4.3  配對(duì)法

　　配對(duì)的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對(duì)，也有集合間元素與元素的配對(duì)（可用于計(jì)數(shù)）。傳說(shuō)高斯8歲時(shí)求和（1+2+…+100）首創(chuàng)了配對(duì)。像高斯那樣，善于使用配對(duì)技巧，常常能使一些表面上看來(lái)很麻煩，甚至很棘手的問(wèn)題迎刃而解。

　　例7 求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。

　　解：在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬(wàn)個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)，因?yàn)?與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對(duì)的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對(duì)，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。

　　例8 某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購(gòu)物券，每張購(gòu)物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)。若號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購(gòu)物券為“幸運(yùn)券”。

　　例如號(hào)碼 0734，因 0+7=3+4，所以這個(gè)號(hào)碼的購(gòu)物券是幸運(yùn)券。試說(shuō)明，這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)的購(gòu)物券中，所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。

　　解：顯然，號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)碼為m=9999-n的購(gòu)物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。

　　由于m+n=9999，相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，所以除去號(hào)碼是9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部?jī)蓛膳鋵?duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。

　　因?yàn)?999=99×101，所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。

　　試說(shuō)明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。

　　解法：作配對(duì)處理

　　將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為

　　1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

　　從而

　　m×88！=89×k（k=n×q）。

　　因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。