1.三邊均為整數(shù)，且最長邊為11的三角形有多少個？
參考答案：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果將11改為n的話，
n=2k-1時，為k^2個三角形；
n=2k時，為(k+1)k個三角形。
2.已知各項均為正整數(shù)的算術(shù)級數(shù)，其中一項是完全平方數(shù)，證明：此級數(shù)一定含有無窮多個完全平方數(shù)．
參考答案
證明：首先由級數(shù)各項為正可知公差d>=0,d=0,則a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一項為完全平方數(shù)，所有項均為完全平方數(shù)，由于級數(shù)的項數(shù)為無限，所以命題得證。
d>0，時d一定為正整數(shù)。不妨設(shè)第i項為完全平方數(shù)ai=k^2(i=1,2,3,...),則ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也為完全平方數(shù)，所以第i+(2k+d)d項為完全平方數(shù)，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)項均為完全平方數(shù)（數(shù)學(xué)歸納法的證明略），由于n可取無窮項，所以命題得證。
綜上命題成立。
3.求所有的素數(shù)p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素數(shù)．
參考答案
考慮p對5的余數(shù),余數(shù)為1時
余數(shù)為1時：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數(shù)；
余數(shù)為2時：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數(shù)；
余數(shù)為3時：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數(shù)；
余數(shù)為4時：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數(shù)；
所以由上可知5|p，然而p是質(zhì)數(shù)，所以p只能是5。
4.證明存在無限多個自然數(shù)a有下列性質(zhì)：對任何自然數(shù)n，z＝n^4＋a都不是素數(shù)．
參考答案
證明：利用費馬小定理的另一種形式p|n^(p-1)-1,(p為質(zhì)數(shù),n為任意自然數(shù))，所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z＝n^4＋a都不是素數(shù)，所以命題得證。
5.證明：如果p和p＋2都是大于3的素數(shù)，那么6是p＋1的因數(shù)
參考答案
p p+1 p+2 是3個連續(xù)自然數(shù)其中必有一個數(shù)被3整除,
已知 P P+2是素數(shù), P P+2不能被3整除. 則P+1能被3整除.
又, P是素數(shù), P一定是奇數(shù), P+1是偶數(shù),
故P+1必被6整除.
備注：此答案為網(wǎng)友回答，同學(xué)們?nèi)缬胁煌庖娍苫貜?fù)答案。
