在△ABC內(nèi)任取一點O，

　　直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

　　證法簡介

　　(Ⅰ)本題可利用梅涅勞斯定理證明：

　　∵△ADC被直線BOE所截，

　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

　　而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

　�、�÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

　　(Ⅱ)也可以利用面積關系證明

　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

　�、�×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

　　設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，

　　根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

　　可用塞瓦定理證明的其他定理;

　　三角形三條中線交于一點(重心):如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

　　且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點

　　塞瓦定理推論(趙浩杰定理)：

　　設E是△ABD內(nèi)任意一點，

　　AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，(塞瓦定理)

　　則 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K為未知參數(shù))且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K為未知參數(shù))

　　由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1

　　所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(塞瓦定理推論)