這個(gè)三角形的數(shù)字陣列稱為“帕斯卡三角形”，或是“楊輝三角”，以紀(jì)念法國數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家帕斯卡(Pascal)，以及中國數(shù)學(xué)家楊輝．你對這個(gè)三角形可能并不陌生，但究竟了解多少呢？

　　你能再給出下兩行嗎？

　　求出每一行的數(shù)字和，并推測第十二行的數(shù)字和．在許多情況下都會(huì)產(chǎn)生類似的數(shù)字形式，以下即介紹其中的幾種，你可以親自做個(gè)研究．

　　擲硬幣

　　假設(shè)將一枚硬幣擲4次，可能出現(xiàn)16種不同的組合方式，如上所示．其中第一欄為全是正面(H)，然后是3個(gè)正面、1個(gè)反面(T)，以此類推，直到?jīng)]有正面出現(xiàn)為止．

　　如此所形成的數(shù)列與帕斯卡三角形的第五行相同．請研究將銅板擲2次、3次與5次的情形．

　　11的乘方

　　請問到了哪一個(gè)階段才會(huì)脫離帕斯卡三角形的形式？為什么？

　　六邊形迷宮

　　16只老鼠跑進(jìn)如圖所示的六邊形迷宮中，到了叉路，一半走一條路，另一半走另一條路．

請問從p、q、r、s與t離開迷宮的老鼠各是多少只？將進(jìn)入迷宮的老鼠增為32只，并再往下計(jì)算一步．

　　紐約街道的最短路徑

　　紐約的街道形成如下所示的長方形網(wǎng)絡(luò)．

　　由起點(diǎn)到A，最短的路徑是走直線，而且沒有其他相同長度的走法．

　　可是由起點(diǎn)到B，共有6種不同的走法，向右需走兩格，向下需走兩格．圖中已經(jīng)表示出從起點(diǎn)到部分街道交點(diǎn)最短路徑的數(shù)目，請將缺漏的補(bǔ)上．你能從中看出帕斯卡三角形的形式嗎？

　　彩色積木

　　找一些長度為1、2、3、4、5且不同顏色的積木塊．上圖所示為用積木堆出長度4的所有8種可能方式．

　　用1塊積木只有1種方式．

　　用2塊積木有3種方式．

　　用3塊積木也有3種方式．

　　用4塊積木只有1種方式．

　　試考慮堆出長度5的各種方式．

　　二項(xiàng)式

　　(1+a)⁰=1

　　(1+a)¹=1+a

　　(1+a)²=1+2a+a²

　　(1+a)³=1+3a+3a²+a³

　　(1+a)⁴=1+4a+6a²+4a³+a⁴

　　展開(1+a)ⁿ的代數(shù)式，n為正整數(shù)，其中各項(xiàng)的系數(shù)必定與帕斯卡三角形中的數(shù)列相同．

　　帕斯卡三角形中的數(shù)字集

　　在帕斯卡三角形中沿著對角線，可以找到各種數(shù)字集．同時(shí)，對角線的數(shù)字和，也會(huì)等于下一條對角線中的下一個(gè)數(shù)字．例如：

　　1+2+3+4+5=15

　　1+3+6+10=20

　　1+4+10=15

　　將帕斯卡三角形略作變化，看看是否能發(fā)現(xiàn)其他有趣的數(shù)字形式．