第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題
做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會(huì)算,而且要 多思考,善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系,可以說(shuō)做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開(kāi)始.
加、減、乘是最基本的運(yùn)算,和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系.
2.1 和差問(wèn)題
說(shuō)到“和差問(wèn)題”,小學(xué)高年級(jí)的同學(xué),人人都會(huì)說(shuō):“我會(huì)!”和差問(wèn)題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的,知道兩個(gè)數(shù)的和與差,求兩數(shù),有計(jì)算公式:
大數(shù)=(和+差)÷2
小數(shù)=(和-差)÷2
會(huì)算,還要會(huì)靈活運(yùn)用,要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問(wèn)題來(lái)算.
先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
例1 張明在期末考試時(shí),語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門(mén)功課的平均得分是95分,數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分,張明這兩門(mén)功課的成績(jī)各是多少分?
解:95乘以2,就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門(mén)得分之和,又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此
數(shù)學(xué)得分=(95×2+8)÷2=99.
語(yǔ)文得分=(95×2-8)÷2= 91.
答:張明數(shù)學(xué)得99分,語(yǔ)文得91分.
注:也可以從 95×2-99=91求出語(yǔ)文得分.
例2 有 A,B,C三個(gè)數(shù),A加 B等于 252,B加 C等于 197, C加 A等于 149,求這三個(gè)數(shù).
解:從B+C=197與A+C=149,就知道B與A的差是197-149,題目又告訴我們,B與A之和是252.因此
B=(252+ 197-149)÷ 2= 150,
A=252-150=102,
C=149-102=47.
答:A,B,C三數(shù)分別是102,150,47.
注:還有一種更簡(jiǎn)單的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子說(shuō)明,三數(shù)相加再除以2,就是三數(shù)之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47,
B=299-149=150,
A=299-197=102.
例3 甲、乙兩筐共裝蘋(píng)果75千克,從甲筐取出5千克蘋(píng)果放入乙筐里,甲筐蘋(píng)果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋(píng)果多少千克?
解:畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖,
就可以看出,原來(lái)甲筐蘋(píng)果比乙筐多
5+7+ 5= 17(千克)
因此,甲、乙兩數(shù)之和是 75,差為17.
甲筐蘋(píng)果數(shù)=(75+17)÷2= 46(千克).
乙筐蘋(píng)果數(shù)=75-46=29(千克).
答:原來(lái)甲筐有蘋(píng)果46千克,乙筐有蘋(píng)果29千克.
例4 張強(qiáng)用270元買(mǎi)了一件外衣,一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元,買(mǎi)外衣和鞋比帽子多花210元,張強(qiáng)買(mǎi)這雙鞋花多少錢(qián)?
解:我們先把外衣和鞋看成一件東西,它與帽子的價(jià)格和是 270元,差是 210元.
外衣和鞋價(jià)之和=(270+ 210)÷2= 240(元).
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140,因此
鞋價(jià)=(240-140)÷2=50(元).
答:買(mǎi)這雙鞋花50元.
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算,那么就可以說(shuō),“和差問(wèn)題”的解法,你已能靈活運(yùn)用了.
例5 李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班,他估計(jì)快到上班時(shí)間了,到屋里看鐘,可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開(kāi)足發(fā)條卻忘了撥指針,匆匆離家,到工廠一看鐘,離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班,李叔叔馬上離廠回到家里,一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同,那么他家的鐘停了多少時(shí)間(上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì))?
解:到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分,離家看鐘是12點(diǎn)10分,相差2小時(shí)40分,這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160(分鐘).
晚上下班時(shí),廠里鐘是11點(diǎn),到家看鐘是9點(diǎn),相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中,有一部分時(shí)間,被回家路上所用時(shí)間抵消了.
因此
鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120(分鐘).
現(xiàn)在已把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問(wèn)題了.
鐘停的時(shí)間=(160+120)÷ 2= 140(分鐘).
路上用的時(shí)間=160-140=20( 分鐘).
答:李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.
還有一種解法,可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間:
以李叔叔家的鐘計(jì)算,他在12點(diǎn)10分出門(mén),晚上9點(diǎn)到家,在外共8小時(shí)50分鐘,其中8小時(shí)上班,10分鐘等待上班,剩下的時(shí)間就是他上班來(lái)回共用的時(shí)間,所以上班路上所用時(shí)間=(8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘)÷2=20(分鐘).
鐘停時(shí)間=2小時(shí) 40分鐘-20分鐘
=2小時(shí)20分鐘.
例6 小明用21.4元去買(mǎi)兩種賀卡,甲卡每張1.5元,乙卡每張0.7元,錢(qián)恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù),把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù),要找還小明3.2元.問(wèn)小明買(mǎi)甲、乙卡各幾張?
解:甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7= 0. 8(元),售貨員錯(cuò)找還小明3.2元,就知小明買(mǎi)的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(張).
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差,只要求出兩種卡張數(shù)之和問(wèn)題就解決了.如何求呢?請(qǐng)注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個(gè)算式可以看出,兩種卡張數(shù)之和是
因此,甲卡張數(shù)是
(18 + 4)÷ 2= 11(張).
乙卡張數(shù)是 18-11= 7(張).
答:小明買(mǎi)甲卡11張、乙卡7張.
注:此題還可用雞兔同籠方法做,請(qǐng)見(jiàn)下一講.
例7 有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形,拼合成兩種大長(zhǎng)方形,如右圖.大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是240厘米,大長(zhǎng)形(B)的周長(zhǎng)是258厘米,求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米?
解:大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×2+寬×4.
大長(zhǎng)方形(B)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×4+寬×2.
因此,240+258是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×6+寬×6.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是
。240+258)÷6=83(厘米).
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是
(258-240)÷2=9(厘米).
因此,原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是
長(zhǎng):(83+ 9)÷2= 46(厘米).
寬:(83-9)÷2=37(厘米).
答:原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米