回文數(shù)

　　這種數(shù)類似25 452，從前往后讀與從后往前讀皆相同，所以稱為回文數(shù)(palindromic numbers)．

　　不要將一位數(shù)包括在內(nèi)，最小的回文質(zhì)數(shù)與最小的回文平方數(shù)是多少？其他還有多少小于1000的回文平方數(shù)？

　　在100與200之間有5個回文質(zhì)數(shù)，它們是多少？在400與700之間為何沒有回文質(zhì)數(shù)？試證明在1 000與2 000之間的所有回文數(shù)有公因數(shù)．

　　過剩數(shù)、完全數(shù)與虧損數(shù)

　　考慮8這個數(shù)．其因數(shù)除8外，還有1、2、4，其和為7，小于8．因此之故，希臘數(shù)學(xué)家將8歸類為過剩數(shù)(excessive number)．再如18這個數(shù)，其因數(shù)為1、2、3、6、9，和為21，所以是一種虧損數(shù)(defective number)．

　　有些數(shù)具有非常特殊的性質(zhì)，能等于其因數(shù)之和．例如6，其因數(shù)為1、 2、 3．希臘人將這些數(shù)稱為完全數(shù)(perfect num-ber)．

　　(1)將小于30的數(shù)以這3種性質(zhì)分類．

　　(2)完全數(shù)相當(dāng)少，且間隔很遠(yuǎn)．歐幾里德證明當(dāng)2n-1為質(zhì)數(shù)時，任何形式為

　　2n-1(2n-1)

　　的數(shù)皆為完全數(shù)．

　　試找出使2n-1為質(zhì)數(shù)的n值，以找到更多的完全數(shù)．

　　互滿數(shù)

　　有一些成對的數(shù)具有相當(dāng)奇妙的關(guān)聯(lián)性，也就是其中一個數(shù)的因數(shù)和會等于另一個數(shù)．因這種兩數(shù)之間存在“互利共生”的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家將它們命名為互滿數(shù)(amicable pairs)．

　　最小的一對互滿數(shù)為220與284．

　　220：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

　　284：1+2+4+71+142=220

　　歐拉在研究過這種數(shù)之后，在1750年給出了60對互滿數(shù)．但令人驚訝的是，他漏掉了第二小的一對，即1 184與1 210．直到1866年，才由一位16歲少年帕格尼尼(Paganini)發(fā)現(xiàn)了它們．試找出1 184與1 210的因數(shù)，并檢驗其密切的關(guān)聯(lián)性．