我們?cè)?jīng)學(xué)了二進(jìn)制以及八，十六及各種進(jìn)制的整數(shù)，以及它們的加減乘除四則運(yùn)算．大家必然會(huì)提問(wèn)：與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小數(shù)類似的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小數(shù)，如何推廣過(guò)來(lái)？
一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)，不妨先講純小數(shù)：0＜n＜1，
n＝0.b1b2b3…bi…，每個(gè)bi或?yàn)?，或?yàn)?．（bi不全為0，也不全為1）．
……
二進(jìn)制小數(shù)的運(yùn)算也和十進(jìn)制小數(shù)運(yùn)算相類似，差別在于這里是"逢二進(jìn)一"，"退一還二"．
十進(jìn)制小數(shù)化為二進(jìn)制小數(shù)，主要通過(guò)分?jǐn)?shù)作中間媒介．
例將（0.3）10化為二進(jìn)制小數(shù)．（用（a）k表示k進(jìn)位數(shù)）．
這表示十進(jìn)制有限小數(shù)可能化成二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)．
本節(jié)重點(diǎn)講二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)如何化為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)．回憶十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，一是要學(xué)習(xí)推理中的思想方法，二是最好歸納成一個(gè)易用易記的公式．
十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)一般公式：
這些公式的推導(dǎo)過(guò)程如下，請(qǐng)?bào)w會(huì)思想方法．
齊，消去了讓人"害怕"的無(wú)限長(zhǎng)（雖然是循環(huán)）的小數(shù)）：
至于混循環(huán)，只要借用已證得的公式①，因?yàn)?/p>
其實(shí)公式②中，當(dāng)s＝0時(shí)，就是公式①，復(fù)雜的公式②是借用簡(jiǎn)單情況下的公式①推來(lái)．推出后①包含在②之中．
對(duì)于二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，也可同樣推導(dǎo)．
至于二進(jìn)制混循環(huán)小數(shù)：也記這小數(shù)的整體為S．
從推導(dǎo)和記憶規(guī)則看，公式（1）和（2）與十進(jìn)制公式①和②相仿．那么讀者一定會(huì)歸納出任意進(jìn)制的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式．
解：用公式（1）
例3 化（0.100111011）2為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)．
解：由公式（2）
直接檢驗(yàn)
現(xiàn)在再看推導(dǎo)公式的方法，關(guān)鍵是把循環(huán)小數(shù)的值設(shè)為S，好比列方程設(shè)未知數(shù)，而10kS－S恰好消去了"燙手"的無(wú)限長(zhǎng)的小數(shù)部分，推出"方
這樣的思想，在研究等比數(shù)列時(shí)也用到了．以前講過(guò)有限項(xiàng)數(shù)列：a1，a2，a3，…，ai，…，an．所謂等比數(shù)列，即它每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)乘上一公共值q，也即：
a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，ai＝ai－1q，…，an＝an－1q，
或
a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，ai＝a1qi－1，…，an＝a1qn－1．
現(xiàn)在要求出a1＋a2＋a3＋…＋ai＋…＋an．
思想方法：第一步：
設(shè)S＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1．
上式兩邊乘上q，作為第二步：
qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn．
當(dāng)q＜1時(shí)，用上式兩邊減下式兩邊，得到
S－qS＝a1－a1qn，
公式（3）稱為公比小于1的等比級(jí)數(shù)前n項(xiàng)求和公式．它敘述為：前n項(xiàng)和等于首項(xiàng)與首項(xiàng)乘公比的n次冪的差除以1與公比之差．
例4
最后以一個(gè)很精彩的例來(lái)結(jié)束本節(jié)（本例選自美國(guó)1993年第四十四屆高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第30題．雖是高中競(jìng)賽題，但本講知識(shí)可解此題）
例5 x0是任意取定的數(shù)，滿足0≤x0＜1，對(duì)于所有的自然數(shù)n，xn由下述遞推的關(guān)系式確定：
求使得x0＝x5的x0的個(gè)數(shù)．
分析 所謂遞推關(guān)系式，就是一旦給定了一個(gè)初始值x0，例如取x0＝
總之，后項(xiàng)取決于前項(xiàng)的2倍值，當(dāng)前項(xiàng)2倍值大于1時(shí)，就取該值；不小于1時(shí)（決不會(huì)超過(guò)2）就取它與1的差值．）
如果我們?cè)O(shè)x0是一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)，即設(shè)x0＝（0.d1d2d3…）2，那么
2x0＝（10）2×（0.d1d2d3…）2＝（d1·d2d3d4…）2，
即2x0。只是把x0的二進(jìn)制表示中的小數(shù)點(diǎn)向右移一位．因此2x0<1相當(dāng)于d1＝0，2x0≥1相當(dāng)于d1＝1；那么按遞推關(guān)系式的規(guī)定，x1變得特別簡(jiǎn)明：
x1＝（0.d2d3d4d5…）2．
因?yàn)槿绻鹍1＝0，即2x0＜1，則x1＝2x0＝（0.d2d3d4…）2；如果d1＝1，即2x0≥1，則x1＝2x0－1＝（1.d2d3d4…）2－1＝（0.d2d3d4…）2，同樣的規(guī)律，在由xi求xi＋1時(shí)也成立，i＝1，2，…，即
x2＝（0.d3d4d5d6…）2；x3＝（0.d4d5d6…）2；
x4＝（0.d5d6d7…）2；x5＝（0.d6d7d8…）2；
按條件應(yīng)有x0＝x5，即：
（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10…）2＝（0.d6d7d8d9d10d11d12d13…）2，
這相當(dāng)于x0是循環(huán)節(jié)為5的二進(jìn)制純循環(huán)小數(shù)，即
由于每一個(gè)di的值，只有0，1兩種可能，所以：
x0有25＝32個(gè)可能值，它們依小到大排成：
但別忘了題設(shè)限定0≤x0＜a，x0小于1，而由公式（1）知循環(huán)小數(shù)
