定理的提出

　　一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

　　定理的內(nèi)容

　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

　　原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

　　從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).

　　證明

　　一、(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)

　　在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

　　因?yàn)椤鰽BE∽△ACD

　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

　　又有比例式AB/AC=AE/AD

　　而∠BAC=∠DAE

　　所以△ABC∽△AED相似.

　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

　　(1)+(2),得

　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

　　又因?yàn)锽E+ED≥BD

　　(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立，即“托勒密定理”)

　　所以命題得證

　　復(fù)數(shù)證明

　　用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

　　二、

　　設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD; 因?yàn)?ang;ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA; 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。

　　推論

　　1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號。

　　2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、

　　推廣

　　托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。

　　簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，

　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

　　注意：

　　1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。

　　2.四點(diǎn)不限于同一平面。

　　歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD