這是我國古代的一道著名算題，用有關(guān)同余的理論來解答此題比較簡便，但用整除的知識來解答確也是一個好方法。
解 設(shè)兵數(shù)為x，由題目可知：
①30000＜x＜40000
�、凇熬殖�5營，則余1人”使我們知道：x的末尾數(shù)字是1或6，然后又均分成6營，余5人，因5是奇數(shù)，6是偶數(shù)，所以x末尾數(shù)字不可能為6，只可能為1。
抓住“均分成6營，則余5人”和“均分成13營，則余5人”就得到：13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以78|（x-5），且經(jīng)計算商的范圍在385和512之間，若設(shè)商為n，那么兵數(shù)x可以表示為78n＋5（385≤n≤512），x的末尾數(shù)字是1，那么x-5的末尾數(shù)字一定是6，（x-5）÷78的商n的末尾數(shù)字也只能是2或7，這就是說x可能為：30191、30581、30971、31361、31751、32141……39941（相鄰兩數(shù)之差是390）。但由于“均分成7營，則余4人；均分成11營，則余10人”，因此還得將以上的數(shù)檢驗一下，為了方便起見，可用數(shù)的整除特征來檢驗。當(dāng)檢驗得知32141符合題意時，還得繼續(xù)往下檢驗，因為有可能不止這一個數(shù)，但不必重復(fù)前面的步驟。具體做法如下：32141-10=32131，又32131＋390m＜40000，則m≤20，已知11|32131，如11|390m，就有11|32131＋390m，僅當(dāng)m=11時。則從中可知36431除以11余10，但用來除以7時并不余4，而是余3，表明x=36431是不符合題意的。由此就可確定此題有唯一解，即x=32141。
