問：小數(shù)乘法和除法這兩個(gè)單元的內(nèi)容是如何安排的？

　　答：有關(guān)小數(shù)乘法和除法的教學(xué)內(nèi)容比較多，分兩個(gè)單元安排，能使每個(gè)單元的容量適中，內(nèi)容清楚，便于教師在教學(xué)時(shí)抓住重點(diǎn)，突出基礎(chǔ)知識(shí)。下面是這兩個(gè)單元的主要教學(xué)內(nèi)容。

　　這樣的安排，有利于學(xué)生充分利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，循序漸進(jìn)地經(jīng)歷知識(shí)發(fā)展、形成的過程。下面是有關(guān)小數(shù)乘法和小數(shù)除法知識(shí)建構(gòu)的線索。

　　教材在兩個(gè)單元之間插入公頃和平方千米的教學(xué)，有利于學(xué)生及時(shí)應(yīng)用小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)等知識(shí)。如把以平方米為單位的數(shù)改寫成以公頃為單位的數(shù)，要把一個(gè)數(shù)除以10 000；把以平方千米為單位的數(shù)改寫成以公頃為單位的數(shù)，要把一個(gè)數(shù)乘100。另外，適時(shí)變換教學(xué)內(nèi)容，能避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能產(chǎn)生的厭倦情緒，形成良好的情感體驗(yàn)。

　　根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的具體目標(biāo)，這兩個(gè)單元精簡(jiǎn)了有關(guān)循環(huán)小數(shù)知識(shí)的教學(xué)。在第七單元里不出現(xiàn)除不盡的除法，在第九單元里只結(jié)合小數(shù)除法中除不盡的實(shí)例，指出循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)，講述循環(huán)小數(shù)的概念。在“你知道嗎”里介紹有限小數(shù)與無限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)的表示方法等內(nèi)容，讓學(xué)生通過閱讀有所了解，不作為必須掌握的知識(shí)。

　　問：為什么在第七單元安排一個(gè)小數(shù)乘或除以10、100、1 000……這一內(nèi)容的教學(xué)？教學(xué)時(shí)要注意什么？

　　答：第七單元的例2教學(xué)一個(gè)小數(shù)乘10、100、1 000……例5教學(xué)一個(gè)小數(shù)除以10、100、1 000……學(xué)生掌握這些知識(shí)，就能更方便地進(jìn)行進(jìn)率是10、100、1 000……的計(jì)量單位的改寫。如把500千克改寫成以噸為單位的數(shù)，要把500除以千克與噸的進(jìn)率1 000，可以直接把500的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位。更重要的是，小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)的這一規(guī)律是探索小數(shù)乘小數(shù)、小數(shù)除以小數(shù)計(jì)算方法必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)。如把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，去掉乘數(shù)里的小數(shù)點(diǎn)是把乘數(shù)中的小數(shù)分別乘10、100、1 000……把整數(shù)乘法的積回歸到小數(shù)乘法的積，是把一個(gè)數(shù)除以10、100、1 000……再如，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，是把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10、100或1 000……

　　例2和例5的教學(xué)都是研究幾個(gè)實(shí)例，從中找到具有普遍意義的規(guī)律。先用計(jì)算器計(jì)算5.04乘10、100、1 000以及21.5除以10、100、1 000的結(jié)果各是多少，初步感受小數(shù)點(diǎn)的位置變化；再任意找?guī)讉�(gè)小數(shù)分別乘（或除以）10、100、1 000，繼續(xù)觀察小數(shù)點(diǎn)位置的變化情況，從而得到一個(gè)數(shù)乘（或除以）10、100、1 000……只要把這個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)一位、兩位、三位……的結(jié)論。這一過程體現(xiàn)了科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)態(tài)度，結(jié)論不僅代表一個(gè)實(shí)例的特征，更是許多同類實(shí)例的共同規(guī)律，兩道例題之后的“練一練”第2題，根據(jù)乘數(shù)或被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)方向和位數(shù)，判斷另一個(gè)乘數(shù)或除數(shù)是幾，應(yīng)用結(jié)論開展逆向思考，能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)的規(guī)律。

　　問：怎樣教學(xué)小數(shù)乘法？

　　答：小數(shù)乘法的計(jì)算方法分小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)兩種情況。

　　教材對(duì)小數(shù)乘整數(shù)這一內(nèi)容的編寫有一定的創(chuàng)造性。先通過夏天和冬天分別買3千克西瓜要多少元這個(gè)實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生列出算式0.8 × 3、2.35 × 3，體會(huì)這兩道乘法算式都是求3個(gè)相同小數(shù)相加的和；再根據(jù)3個(gè)0.8連加得2.4，3個(gè)2.35連加得7.05，分別在豎式的上寫出積，感受小數(shù)乘整數(shù)可以像整數(shù)乘法那樣進(jìn)行筆算；然后在“試一試”里用計(jì)算器計(jì)算三道小數(shù)與整數(shù)相乘的算式，觀察積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)的小數(shù)位數(shù)，初步知道因數(shù)里有幾位小數(shù)，積里也有幾位小數(shù)。這樣，學(xué)生就能逐步理解小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘法的聯(lián)系與區(qū)別，初步學(xué)會(huì)應(yīng)用整數(shù)乘法的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算小數(shù)乘法。在小組里說說小數(shù)和整數(shù)相乘應(yīng)該怎樣計(jì)算，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了回顧與交流的機(jī)會(huì)，有助于進(jìn)一步清晰地認(rèn)識(shí)算法。

　　教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)的時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)有小數(shù)乘整數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)主動(dòng)把乘數(shù)都看作整數(shù)，教學(xué)的重點(diǎn)是找準(zhǔn)積里小數(shù)點(diǎn)的位置。第86頁例1提出“把兩個(gè)小數(shù)都看成整數(shù)，相乘后怎樣才能得到原來的積”這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用積的變化規(guī)律和小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)的規(guī)律，在豎式上進(jìn)行推理。聯(lián)系四年級(jí)（下冊(cè)）里的知識(shí)，乘法算式的一個(gè)因數(shù)乘10，另一個(gè)因數(shù)也乘10，得到的積等于原來的積乘100，理解從36 × 18的積1 008得出3.6 × 1.8的積，應(yīng)該把1 008除以100，也就是把1 008的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。“試一試”讓學(xué)生再次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，以及從整數(shù)乘法的積得到小數(shù)乘法的積的過程，著重體驗(yàn)兩個(gè)因數(shù)一共有的小數(shù)位數(shù)與積里小數(shù)位數(shù)間的因果關(guān)系，并自己總結(jié)小數(shù)乘法的計(jì)算方法。這時(shí)的計(jì)算方法既應(yīng)用于小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算，也統(tǒng)攝了小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算。

　　問：怎樣教學(xué)小數(shù)除法？

　　答：小數(shù)除法的計(jì)算分除數(shù)是整數(shù)的除法和除數(shù)是小數(shù)的除法兩段。

　　第72頁的例題依次教學(xué)三點(diǎn)知識(shí)：商里小數(shù)點(diǎn)的位置，在最后余下的數(shù)的右邊添0繼續(xù)除，商不滿1要在個(gè)位上寫0。教學(xué)第一點(diǎn)知識(shí)，把9.6元看成 96角或9元6角，得到每千克蘋果的價(jià)錢32角或3元2角，寫成小數(shù)是3.2元，體會(huì)商的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。教材給被除數(shù)與商的小數(shù)點(diǎn)都套紅色并圈起來，引起學(xué)生的注意。教學(xué)第二點(diǎn)知識(shí)，在余下的2的右邊添0，讓學(xué)生思考“表示20個(gè)幾分之一”，回憶小數(shù)的基本性質(zhì)，體會(huì)添這個(gè)0是合理的，添0就能繼續(xù)往下除。教學(xué)要及時(shí)在商里點(diǎn)出小數(shù)點(diǎn)，使20個(gè)十分之一除以5的商有適當(dāng)?shù)奈恢每蓪�。以后�?jì)算除法時(shí)，如果遇到最后有余下的數(shù)，都可以在它的右邊添0繼續(xù)除。教學(xué)第三點(diǎn)知識(shí)，要突出“個(gè)位不夠商1，怎么辦”這一問題，讓學(xué)生聯(lián)系“不夠商1可以商0”的經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)在個(gè)位上寫0，并體會(huì)如果不寫這個(gè)0，商就缺少整數(shù)部分，不是一個(gè)完整的小數(shù)。上面三點(diǎn)知識(shí)逐一教學(xué)以后，要求學(xué)生說說小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，初步形成計(jì)算法則。練習(xí)十三第11題設(shè)計(jì)了兩個(gè)題組，都是綜合應(yīng)用例題教學(xué)的計(jì)算知識(shí)。左邊的題組里被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置不同，商里小數(shù)點(diǎn)的位置也隨之不同，突出商的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；右邊的題組突出及時(shí)在商里點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，以及個(gè)位不夠商1要商0。

　　第93頁和第95頁的例題教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法。教材突出了將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，利用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算的策略。同時(shí)強(qiáng)調(diào)，被除數(shù)和除數(shù)必須乘相同的數(shù)，也就是被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)要隨除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，向右移動(dòng)相同的位數(shù)，保持商不變。如果被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少，要在被除數(shù)的末尾用0補(bǔ)足。計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法，關(guān)鍵是讓被除數(shù)隨著除數(shù)進(jìn)行相同的變化，練習(xí)十八第1題設(shè)計(jì)了這方面的專項(xiàng)練習(xí)，其中有被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)和除數(shù)的小數(shù)位數(shù)同樣多的情況，也有被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多或少的情況。

　　問：為什么讓學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法的運(yùn)算律？

　　答：第一次教學(xué)乘法運(yùn)算律是在四年級(jí)，那時(shí)只在整數(shù)范圍內(nèi)認(rèn)識(shí)和使用乘法的交換律、結(jié)合律和分配律。在小數(shù)乘法里是否仍然存在這些運(yùn)算律，需要驗(yàn)證和確認(rèn)，這是數(shù)域擴(kuò)展必須研究的一個(gè)內(nèi)容。因此，在教學(xué)小數(shù)乘法的計(jì)算法則之后，教材編排了一道例題教學(xué)運(yùn)算律及其應(yīng)用的問題。

　　有人會(huì)問：整數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序可以直接應(yīng)用于小數(shù)混合運(yùn)算，為什么整數(shù)的運(yùn)算律不能直接遷移應(yīng)用呢？這是由于兩個(gè)知識(shí)的性質(zhì)不同。運(yùn)算順序是人們?cè)谟?jì)算時(shí)約定共同遵守的規(guī)則，因而可以規(guī)定運(yùn)算順序既適用于整數(shù)，也適用于小數(shù)。運(yùn)算律則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)律，不是人們主觀規(guī)定的。因而小數(shù)乘法是否存在運(yùn)算律，需要通過對(duì)實(shí)例的研究，發(fā)現(xiàn)并得出結(jié)論。

　　第90頁例4里有三組算式，先算出同組兩道算式的得數(shù)相同，用等號(hào)連接兩道算式。然后分別觀察三組等式，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小數(shù)相乘，可以調(diào)換乘數(shù)的位置；三個(gè)小數(shù)連乘，可以先把前面的兩個(gè)小數(shù)相乘，再與第三個(gè)小數(shù)相乘，也可以先把后面的兩個(gè)小數(shù)相乘，再與第一個(gè)小數(shù)相乘；兩個(gè)小數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加。從而得出整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)乘法同樣適用的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算律適用數(shù)域的擴(kuò)展。教學(xué)例4要注意兩點(diǎn)：一是圓圈里的等號(hào)必須在計(jì)算之后，確認(rèn)左右兩式的得數(shù)相同后填寫，絕不能未經(jīng)計(jì)算就寫等號(hào)。如果不計(jì)算就寫等號(hào)，例題的教學(xué)就不是發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律同樣適用，變成應(yīng)用運(yùn)算律改寫算式了，這就在認(rèn)知程序上發(fā)生了邏輯錯(cuò)誤。二是讓學(xué)生指著三組等式逐一說說各表示什么運(yùn)算律以及各條運(yùn)算律的具體內(nèi)容，使運(yùn)算律的內(nèi)涵更加清楚。在證實(shí)小數(shù)乘法同樣存在運(yùn)算律之后，就可以把應(yīng)用整數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)乘法中來。

　　問：為什么研究積與因數(shù)、商與被除數(shù)的大小關(guān)系？

　　答：研究積與因數(shù)的大小關(guān)系有兩點(diǎn)作用：一是改變?cè)瓉淼某朔ㄓ^念，發(fā)展乘法的意義。整數(shù)乘法的積一般總是大于因數(shù)（因數(shù)是0或1除外）。小數(shù)乘法里，有時(shí)積大于因數(shù)，有時(shí)積小于因數(shù)，這是另一個(gè)因數(shù)大于1或小于1造成的。這就滲透了一個(gè)數(shù)乘大于1的數(shù)，是求這個(gè)數(shù)的幾倍；一個(gè)數(shù)乘小于1的數(shù)，是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾。這些認(rèn)識(shí)完善了乘法的意義，在以后教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)會(huì)得到進(jìn)一步理解。二是可以用于估計(jì)筆算的結(jié)果是否合理。第11題在計(jì)算前先根據(jù)第二個(gè)因數(shù)的情況，說出積大于還是小于第一個(gè)因數(shù)，這是估計(jì)。盡管這樣的估計(jì)與精確計(jì)算的誤差相當(dāng)大，但畢竟清楚了積的范圍。一旦筆算的結(jié)果超出這個(gè)范圍，就能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和改正錯(cuò)誤。

　　同樣，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)商與被除數(shù)的大小關(guān)系，對(duì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)除法的意義、估計(jì)除法的商以及監(jiān)控筆算得數(shù)的合理性都有積極的意義。

　　第103頁第7題在積與因數(shù)、商與被除數(shù)的大小關(guān)系的基礎(chǔ)上編排，包含了豐富的教學(xué)內(nèi)容。如5.4 × 0.1和5.4 ÷ 10的得數(shù)都是0.54，可以看成是求5.4的十分之一是多少；4.8 ÷ 0.1和4.8 × 10的得數(shù)都是48，可以看成是求4.8的10倍是多少。又如2.6 × 0.5與2.6 ÷ 2的得數(shù)相同，2.6 ÷ 2的計(jì)算比2.6 × 0.5簡(jiǎn)便；1.5 ÷ 0.25與1.5 × 4的得數(shù)相同，1.5 × 4的計(jì)算比1.5 ÷ 0.25簡(jiǎn)便……學(xué)生通過計(jì)算、比較和思考，能夠有許多體會(huì)。教學(xué)要注意的是，這些內(nèi)容不應(yīng)是教師告訴學(xué)生的，也不需教師講得清清楚楚，只要求學(xué)生有所感受或聯(lián)想，使不同的學(xué)生有不同的收獲。