波利亞指出：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程，那么就應(yīng)該讓合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?rdquo;《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出要求：“發(fā)展初步的合情推理能力，能用實(shí)例對一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗(yàn)。”課程改革以來，合情推理受到了教師們前所未有的關(guān)注，數(shù)學(xué)教材中也大量地采用了數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納等合情推理的方法。不可否認(rèn)，許多重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是在猜想中誕生的，但與此同時(shí)，我還看到了一些令人擔(dān)憂的現(xiàn)象：當(dāng)學(xué)生的猜想與教師不謀而合時(shí)，教師喜形于色；在猜想只是得到個別實(shí)例的印證而不是普遍印證時(shí)，結(jié)論匆匆而定……我感到了驗(yàn)證意識的淡化和漠視，驗(yàn)證方法的盲目和缺失。最近我對“加法的交換律和結(jié)合律”進(jìn)行了兩輪的教學(xué)實(shí)踐與反思，使我對如何在課堂教學(xué)中發(fā)展初步的合情推理能力，能用實(shí)例對一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗(yàn)，有了更深刻的理解；對如何利用數(shù)學(xué)猜想、枚舉歸納等合情推理的方法，有了進(jìn)一步的感悟。
案例：加法交換律和加法結(jié)合律
教學(xué)加法交換律時(shí)，出示了以下幾組算式讓學(xué)生計(jì)算。
16+27 27+16
45+27 27+45
……
師：你發(fā)現(xiàn)了什么？大膽地猜猜看�。ㄉ杂砂l(fā)表意見，師隨之用等于號將每組算式的左右兩邊連接起來。）
師：是不是像這樣的算式都有同樣的規(guī)律呢？你能仿照黑板上的樣子，再寫幾個嗎？
……
反思與實(shí)踐
從課堂教學(xué)流程上看，學(xué)生寫出了很多，也交流了不少，論據(jù)可謂充分�？稍谡n后交流評析時(shí)，教研室趙主任的一句追問：“學(xué)生算了嗎？”使我如夢初醒。學(xué)生所舉的大量實(shí)例的價(jià)值就遭到了懷疑。原來，他們只是在機(jī)械地模仿，舉的例子也是漫無目的，甚至不知道教師的本意是讓他們通過計(jì)算來驗(yàn)證，而不是簡單地依葫蘆畫瓢！如此“驗(yàn)證”，徒具其形，未具其神。如此“驗(yàn)證”，所謂的滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的思維水平的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)也只能是紙上談兵罷了。教學(xué)的的失敗使我陷入了深刻的思考。教學(xué)流程雖致力于讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證”的過程，也意識到“枚舉歸納”是小學(xué)階段重要的驗(yàn)證方法，但是對于“枚舉歸納法”都缺乏深層次的認(rèn)識。于是我們對相關(guān)理論進(jìn)行了再學(xué)習(xí)，明白了所謂枚舉歸納是“根據(jù)一類事物中部分對象具有某種屬性并且沒有遇到反例，從而推出該類所有對象都具有這種屬性的歸納推理。”運(yùn)用簡單枚舉歸納推理時(shí)應(yīng)注意：被考察的對象數(shù)量越多、范圍越廣，結(jié)論就越可靠。教學(xué)之所以失敗，癥結(jié)就在這里。
可以說，解剖課例的過程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“鳳凰涅磐”般的重生。于是有了第二次實(shí)踐。
為了防止學(xué)生機(jī)械模仿，我先示范著現(xiàn)場編出兩個算式：
17+39 39+17
師：這兩個算式是否相等？怎樣才能知道？（強(qiáng)調(diào)計(jì)算）然后鄭重其事地在中間劃上了等于號。
師：請你再寫幾組這樣的算式，并且算一算，看看剛才的猜想是否正確？
學(xué)生舉例、計(jì)算，教師有選擇、有順序地組織交流。
生1：因?yàn)?0+20=30 20+10=30 所以10+20=20+10
生2：因?yàn)?8+26=44 26+18=44 所以18+24=24+18
師：上面的例子都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，還有不同的例子嗎？
生3：因?yàn)?+9=16 9+7=16 所以7+9=9+7
生4：因?yàn)?+18=26 18+8=26 所以8+18=18+8
生5：因?yàn)?26+100=226 100+126=226 所以126+100=100+126
師：剛才同學(xué)們舉出了一位數(shù)加一位數(shù)、兩位數(shù)加一位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)等不同的類型的例子，計(jì)算起來都不困難，誰能舉個難一點(diǎn)的數(shù)？
在教師的“鼓動”下，同學(xué)們躍躍欲試，舉出了更大的數(shù)。最后借助計(jì)算器，猜想同樣得到了驗(yàn)證。這時(shí)學(xué)生的興致調(diào)到了極高點(diǎn)。
師：剛才同學(xué)們列舉不同的類型的例子，還有一個非常特殊的數(shù)在暗自傷心呢！怎么把它給忘了呢？包含0的算式是否也符合這個規(guī)律呢？你能舉個例子嗎？
師：有沒有不符合這個規(guī)律的例子？你能舉出來嗎？
……
學(xué)生的視角在教師的引領(lǐng)下，不斷地得以延展。
接下來，加法結(jié)合律的猜想及驗(yàn)證過程順暢自然，一氣呵成。
感悟與反思：
第二次試教雖然教師對“驗(yàn)證”只字未提，但我們可以感受到學(xué)生時(shí)時(shí)刻刻、真真切切地在經(jīng)歷驗(yàn)證的過程。隨著教師組織的逐步深入，學(xué)生的思維也隨之逐步優(yōu)化。從理論上講，再多的例子也只是不完全歸納，但我們仿佛看到廣闊的數(shù)學(xué)王國展現(xiàn)在學(xué)生的視野中，一位數(shù)加一位數(shù)、兩位數(shù)加一位數(shù)、兩位數(shù)加兩位數(shù)，甚至更大的數(shù)和特殊的0，都滿足這樣的規(guī)律而且沒有人能舉出反例，我們有理由相信枚舉歸納的結(jié)論是正確的。在這個過程中，學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是學(xué)會了獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的思想方法。兩次試教及兩次比較，使我深刻認(rèn)識到：
1．豐富的數(shù)學(xué)活動素材為“猜想—驗(yàn)證”提供物質(zhì)基礎(chǔ)。
驗(yàn)證結(jié)論是否可靠，在一定程度上取決于所枚舉事例的數(shù)量和范圍。所以，在運(yùn)用枚舉法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師要十分重視對學(xué)習(xí)材料的選擇和設(shè)計(jì)，盡量增加枚舉的數(shù)量，防止千人一面；同時(shí)要十分重視對學(xué)習(xí)活動的優(yōu)化和組織，盡量擴(kuò)展考察的范圍，防止以偏概全。在生動活潑、精彩紛呈的數(shù)學(xué)活動材料的刺激下，學(xué)生的個性才能得到張揚(yáng)，潛能才能得到挖掘。只有這樣，才能作出有價(jià)值的猜想和多方法、多方位的驗(yàn)證，從而盡可能地增加結(jié)論的可信度。
2．豐厚的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)為“猜想—驗(yàn)證”積淀思想方法。
如果枚舉時(shí)只注重“量”而忽略了“質(zhì)”，只注重了廣泛的“發(fā)散”而忽略了典型的“提煉”，那么學(xué)生的思維水平就永遠(yuǎn)無法提升。教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和點(diǎn)撥，猶如醍醐灌頂般促進(jìn)學(xué)生的思維從合情推理水平向邏輯推理水平過渡，幫助學(xué)生積累從感性認(rèn)識躍向理性認(rèn)識的經(jīng)驗(yàn)。在這樣的數(shù)學(xué)活動過程中，學(xué)生獲取的不僅僅是數(shù)學(xué)基本知識和基本技能，更重要的是數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，尤其是，難能可貴的探究的品質(zhì)將在學(xué)生的心靈生根、萌芽。
3、有效的課堂交流是“猜想—驗(yàn)證”的有力保證。
“枚舉歸納”是小學(xué)階段重要的驗(yàn)證方法。在培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力中發(fā)揮較大的作用，可以促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成。學(xué)生的猜想不可能都是正確的，而且往往是“異想天開”。作為教師，對待任何猜想，始終應(yīng)該保持一條原則，那就是適時(shí)引導(dǎo)并組織有效交流，讓他們把自己的猜想依據(jù)、實(shí)踐過程以及得到的結(jié)論說出來，在猜想中探索出正確的答案，在實(shí)踐中驗(yàn)證猜想的準(zhǔn)確性，使其認(rèn)識更加明確、思維更加完善，從而產(chǎn)生猜想的良性循環(huán)。
