(1)由二十邊形的一個頂點能畫出多少條對角線?
(2)四邊形、五邊形、…n邊形,各有多少條對角線?
(3)對角線如不相交,在五邊形、六邊形、七邊形內(nèi)最多能畫出幾條對角線?
所謂“三角測量”,就是將多邊形分割成一些三角形,這是一種相當重要的基本測量方法.但在這里,我們主要是討論將多邊形分割成三角形的各種不同方式,以及記錄結(jié)果的方法.
圖2中的多邊形ABCDEF,可以用3條對角線AC、AD與DF分成三角形.試找出其他兩種用3條對角線將它分割成三角形的不同方法.
圖3中的七邊形則是被4條對角線分割成三角形.你還能找出多少種其他的方法?
有一種辦法可以很清楚地記錄不同的分割方法,那就是計算各頂點的三角形數(shù)目.因此這個多邊形的分割方法可以記錄為:
1 4 1 3 1 3 2
不論自哪個頂點開始,不論是順時針或逆時針方向,都會得到相同的數(shù)字.
1+4+1+3+1+3+2=15
以不同方式分割七邊形是否會得到相同的數(shù)字和?
請解釋你的結(jié)果.
取各種不同邊數(shù)的多邊形,并記錄下不同的分割方法;然后試試自己是否能不用繪圖,就預(yù)測出十邊形會有多少種不同的分割方法.
帶狀模式
把多邊形分割成三角形所形成的數(shù)列,可以用來形成一些相當有趣的模式.
第一行是只有1的數(shù)列.
第二行是將多邊形分割為三角形時所產(chǎn)生的數(shù)列.
第三行的形成方式如下:
第二行中兩個相鄰項的乘積為pq,減去1得(pq-1).將pq-1除以r,r為第一行的數(shù)字,就得到第三行在p與q之間的s:
所有其他行的數(shù)字也是按上述方法從上兩行的數(shù)字求出的.例如:試著自己作出類似的數(shù)字模式.
你所取的多邊形的邊數(shù)愈多,分割后得到的第二行數(shù)列就愈長,而這條“帶子”也就會愈寬.圖4是另一個例子,形成的帶狀模式如下所示.
除了水平方向之外,也要注意對角線方向的數(shù)字模式.