第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題
做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會(huì)算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說(shuō)做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開(kāi)始.
加、減、乘是最基本的運(yùn)算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系.
2.1 和差問(wèn)題
說(shuō)到“和差問(wèn)題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說(shuō)：“我會(huì)！”和差問(wèn)題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：
大數(shù)=（和+差）÷2
小數(shù)=（和-差）÷2
會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問(wèn)題來(lái)算.
先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
例1 張明在期末考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門(mén)功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分，張明這兩門(mén)功課的成績(jī)各是多少分？
解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門(mén)得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此
數(shù)學(xué)得分=（95×2＋8）÷2＝99.
語(yǔ)文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.
答：張明數(shù)學(xué)得99分，語(yǔ)文得91分.
注：也可以從 95×2-99＝91求出語(yǔ)文得分.
例2 有 A，B，C三個(gè)數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個(gè)數(shù).
解：從B+C＝197與A+C＝149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，
A＝252-150＝102，
C＝149-102＝47.
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.
注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法
（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.
上面式子說(shuō)明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.
A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此
C＝299-252＝47，
B＝299-149＝150，
A＝299-197＝102.
例3 甲、乙兩筐共裝蘋(píng)果75千克，從甲筐取出5千克蘋(píng)果放入乙筐里，甲筐蘋(píng)果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋(píng)果多少千克？
解：畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖，
就可以看出，原來(lái)甲筐蘋(píng)果比乙筐多
5＋7＋ 5＝ 17（千克）
因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.
甲筐蘋(píng)果數(shù)=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.
乙筐蘋(píng)果數(shù)=75-46＝29（千克）.
答：原來(lái)甲筐有蘋(píng)果46千克，乙筐有蘋(píng)果29千克.
例4 張強(qiáng)用270元買(mǎi)了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買(mǎi)外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買(mǎi)這雙鞋花多少錢(qián)？
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是 270元，差是 210元.
外衣和鞋價(jià)之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此
鞋價(jià)=（240-140）÷2＝50（元）.
答：買(mǎi)這雙鞋花50元.
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說(shuō)，“和差問(wèn)題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.
例5 李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開(kāi)足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間（上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì)）？
解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160（分鐘）.
晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了.
因此
鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120（分鐘）.
現(xiàn)在已把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問(wèn)題了.
鐘停的時(shí)間=（160＋120）÷ 2＝ 140（分鐘）.
路上用的時(shí)間=160-140＝20（ 分鐘）.
答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：
以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門(mén)，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來(lái)回共用的時(shí)間，所以上班路上所用時(shí)間=（8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘）÷2＝20（分鐘）.
鐘停時(shí)間=2小時(shí) 40分鐘-20分鐘
=2小時(shí)20分鐘.
例6 小明用21.4元去買(mǎi)兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢(qián)恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問(wèn)小明買(mǎi)甲、乙卡各幾張？
解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買(mǎi)的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（張）.
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問(wèn)題就解決了.如何求呢？請(qǐng)注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
因此，甲卡張數(shù)是
（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（張）.
乙卡張數(shù)是 18-11＝ 7（張）.
答：小明買(mǎi)甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請(qǐng)見(jiàn)下一講.
例7 有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形（B）的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米？
解：大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×2+寬×4.
大長(zhǎng)方形（B）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×4+寬×2.
因此，240+258是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×6+寬×6.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是
�。�240＋258）÷6＝83（厘米）.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是
（258-240）÷2＝9（厘米）.
因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是
長(zhǎng)：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.
寬：（83-9）÷2＝37（厘米）.
答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米
