歐拉發(fā)現(xiàn)在多面體的頂點、邊與面的數(shù)目間存在著一種簡單的關系，這種關系被視為圖論(graph theory)中相當重要的定理．

　　你現(xiàn)在應該可以自己敘述歐拉關系了．看看此關系是否也能適用于其他的多面體，檢驗一下你的推論．

　　當時歐拉認為這只是多面體的性質，但后來數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這種關系也能適用于球面或平面上的網(wǎng)絡．

　　考慮如圖1的網(wǎng)絡．其中有3個結點A、B、C，4條弧p、q、r、s；這個網(wǎng)絡把平面分成3個區(qū)域1、2、3．這些數(shù)目滿足下列關系：

　　N-A+R=2

　　N為結點的數(shù)目，A為弧的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目．你覺得這與多面體的關系是否有什么類似之處？

　　現(xiàn)在把上述的關系式用在其他的網(wǎng)絡上，試試結果如何．

　　你是否試過圖2中不相連的網(wǎng)絡？

　　你應該會發(fā)現(xiàn)，上述的關系式需要視網(wǎng)絡中分離部分的數(shù)目作修正．看看你是否能找到一個公式，不管網(wǎng)絡中到底有多少部分，都能成立．

　　“歐拉關系”與“網(wǎng)絡關系”之間的聯(lián)系可以用圖3說明．

　　想象一下，用具有彈性的材料做一個立方體，可以如圖3的方式伸展，然后壓平，成為平面上的網(wǎng)絡．原來立方體的每一個頂點現(xiàn)在都成為網(wǎng)絡中的結點，原來立方體的每一條邊現(xiàn)在則成為網(wǎng)絡中的一條�。�

　　立方體的每一面現(xiàn)在都成為平面中的一個區(qū)域，只除了ABCD之外，不過也可以把ABCD看成是代表網(wǎng)絡外部的區(qū)域．所有多面體以這種方式變換都可得到類似的結果，但要注意的是，對有洞的多面體需要做進一步的考察．

　　如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區(qū)域，則對歐拉的關系式還可以作進一步推廣．

　　考慮一下最簡單的多面體——四面體(圖4)．

　　四面體將空間分成兩個區(qū)域，且

　　V-E+F-R=4-6+4-2=0

　　其中V、E、F各代表多面體的頂點、邊與面的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目．現(xiàn)在在立方體上加一個金字塔形的角錐體．這種組合將空間分成3個區(qū)域，包括9個頂點、16條邊與10個面(圖5)．

　　我們再度得出

　　V-E+F-R=0

　　這是由歐拉原始的關系式推廣得出的另一個關系式．用其他的方法分割空間，檢驗一下這個關系式．