西姆松定理說明

　　有三角形ABC，平面上有一點P。P在三角形三邊上的投影(即由P到邊上的垂足)共線(此線稱為西姆松線, Simson line)當且僅當P在三角形的外接圓上。

　　相關的結果有：

　　稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。

　　兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。

　　若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

　　從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

　　證明

　　證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.

　　易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，(∵都是∠ABP的補角)且∠PDE=∠PCE

　�、� 而∠ACP+∠PCE=180°

　　③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

　�、� 即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.

　　證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

　　M、P、L、C分別四點共圓，有

　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.

　　故A、B、P、C四點共圓。

　　若A、B、P、C四點共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有

　　∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.

　　故L、M、N三點共線。