雞兔同籠問(wèn)題及其幾類變形
來(lái)源:奧數(shù)網(wǎng) 文章作者:王新霞老師 2009-05-05 18:40:19
"雞兔同籠"問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題,最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中:"今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何?"
一、基本問(wèn)題
就是如《孫子算經(jīng)》中給出的一樣,知道總頭和總腳,求分量。
有的書中會(huì)給出解決這類雞兔同籠的基本關(guān)系式(公式):
雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
結(jié)果許多孩子以為這就是解決雞兔同籠的公式,一遇到這種題目就生搬硬套,結(jié)果碰到變式就找不到"腳、頭"。其實(shí)這類問(wèn)題考察的就是假設(shè)的思想,所以我從不主張孩子們記住這兩個(gè)式子,而是通過(guò)例題讓他們體會(huì)這種思想,只要思想掌握了,那么就可以"百題一解"了。
二、雞兔同籠的變形有兩類:
1、將雞兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)種的"和"變成""差,有三種情形:
①已知雞兔頭數(shù)之差和總腳數(shù),求雞兔;
②已知雞兔腳數(shù)之差和總頭數(shù),求雞兔;
、垡阎u兔頭數(shù)之差和腳數(shù)之差,求雞兔;
2、將基本問(wèn)題中的雞兔變成兩種不同的東西,或者變成三種、四種不同的東西。
對(duì)于這兩種變形,都可以轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題來(lái)解。
特別是后者,多種不同的物品,考慮采用"捆綁法",將有共同特征的幾種物體"捆綁"到一起,看成一種,再轉(zhuǎn)化成基本問(wèn)題。
例1求解《孫子算經(jīng)》中的基本問(wèn)題:
假設(shè)35只全是雞,則有35×2=70只腳…………假設(shè)
而實(shí)際有94只腳,少算了94-70=24只腳…………比較
原因是每只兔子少算了4-2=2只腳,所以有兔子24÷2=12只,
雞35-12=23只…………推理得結(jié)果
例2雞兔共有40只,雞腳數(shù)比兔腳數(shù)少70,雞兔各有多少只?
解:假設(shè)再補(bǔ)上70只雞腳,即再增加35只雞,…………假設(shè)
那么雞兔腳數(shù)相同,此時(shí)雞數(shù)是兔子只數(shù)的兩倍,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和倍問(wèn)題,
所以兔子有:(40+35)÷(2+1)=25只,
雞有40-25=15只…………推理得結(jié)果
例3一些奇異的動(dòng)物在草坪上聚會(huì),有獨(dú)角獸(1個(gè)頭、1只腳)、雙頭龍(2個(gè)頭、4只腳)、三腳貓(1個(gè)頭、3只腳)和四腳蛇(1個(gè)頭、4只腳)。如果草坪上的動(dòng)物共有58個(gè)頭、160只腳,且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍,那么其中獨(dú)角獸有只?
。2009年"迎春杯"小學(xué)四年級(jí)初試第8題)
分析:多種動(dòng)物的雞兔同籠問(wèn)題,要用"捆綁法",關(guān)鍵是將有共同特征的動(dòng)物先看成一種,從而將動(dòng)物種類減少。題目中有一句話"四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍",這是一個(gè)有用的暗示,二者肯定有關(guān)系。再觀察它們頭和腳的情況,發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象:
如果我用○代表1只雙頭龍,△代表1只四腳蛇,那么因四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍,則有下面對(duì)應(yīng)關(guān)系:
將1只雙頭龍和2只四腳蛇"捆"到一起,發(fā)現(xiàn)它們每一"捆"共有4頭12腳,恰好可以看成4只三腳貓。這樣就轉(zhuǎn)化為只有兩種動(dòng)物了:獨(dú)角獸(1頭1腳)和三腳貓(1頭3腳)共有頭58,腳160。
假設(shè)58只全是三腳貓,那么應(yīng)該有58×3=174(只)腳,…………假設(shè)
但現(xiàn)在只有160只,多算了174-160=14(只)腳,…………比較
是因?yàn)?只獨(dú)角獸只有1只腳,看成三腳貓后每一只多算了3-1=2只腳,
所以獨(dú)角獸有14÷2=7(只)。…………推理得結(jié)果
小結(jié):雞兔同籠的問(wèn)題有許多,但基本思想幾乎都用到假設(shè),再結(jié)合和、差、倍的方法,一般可以得到解決。解題基本脈絡(luò)既是:假設(shè)→假設(shè)的結(jié)果與所給條件比較→推理,得出差異的原因→求解得結(jié)果。
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