定理簡(jiǎn)介

　　費(fèi)馬大定理：

　　當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于x, y, z的不定方程

　　x^n + y^n = z^n.

　　的整數(shù)解都是平凡解，即

　　當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)

　　(補(bǔ)充：(0，0，0)是其中一個(gè)特殊解2008年由趙浩杰提出)

　　當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

　　這個(gè)定理，本來(lái)又稱費(fèi)馬最后定理，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出，而當(dāng)時(shí)人們稱之為“定理”，并不是真的相信費(fèi)馬已經(jīng)證明了它。雖然費(fèi)馬宣稱他已找到一個(gè)絕妙證明，但經(jīng)過(guò)三個(gè)半世紀(jì)的努力，這個(gè)世紀(jì)數(shù)論難題才由普林斯頓大學(xué)英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯和他的學(xué)生理查·泰勒于1995年成功證明。證明利用了很多新的數(shù)學(xué)，包括代數(shù)幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數(shù)等，令人懷疑費(fèi)馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎(jiǎng)特別獎(jiǎng)以及2005年度邵逸夫獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

　　研究歷史

　　1637年，費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")畢竟費(fèi)馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣。數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容，推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展。

　　對(duì)很多不同的n，費(fèi)馬定理早被證明了。但數(shù)學(xué)家對(duì)一般情況在首二百年內(nèi)仍一籌莫展。

　　1908年，德國(guó)佛爾夫斯克宣布以10萬(wàn)馬克作為獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給在他逝世后一百年內(nèi)，第一個(gè)證明該定理的人，吸引了不少人嘗試并遞交他們的“證明”。在一戰(zhàn)之后，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

　　1983年，en:Gerd Faltings證明了Mordell猜測(cè)，從而得出當(dāng)n > 2時(shí)(n為整數(shù))，只存在有限組互質(zhì)的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。

　　1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的，則橢圓曲線y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 會(huì)是谷山-志村猜想的一個(gè)反例。Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實(shí)。此猜想顯示了費(fèi)馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關(guān)系。

　　1995年，懷爾斯和泰勒在一特例范圍內(nèi)證明了谷山-志村猜想，F(xiàn)rey的橢圓曲線剛好在這一特例范圍內(nèi)，從而證明了費(fèi)馬大定理。

　　懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程亦甚具戲劇性。他用了七年時(shí)間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分;然后于1993年6月在一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過(guò)程中，專家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極嚴(yán)重的錯(cuò)誤。懷爾斯和泰勒然后用了近一年時(shí)間嘗試補(bǔ)救，終在1994年9月以一個(gè)之前懷爾斯拋棄過(guò)的方法得到成功，這部份的證明與巖澤理論有關(guān)。他們的證明刊在1995年的數(shù)學(xué)年刊(en:Annals of Mathematics)之上。

　　1：歐拉證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。

　　2：費(fèi)馬自己證明了n=4的情形。

　　3：1825年，狄利克雷和勒讓德證明了n=5的情形，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

　　4：1839年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結(jié)合的很緊密的巧秒工具，只是難以推廣到n=11的情形;于是，他又在1847年提出了“分圓整數(shù)”法來(lái)證明，但沒有成功。

　　5：庫(kù)默爾在1844年提出了“理想數(shù)”概念，他證明了：對(duì)于所有小于100的素指數(shù)n，費(fèi)馬大定理成立，此一研究告一階段。

　　6：勒貝格提交了一個(gè)證明，但因有漏洞，被否決。

　　7：希爾伯特也研究過(guò)，但沒進(jìn)展。

　　8：1983年，德國(guó)數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了一條重要的猜想——莫代爾猜想x的平方+y的平方=1這樣的方程至多有有限個(gè)有理數(shù)解，他由于這一貢獻(xiàn)，獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

　　9：1955年，日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先猜測(cè)橢圓曲線于另一類數(shù)學(xué)家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯(lián)系;谷山的猜測(cè)后經(jīng)韋依和志村五郎進(jìn)一步精確化而形成了所謂“谷山——志村猜想”，這個(gè)猜想說(shuō)明了：有理數(shù)域上的橢圓曲線都是模曲線。這個(gè)很抽象的猜想使一些學(xué)者搞不明白，但它又使“費(fèi)馬大定理”的證明向前邁進(jìn)了一步。

　　10：1985年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“費(fèi)馬大定理”之間的關(guān)系;他提出了一個(gè)命題：假定“費(fèi)馬大定理”不成立，即存在一組非零整數(shù)A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方(n>2),那么用這組數(shù)構(gòu)造出的形如y的平方=x(x+A的n次方)乘以(x-B的n次方)的橢圓曲線，不可能是模曲線。盡管他努力了，但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同時(shí)證明這兩個(gè)命題，根據(jù)反證法就可以知道“費(fèi)馬大定理”不成立，這一假定是錯(cuò)誤的，從而就證明了“費(fèi)馬大定理”。但當(dāng)時(shí)他沒有嚴(yán)格證明他的命題。

　　11：1986年，美國(guó)數(shù)學(xué)家里貝特證明了弗雷命題，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

　　12：1993年6月，英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯證明了：對(duì)有理數(shù)域上的一大類橢圓曲線，“谷山——志村猜想”成立。由于他在報(bào)告中表明了弗雷曲線恰好屬于他所說(shuō)的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終證明了“費(fèi)馬大定理”;但專家對(duì)他的證明審察發(fā)現(xiàn)有漏洞，于是，維爾斯又經(jīng)過(guò)了一年多的拼搏，于1994年9月徹底圓滿證明了“費(fèi)馬大定理”

　　13:蔣春暄先生在1992年就已經(jīng)發(fā)表了證明費(fèi)馬最后定理的文章(《潛科學(xué)》雜志，1992 年2月)，可是在中國(guó)，沒有人承認(rèn)這個(gè)成果，當(dāng)然更說(shuō)不上得到國(guó)際的承認(rèn)。然而，在過(guò)去了17年之后的今年(2009)6月初，蔣春暄先生獲得了意大利《特萊肖——伽利略科學(xué)院》2009年度金獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)的原因之一即他于1992年對(duì)于費(fèi)馬最后定理的證明。

　　證明過(guò)程

　　1676年數(shù)學(xué)家根據(jù)費(fèi)馬的少量提示用無(wú)窮遞降法證明n=4。1678年和1738年德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲和瑞士數(shù)學(xué)家歐拉也各自證明n=4。1770年歐拉證明n=3。1823年和1825年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德和德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷先后證明n =5。1832年狄利克雷試圖證明n=7，卻只證明了n=14。1839年法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅證明了n=7，隨后得到法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格的簡(jiǎn)化……19世紀(jì)貢獻(xiàn)最大的是德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)禧湢枺�他�?844年起花費(fèi)20多年時(shí)間，創(chuàng)立了理想數(shù)理論，為代數(shù)數(shù)論奠下基礎(chǔ);庫(kù)麥爾證明當(dāng)n<100時(shí)除37、59、67三數(shù)外費(fèi)馬大定理均成立。為推進(jìn)費(fèi)馬大定理的證明，布魯塞爾和巴黎科學(xué)院數(shù)次設(shè)獎(jiǎng)。1908年德國(guó)數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾臨終在哥廷根皇家科學(xué)會(huì)懸賞10萬(wàn)馬克，并充分考慮到證明的艱巨性，將期限定為100年。數(shù)學(xué)迷們對(duì)此趨之若鶩，紛紛把“證明”寄給數(shù)學(xué)家，期望憑短短幾頁(yè)初等變換奪取桂冠。德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道印制了一批明信片由學(xué)生填寫：“親愛的先生或女士：您對(duì)費(fèi)馬大定理的證明已經(jīng)收到，現(xiàn)予退回，第一個(gè)錯(cuò)誤出現(xiàn)在第_頁(yè)第_行。” 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們不但利用了廣博精深的數(shù)學(xué)知識(shí)，還創(chuàng)造了許多新理論新方法，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)難以估量。1900年，希爾伯特提出尚未解決的23個(gè)問(wèn)題時(shí)雖未將費(fèi)馬大定理列入，卻把它作為一個(gè)在解決中不斷產(chǎn)生新理論新方法的典型例證。據(jù)說(shuō)希爾伯特還宣稱自己能夠證明，但他認(rèn)為問(wèn)題一旦解決，有益的副產(chǎn)品將不再產(chǎn)生。“我應(yīng)更加注意，不要?dú)⒌暨@只經(jīng)常為我們生出金蛋的母雞。” 數(shù)學(xué)家就是這樣緩慢而執(zhí)著地向前邁進(jìn)，直至1955年證明n<4002。大型計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推進(jìn)了證明速度，1976年德國(guó)數(shù)學(xué)家瓦格斯塔夫證明 n<125000，1985年美國(guó)數(shù)學(xué)家羅瑟證明n<41000000。但數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，n值再大依然有限，從有限到無(wú)窮的距離漫長(zhǎng)而遙遠(yuǎn)。 983年，年僅29歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了代數(shù)幾何中的莫德爾猜想，為此在第20屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上榮獲菲爾茨獎(jiǎng);此獎(jiǎng)相當(dāng)于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)，只授予40歲以下的青年數(shù)學(xué)家。莫德爾猜想有一個(gè)直接推論：對(duì)于形如x^n+y^n=z^n(n≥4)的方程至多只有有限多組整數(shù)解。這對(duì)費(fèi)馬大定理的證明是一個(gè)有益的突破。從“有限多組”到“一組沒有”還有很大差距，但從無(wú)限到有限已前進(jìn)了一大步。 1955年日本數(shù)學(xué)家谷山豐提出過(guò)一個(gè)屬于代數(shù)幾何范疇的谷山猜想，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷在1985年指出：如果費(fèi)馬大定理不成立，谷山猜想也不成立。隨后德國(guó)數(shù)學(xué)家佩爾提出佩爾猜想，補(bǔ)足了弗雷觀點(diǎn)的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩爾猜想都被證明，費(fèi)馬大定理不證自明。事隔一載，美國(guó)加利福尼亞大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)家里比特證明了佩爾猜想。 1993年6月，英國(guó)數(shù)學(xué)家、美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授安德魯·懷爾斯在劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所舉行了一系列代數(shù)幾何學(xué)術(shù)講演。在6月23日最后一次講演《橢圓曲線、模型式和伽羅瓦表示》中，懷爾斯部分證明了谷山猜想。所謂部分證明，是指懷爾斯證明了谷山猜想對(duì)于半穩(wěn)定的橢圓曲線成立——謝天謝地，與費(fèi)馬大定理相關(guān)的那條橢圓曲線恰好是半穩(wěn)定的!這時(shí)在座60多位知名數(shù)學(xué)家意識(shí)到，困擾數(shù)學(xué)界三個(gè)半世紀(jì)的費(fèi)馬大定理被證明了!這一消息在講演后不脛而走，許多大學(xué)都舉行了游行和狂歡，在芝加哥甚至出動(dòng)了警察上街維持秩序。但專家對(duì)他的證明審察發(fā)現(xiàn)有漏洞，于是，懷爾斯又經(jīng)過(guò)了一年多的拼搏，于1994年9月20日上午11時(shí)徹底圓滿證明了“費(fèi)馬大定理”

　　證明方法

　　五十年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個(gè)有關(guān)橢圓曲線的猜想，后來(lái)由另一位數(shù)學(xué)家志村五郎加以發(fā)揚(yáng)光大，當(dāng)時(shí)沒有人認(rèn)為這個(gè)猜想與費(fèi)馬定理有任何關(guān)聯(lián)。在八十年代德國(guó)數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費(fèi)馬定理聯(lián)系在一起，而安德魯·懷爾斯所做的正是根據(jù)這個(gè)關(guān)聯(lián)論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進(jìn)而推出費(fèi)馬最后定理也是正確的。

　　這個(gè)結(jié)論由威利斯在1993年的6月21日於美國(guó)劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會(huì)正式發(fā)表，這個(gè)報(bào)告馬上震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界，就是數(shù)學(xué)門墻外的社會(huì)大眾也寄以無(wú)限的關(guān)注。不過(guò)懷爾斯的證明馬上被檢驗(yàn)出有少許的瑕疵，于是懷爾斯與他的學(xué)生又花了十四個(gè)月的時(shí)間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無(wú)瑕的解答，數(shù)學(xué)界的夢(mèng)魘終於結(jié)束。1997年6月，懷爾斯在德國(guó)哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎(jiǎng)。當(dāng)年的十萬(wàn)馬克約為兩百萬(wàn)美金，不過(guò)懷爾斯領(lǐng)到時(shí)，只值五萬(wàn)美金左右，但安德魯·懷爾斯已經(jīng)名列青史，永垂不朽了。

　　用不定方程來(lái)表示，費(fèi)馬大定理即：當(dāng)n > 2時(shí)，不定方程x^n + y^n = z^n 沒有xyz≠0的整數(shù)解。為了證明這個(gè)結(jié)果，只需證明方程x^4 + y^4 = z^4 ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1[p是一個(gè)奇素?cái)?shù)]均無(wú)xyz≠0的整數(shù)解。

　　n = 4的情形已由萊布尼茨和歐拉解決。費(fèi)馬本人證明了p = 3的情，但證明不完全。勒讓德[1823]和狄利克雷[1825]證明了p = 5的情形。1839年，拉梅證明了p = 7的情形。1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枌?duì)費(fèi)馬猜想作出了突破性的工作。他創(chuàng)立了理想數(shù)論，這使得他證明了當(dāng)p < 100時(shí)，除了p = 37，59，67這三個(gè)數(shù)以外，費(fèi)馬猜想都成立。后來(lái)他又進(jìn)行深入研究，證明了對(duì)于上述三個(gè)數(shù)費(fèi)馬猜想也成立。在近代數(shù)學(xué)家中，范迪維爾對(duì)費(fèi)馬猜想作出重要貢獻(xiàn)。他從本世紀(jì)20年代開始研究費(fèi)馬猜想，首先發(fā)現(xiàn)并改正了庫(kù)默爾證明中的缺陷。在以后的30余年內(nèi)，他進(jìn)行了大量的工作，得到了使費(fèi)馬猜想成立一些充分條件。他和另外兩位數(shù)學(xué)家共同證明了當(dāng)p < 4002時(shí)費(fèi)馬猜想成立。

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)家還利用大型電子計(jì)算器來(lái)探索費(fèi)馬猜想，使p 的數(shù)目有很大的推進(jìn)。到1977年為止，瓦格斯塔夫證明了p < 125000時(shí)，費(fèi)馬猜想成立�！吨袊�(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊》1987年第2期據(jù)國(guó)外消息報(bào)導(dǎo)，費(fèi)馬猜想近年來(lái)取得了驚人的研究成果：格朗維爾和希思—布龍證明了「對(duì)幾乎所有的指數(shù)，費(fèi)馬大定理成立」。即若命N(x)表示在不超過(guò)x的整數(shù)中使費(fèi)馬猜想不成立的指數(shù)個(gè)數(shù)，則證明中用到了法爾廷斯[Faltings]的結(jié)果。另外一個(gè)重要結(jié)果是：費(fèi)馬猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使x^n + y^n = z^n ，則x > 101,800,000。

　　說(shuō)明：

　　要證明費(fèi)馬最后定理是正確的

　　(即x^ n+ y^n = z^n 對(duì)n>2 均無(wú)正整數(shù)解)

　　只需證 x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P為奇質(zhì)數(shù))，都沒有整數(shù)解。

　　費(fèi)馬大定理證明過(guò)程:

　　對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n整數(shù)解關(guān)系的證明，多年來(lái)在數(shù)學(xué)界一直頗多爭(zhēng)議。本文利用平面幾何方法，全面分析了直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的存在條件，提出對(duì)多元代數(shù)式應(yīng)用增元求值。本文給出的直角三角型邊長(zhǎng) a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則”;“增比計(jì)算法則”;“定差公式法則”;“a值奇偶數(shù)列法則”;是平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法;本文提出建立了一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪式與絕對(duì)非方冪式概念;本文利用同方冪數(shù)增比性質(zhì)，利用整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式性質(zhì)，把費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整數(shù)解判定問(wèn)題，巧妙地化為了一元定解方程問(wèn)題。

　　關(guān)鍵詞：增元求解法 絕對(duì)方冪式絕對(duì)非方冪式 相鄰整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式

　　引言：1621年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)在讀看古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantna)著寫的算術(shù)學(xué)一書時(shí)，針對(duì)書中提到的直角三角形三邊整數(shù)關(guān)系，提出了方程x^n+y^n=z^n在n=2時(shí)有無(wú)窮多組整數(shù)解，在 n>2時(shí)永遠(yuǎn)沒有整數(shù)解的觀點(diǎn)。并聲稱自己當(dāng)時(shí)進(jìn)行了絕妙的證明。這就是被后世人稱為費(fèi)馬大定理的曠世難題。時(shí)至今日，此問(wèn)題的解答仍繁難冗長(zhǎng)，紛爭(zhēng)不斷，令人莫衷一是。

　　本文利用直角三角形、正方形的邊長(zhǎng)與面積的相互關(guān)系，建立了費(fèi)馬方程平方整數(shù)解新的直觀簡(jiǎn)潔的理論與實(shí)踐方法，本文利用同方冪數(shù)增比定理，對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n>2時(shí)的整數(shù)解關(guān)系進(jìn)行了分析論證，用代數(shù)方法再現(xiàn)了費(fèi)馬當(dāng)年的絕妙證明。

　　定義1.費(fèi)馬方程

　　人們習(xí)慣上稱x^n+y^n=z^n關(guān)系為費(fèi)馬方程，它的深層意義是指：在指數(shù)n值取定后，其x、y、z均為整數(shù)。

　　在直角三角形邊長(zhǎng)中，經(jīng)常得到a、b、c均為整數(shù)關(guān)系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，這時(shí)由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次數(shù)為2時(shí)，費(fèi)馬方程與勾股弦定理同階。當(dāng)指數(shù)大于2時(shí)，費(fèi)馬方程整數(shù)解之研究，從歐拉到狄里克萊，已經(jīng)成為很大的一門數(shù)學(xué)分支.

　　定義2.增元求解法

　　在多元代數(shù)式的求值計(jì)算中引入原計(jì)算項(xiàng)元以外的未知數(shù)項(xiàng)元加入，使其構(gòu)成等式關(guān)系并參與求值運(yùn)算。我們把利用增加未知數(shù)項(xiàng)元來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)多元代數(shù)式求值的方法，叫增元求解法。

　　利用增元求解法進(jìn)行多元代數(shù)式求值，有時(shí)能把非常復(fù)雜的問(wèn)題變得極其簡(jiǎn)單。

　　下面，我們將利用增元求解法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)直角三角形三邊a^2+b^2=c^2整數(shù)解關(guān)系的求值。

　　一，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則”

　　定理1.如a、b、c分別是直角三角形的三邊，Q是增元項(xiàng)，且Q≥1，滿足條件：

　　a≥3

　　{ b=(a^2-Q^2)÷2Q

　　c= Q+b

　　則此時(shí)，a^2+b^2=c^2是整數(shù)解;

　　證：在正方形面積關(guān)系中，由邊長(zhǎng)為a得到面積為a^2，若(a^2-Q^2)÷2Q=b(其中Q為增元項(xiàng)，且b、Q是整數(shù)),則可把面積a^2分解為a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解關(guān)系按下列關(guān)系重新組合后可得到圖形：

　　Q2 Qb

　　其缺口剛好是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形。補(bǔ)足缺口面積b^2后可得到一個(gè)邊長(zhǎng)

　　Qb

　　為Q+b的正方形，現(xiàn)取Q+b=c，根據(jù)直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2條件可知，此時(shí)的a、b、c是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)。

　　故定理1得證

　　應(yīng)用例子：

　　例1. 利用定a計(jì)算法則求直角三角形a邊為15時(shí)的邊長(zhǎng)平方整數(shù)解?

　　解：取 應(yīng)用例子：a為15，選增元項(xiàng)Q為1，根據(jù)定a計(jì)算法則得到：

　　a= 15

　　{ b=(a^- Q^2)÷2Q=(15^2-1^2)÷2 =112

　　c=Q+b=1+112=113

　　所以得到平方整數(shù)解15^2+112^2=113^2

　　再取a為15，選增元項(xiàng)Q為3，根據(jù)定a計(jì)算法則得到：

　　a= 15

　　{ b=(a^2-Q^2)÷2Q=(15^2-3^2)÷6=36

　　c=Q+b=3+36=39

　　所以得到平方整數(shù)解15^2+36^2=39^2

　　定a計(jì)算法則，當(dāng)取a=3、4、5、6、7 … 時(shí)，通過(guò)Q的不同取值，將函蓋全部平方整數(shù)解。

　　二，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“增比計(jì)算法則”

　　定理2.如a^2+b^2=c^2 是直角三角形邊長(zhǎng)的一組整數(shù)解，則有(an)^2+(bn)^2 =(cn)^2(其中n=1、2、3…)都是整數(shù)解。

　　證：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整數(shù)解必得到一個(gè)邊長(zhǎng)都為整數(shù)的直角三角形 a c ，根據(jù)平面線段等比放大的原理，三角形等比放大得到 2a 2c;

　　b 2b

　　3a 3c;4a 4c;… 由a、b、c為整數(shù)條件可知，2a、2b、2c;

　　3b 4b

　　3a、3b、3c;4a、4b、4c… na、nb、nc都是整數(shù)。

　　故定理2得證

　　應(yīng)用例子：

　　例2.證明303^2+404^2=505^2是整數(shù)解?

　　解;由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整數(shù)解，根據(jù)增比計(jì)

　　4

　　算法則，以直角三角形 3×101 5×101 關(guān)系為邊長(zhǎng)時(shí)，必有

　　4×101

　　303^2+404^2=505^2是整數(shù)解。

　　三，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“定差公式法則”

　　3a + 2c + n = a1

　　(這里n=b-a之差，n=1、2、3…)

　　定理3.若直角三角形a^2+^b2=c^2是滿足b-a=n關(guān)系的整數(shù)解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式連求得到的a1、a2、a3…ai 所組成的平方數(shù)組ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差關(guān)系的整數(shù)解。

　　證：取n為1，由直角三角形三邊3、4、5得到3^2+4^2=5^2，這里n=b-a=4-3=1，根據(jù) 3a + 2c + 1= a1定差公式法則有：

　　a1=3×3+2×5+1=20 這時(shí)得到

　　20^2+21^2=29^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：

　　a2=3×20+2×29+1=119 這時(shí)得到

　　119^2+120^2=169^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到

　　a3=3×119+2×169+1=696 這時(shí)得到

　　696^2+697^2=985^2

　　…

　　故定差為1關(guān)系成立

　　現(xiàn)取n為7，我們有直角三角形21^2+28^2=35^2，這里n=28-21=7，根據(jù) 3a + 2c + 7 = a1定差公式法則有：

　　a1=3×21+2×35+7=140 這時(shí)得到

　　140^2+147^2=203^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：

　　a2=3×140+2×203+7=833 這時(shí)得到

　　833^2+840^2=1183^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：

　　a3=3×833+2×1183+7=4872 這時(shí)得到

　　4872^2+4879^2=6895^2

　　…

　　故定差為7關(guān)系成立

　　再取n為129，我們有直角三角形387^2+516^2=645^2，這里n=516-387=129，根據(jù) 3a + 2c + 129= a1定差公式法則有：

　　a1=3×387+2×645+129=2580 這時(shí)得到

　　2580^2+2709^2=3741^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：

　　a2=3×2580+2×3741+129=15351 這時(shí)得到

　　15351^2+15480^2=21801^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到：

　　a3=3×15351+2×21801+129=89784 這時(shí)得到

　　89784^2+89913^2=127065^2

　　…

　　故定差為129關(guān)系成立

　　故定差n計(jì)算法則成立

　　故定理3得證

   

四，平方整數(shù)解a^2+^b2=c^2的a值奇偶數(shù)列法則：

　　定理4. 如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)，則必有如下a值的奇數(shù)列、偶數(shù)列關(guān)系成立;

　　(一) 奇數(shù)列a：

　　若a表為2n+1型奇數(shù)(n=1、2、3 …)， 則a為奇數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是：

　　a=2n+1

　　{ c=n^2+(n+1)^2

　　b=c-1

　　證：由本式條件分別取n=1、2、3 … 時(shí)得到：

　　3^2+4^2=5^2

　　5^2+12^2=13^2

　　7^2+24^2=25^2

　　9^2+40^2=41^2

　　11^2+60^2=61^2

　　13^2+84^2=85^2

　　…

　　故得到奇數(shù)列a關(guān)系成立

　　(二)偶數(shù)列a：

　　若a表為2n+2型偶數(shù)(n=1、2、3 …)， 則a為偶數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是：

　　a=2n+2

　　{ c=1+(n+1)^2

　　b=c-2

　　證：由本式條件分別取n=1、2、3 … 時(shí)得到：

　　4^2+3^2=5^2

　　6^2+8^2=10^2

　　8^2+15^2=17^2

　　10^2+24^2=26^2

　　12^2+35^2=37^2

　　14^2+48^2=50^2

　　…

　　故得到偶數(shù)列a關(guān)系成立

　　故定理4關(guān)系成立

　　由此得到,在直角三角形a、b、c三邊中：

　　b-a之差可為1、2、3…

　　a-b之差可為1、2、3…

　　c-a之差可為1、2、3…

　　c-b之差可為1、2、3…

　　定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多種;

　　每種定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多個(gè)。

　　以上，我們給出了平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法。我們同樣能夠用代數(shù)方法證明，費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n>2時(shí)沒有整數(shù)解。證明如下：

　　我們首先證明，增比計(jì)算法則在任意方次冪時(shí)都成立。

　　定理5，若a，b，c都是大于0的不同整數(shù)，m是大于1的整數(shù)，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方冪關(guān)系成立，則a，b，c，d，e增比后，同方冪關(guān)系仍成立。

　　證：在定理原式 a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比為n，n>1，

　　得到 ： (n a)^m+(nb)^m=(nc)^m+(nd)^m+(ne)^m

　　原式化為 ： n^m(a^m+b^m)=n^m(c^m+d^m+e^m)

　　兩邊消掉 n^m后得到原式。

　　所以，同方冪數(shù)和差式之間存在增比計(jì)算法則，增比后仍是同方冪數(shù)。

　　故定理5得證

　　定理6，若a，b，c是不同整數(shù)且有a^m+b=c^m關(guān)系成立，其中b>1，b不是a，c的同方冪數(shù)，當(dāng)a，b，c同比增大后，b仍然不是a，c的同方冪數(shù)。

　　證：取定理原式a^m+b=c^m

　　取增比為n，n>1，得到：(na)^m+n^mb=(nc)^m

　　原式化為： n^m(a^m+b)=n^mc^m

　　兩邊消掉n^m后得到原式。

　　由于b不能化為a，c的同方冪數(shù)，所以n^mb也不能化為a，c的同方冪數(shù)。

　　所以，同方冪數(shù)和差式間含有的不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在共同增比后，等式關(guān)系仍然成立。其中的同方冪數(shù)數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是同方冪數(shù)，不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是非同方冪數(shù)。

　　故定理6得證

　　一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪與絕對(duì)非方冪性質(zhì)

　　定義3，絕對(duì)某次方冪式

　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)某次方冪式。例如：n^2+2n+1，n^2+4n+4，

　　n^2+6n+9，……都是絕對(duì)2次方冪式;而n^3+3n^2+3n+1，n^3+6n^2+12n+8，……都是絕對(duì)3次方冪式。

　　一元絕對(duì)某次方冪式的一般形式為(n+b)^m(m>1，b為常數(shù)項(xiàng))的展開項(xiàng)。

　　定義4，絕對(duì)非某次方冪式

　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都不是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)非某次方冪式。例如：n^2+1，n^2+2，n^2+2n，…… 都是絕對(duì)非2次方冪式;而n^3+1，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，n^3+6n^2+8……都是絕對(duì)非3次方冪式。

　　當(dāng)一元代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很少時(shí)，我們很容易確定代數(shù)式是否絕對(duì)非某次方冪式，例如n^2+n是絕對(duì)非2次方冪式，n^7+n是絕對(duì)非7次方冪式，但當(dāng)代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很多時(shí)，得到絕對(duì)非某次方冪式的條件將越來(lái)越苛刻。

　　一元絕對(duì)非某次方冪式的一般形式為：在(n+b)^m(m>2，b為常數(shù)項(xiàng))的展開項(xiàng)中減除其中某一項(xiàng)。

　　推理：不是絕對(duì)m次方冪式和絕對(duì)非m次方冪式的方冪代數(shù)式必定在未知數(shù)取某一值時(shí)得出一個(gè)完全 m次方數(shù)。例如：3n^2+4n+1不是絕對(duì)非3次方冪式，取n=1時(shí)有3n^2+4n+1=8=2^3，3n^2+3n+1不是絕對(duì)非2次方冪式，當(dāng) n=7時(shí)，3n^2+3n+1=169=13^2;

　　推理：不含方冪項(xiàng)的一元代數(shù)式對(duì)任何方冪沒有唯一性。2n+1=9=3^2，2n+1=49=7^2 …… 4n+4=64=8^2，4n+4=256=16^2 ……2n+1=27=3^3，2n+1=125=5^3 ……

　　證明：一元代數(shù)式存在m次絕對(duì)非方冪式;

　　在一元代數(shù)式中，未知數(shù)的不同取值，代數(shù)式將得到不同的計(jì)算結(jié)果。未知數(shù)與代式計(jì)算結(jié)果間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的，是等式可逆的，是純粹的定解關(guān)系。這就是一元代數(shù)式的代數(shù)公理。即可由代入未知數(shù)值的辦法對(duì)代數(shù)式求值，又可在給定代數(shù)式數(shù)值的條件下反過(guò)來(lái)對(duì)未知數(shù)求值。利用一元代數(shù)式的這些性質(zhì)，我們可實(shí)現(xiàn)整數(shù)的奇偶分類、余數(shù)分類和方冪分類。

　　當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為1時(shí)，完全立方數(shù)一元代數(shù)表達(dá)式的4項(xiàng)式的固定形式是(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1，它一共由包括2個(gè)方冪項(xiàng)在內(nèi)的4個(gè)單項(xiàng)項(xiàng)元組成，對(duì)這個(gè)代數(shù)式中3個(gè)未知數(shù)項(xiàng)中任意一項(xiàng)的改動(dòng)和缺失，代數(shù)式都無(wú)法得出完全立方數(shù)。在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，我們鎖定其中的任意3項(xiàng)，則可得到必定含有方冪項(xiàng)的3個(gè)不同的一元代數(shù)式，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，對(duì)這3個(gè)代數(shù)式來(lái)說(shuō)，使代數(shù)式的值成為立方數(shù)只能有唯一一個(gè)解，即補(bǔ)上缺失的第4項(xiàng)值，而且這個(gè)缺失項(xiàng)不取不行，取其它項(xiàng)值也不行。因?yàn)檫@些代數(shù)式與原立方代數(shù)式形成了固定的單項(xiàng)定差代數(shù)關(guān)系，這種代數(shù)關(guān)系的存在與未知數(shù)取值無(wú)關(guān)。這種關(guān)系是：

　　(n+1)^3-3n= n^3+3n^2+1

　　(n+1)^3-3n^2= n^3+3n+1

　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

　　所以得到：當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …

　　n^3+3n^2+1≠(n+1)^3

　　n^3+3n+1≠(n+1)^3

　　3n2+3n+1≠(n+1)^^3

　　即這3個(gè)代數(shù)式的值都不能等于(n+1)^3形完全立方數(shù)。

　　當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …時(shí)，(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1的值是從2開始的全體整數(shù)的立方，而小于2的整數(shù)只有1，1^3=1，當(dāng)取n=1時(shí)，

　　n^3+3n^2+1=5≠1

　　n^3+3n+1=5≠1

　　3n^2+3n+1=7≠1

　　所以得到：當(dāng)取n=1、2、3、4、5 …時(shí)，代數(shù)式n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1的值不等于全體整數(shù)的立方數(shù)。這些代數(shù)式是3次絕對(duì)非方冪式。

　　由以上方法我們能夠證明一元代數(shù)式：n^4+4n^3+6n^2+1，n^4+4n^3+4n+1，n^4+6n^2+4n+1，4n^3+6n^2+4n+1，在取n=1、2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全4次方數(shù)。這些代數(shù)式是4次絕對(duì)非方冪式。

　　能夠證明5次方以上的一元代數(shù)式(n+1)^m的展開項(xiàng)在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，鎖定其中的任意m項(xiàng)后，可得到m個(gè)不同的一元代數(shù)式，這m個(gè)不同的一元代數(shù)式在取n=1、2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全m次方數(shù)。這些代數(shù)式是m次絕對(duì)非方冪式。

　　現(xiàn)在我們用代數(shù)方法給出相鄰兩整數(shù)n與n+1的方冪數(shù)增項(xiàng)差公式;

　　2次方時(shí)有：(n+1)^2-n^2

　　=n^2+2n+1-n^2

　　=2n+1

　　所以，2次方相鄰整數(shù)的平方數(shù)的增項(xiàng)差公式為2n+1。

　　由于2n+1不含有方冪關(guān)系，而所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1，所以，當(dāng)2n+1為完全平方數(shù)時(shí)，必然存在n^2+(2√2n+1)^2=(n+1)^2即z-x=1之平方整數(shù)解關(guān)系，應(yīng)用增比計(jì)算法則，我們即可得到z-x=2，z- x=3，z-x=4，z-x=5……之平方整數(shù)解關(guān)系。但z-x>1的xyz互素的平方整數(shù)解不能由增比法則得出，求得這些平方整數(shù)解的方法是：

　　由(n+2)^2-n^2=4n+4為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=2的平方整數(shù)解后增比;

　　由(n+3)^2-n^2=6n+9為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=3的平方整數(shù)解后增比;

　　由(n+4)^2-n^2=8n+16為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=4的平方整數(shù)解后增比;

　　……

　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，我們可得到整數(shù)中全部平方整數(shù)解。

　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為2時(shí)成立。

　　同時(shí)，由于所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1及某些偶數(shù)的冪方可表為4n+4，6n+9，8n+16 …… 所以，還必有x^2+y^n=z^2整數(shù)解關(guān)系成立。

　　3次方時(shí)有：(n+1)^3-n^3

　　=n^3+3n^2+3n+1-n^3

　　=3n^2+3n+1

　　所以，3次方相鄰整數(shù)的立方數(shù)的增項(xiàng)差公式為3n^2+3n+1。

　　由于3n^2+3n+1是(n+1)^3的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是3次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)3n^2+3n+1的值都不是完全立方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^3+(3√3n^2+3n+1 )^3=(n+1)^3即z-x=1之立方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之立方整數(shù)解關(guān)系。但z-x>1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些立方費(fèi)馬方程式的方法是：

　　由(n+2)^3-n^3=6n2+12n+8，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù);

　　由(n+3)^3-n^3=9n2+27n+27，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù);

　　由(n+4)^3-n^3=12n2+48n+64，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù);

　　……

　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程3次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為3時(shí)無(wú)整數(shù)解。

　　4次方時(shí)有;(n+1)^4-n^4

　　=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-n^4

　　=4n^3+6n^2+4n+1

　　所以，4次方相鄰整數(shù)的4次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為4n^3+6n^2+4n+1。

　　由于4n^3+6n^2+4n+1是(n+1)^4的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是4次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)4n^3+6n^2+4n+1的值都不是完全4次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^4+ (4√4n3+6n2+4n+1)^4=(n+1)^4即z-x=1之4次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z- x=4，z-x=5……之4次方整數(shù)解關(guān)系。但z-x>1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些4次方費(fèi)馬方程式的方法是：

　　由(n+1)^4-n^4=8n3+24n2+32n+16，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù);

　　由(n+1)^4-n^4=12n3+54n2+108n+81，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù);

　　由(n+1)^4-n^4=16n3+96n2+256n+256，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù);

　　……

　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程4次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為4時(shí)無(wú)整數(shù)解。

　　m次方時(shí)，相鄰整數(shù)的方冪數(shù)的增項(xiàng)差公式為：

　　( n+1)^m-n^m

　　=n^m+mn^m-1+…+…+mn+1-n^m

　　=mn^m-1+…+…+mn+1

　　所以，m次方相鄰整數(shù)的m次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為mn^m-1+…+…+mn+1。

　　由于mn^m-1+…+…+mn+1是(n+1)^m的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是m次絕對(duì)非方冪式。所以，n為任何整數(shù)時(shí)mn^m-1+…+…+mn+1 的值都不是完全m次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^m+(m√mn^m-1+…+…+mn+1)^m =(n+1)^m即z-x=1之m次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之m次方整數(shù)解關(guān)系。但z-x>1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些m次方費(fèi)馬方程式的方法是：

　　由(n+2)^m-n^m=2mn^m-1+…+…+2^m-1 mn+2^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù);

　　由(n+3)^m-n^m=3mn^m-1+…+…+3^m-1 mn+3^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù);

　　由(n+4)^m-n^m=4mn^m-1+…+…+4^m-1 mn+4^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù);

　　……

　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=1、2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程m次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為m時(shí)無(wú)整數(shù)解。

　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n>2時(shí)永遠(yuǎn)沒有整數(shù)解。