|
|
6
|
5
|
4
|
3
|
| |
|
|
|
|
10. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨設(shè)這4格位于前4個(gè)位置,且均為紅色.
然后考慮前4列構(gòu)成的3´4矩形.若第二行和第3行中出現(xiàn)2個(gè)或2個(gè)以上的紅色格子.則該行的兩個(gè)紅色格子與第一行的紅色格子就組成一個(gè)4角同為紅色格子的矩形.
若不然,則第2、3行中都至少有3個(gè)藍(lán)格在前4列中,不妨設(shè)第2行前3格為藍(lán)色,顯然第三行中的前3格中至少有2個(gè)藍(lán)格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是藍(lán)色的矩形.
11. 將17個(gè)科學(xué)家用17個(gè)點(diǎn)代表,兩點(diǎn)之間連結(jié)的線段表示兩個(gè)科學(xué)家之間討論的問題.用三種顏色給這些線段染色,表示三個(gè)問題,于是問題就變成:給17個(gè)點(diǎn)之間的所有連結(jié)線段用三種顏色染色,必有同色三角形.
從任意一點(diǎn),不妨設(shè)從A向其他16點(diǎn)A1,A2,…A16共可連成16條線段,用三種顏色染色,由抽屜原則可知,必有6條線段同色.設(shè)這6條線段為AA1,AA2,…AA6且同為紅色.
考慮A1,A2,A3,A4,A5,A6這六點(diǎn)之間的連線,若有一條為紅色,(如A1A2為紅色) ,則三角形AA1A2為紅色的同色三角形.
若這六點(diǎn)之間的連線中,沒有一條是紅色的,則它們之間只能涂兩種顏色.考慮從A1引出的五條線段A1A2 A1A3 A1A4 A1A5 A1A6,由抽屜原理知,其中必有三條是同色的.不妨設(shè)這三條為A1A2 A1A3 A1A4,且同為藍(lán)色.若三角形A2A3A4的三邊中有一條為藍(lán)色的,則有一個(gè)藍(lán)色的三角形存在;若三角形A2A3A4三邊都不是藍(lán)色的,則它的三邊是同為第三色的同色三角形.
12. 把正方體木箱分成27個(gè)小正方體,每個(gè)小正方體的體積為2´2´2=8.將這些正方體如右圖黑白相間染上色.顯然黑色2´2´2的正方體有14個(gè),白色2´2´2小正方體有13個(gè).每一個(gè)這樣的正方體相當(dāng)于8個(gè)1´1´1的小正方體.
將1´2´4的長方體放入木箱,無論怎么放,每個(gè)長方體木塊蓋住8個(gè)邊長為1的單位正方體,其中有4個(gè)黑色的,4個(gè)白色的.木箱共含6´6´6=216個(gè)單位正方體,26個(gè)長方體木塊共蓋住8´26=208個(gè)單位正方體,其中黑白各占104個(gè),余下216-208=8個(gè)單位正方體是黑色的.但是第27個(gè)1´2´4長方體木塊不管怎樣放,也無法蓋住這8個(gè)黑色單位正方體.
13. 如圖,將整個(gè)棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色,這種染色方式將棋盤分成了三個(gè)部分.按照游戲規(guī)則,每走一步,有兩種顏色方格中的棋子數(shù)分別減少了1個(gè),而第三種顏色的棋子數(shù)增加了一個(gè).這表明每走一步,每個(gè)部分的棋子的奇偶性要發(fā)生改變.
因?yàn)橐婚_始時(shí),81枚棋子擺成一個(gè)9´9的正方形,顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的,從而每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盤上恰好剩下一枚棋子,則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù),而另一部分上的棋子數(shù)為奇數(shù).這種結(jié)果是不可能出現(xiàn)的.
14. 用兩種方法對超級棋盤染色.
首先,將棋盤黑白相間染色,則馬每跳一步,它所在的方格就要改變一次顏色.不妨設(shè)第奇數(shù)步跳入白格.
其次,將棋盤的第3,4,5及8,9,10這六行染成黑色,其余六行染成白色.在此種染色方式下,馬從白格一定跳入黑格.又因黑白格總數(shù)相同,馬要遍歷每一格恰一次又回到出發(fā)點(diǎn),因此,馬從黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨設(shè)馬第奇數(shù)步跳入白格.
但是對于一種滿足要求跳法,在兩種染色方式下第奇數(shù)步跳入的格子的全體是不同的,這顯然是不可能的,故題目要求的跳法是不存在的.
