3.2  枚舉法

　　枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。

　　運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸�，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。

　　例6 求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。

　　分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。

　　設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以

　　x2+y2+z2≤10，

　　從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：

　　100，101，102，103，110，111，112，

　　120，121，122，130，200，201，202，

　　211，212，220，221，300，301，310。

　　不難驗(yàn)證只有100，101兩個(gè)數(shù)符合要求。

　　例7 將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？

　　對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。

N|100，所以N=10，20，25，50；

N|1000，所以N=100，125，200，250，500；

　�。�4）當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。

　　綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。

　　說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。

　　 　　 （2）這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。

例8 有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？

解：13+15+23=51，51=3×17。

　　因?yàn)?/span>17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：

　�、�1，6，10 �、�1，7，9 �、�1，8，8 

　�、�2，5，10 　⑤2，6，9 �、�2，7，8 

　　⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8 

　　⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8

　　(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6

　　只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即

　　3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

　　這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。

例9 寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。

　　分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。

解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：

　　114，115，116，117，118，119，120，

　　121，122，123，124，125，126。

　　分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。

　　又m+2，m+3，…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。

解法2：設(shè)m為2，3，4，…，13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。

　　說明:我們還可以寫出

　　13！+2，13！+3，…，13！+13

　�。ㄆ渲�n！=1×2×3×…×n）這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來。

　　同樣，

　　（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。