第七講 工程問題

　　在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是

　　工作量=工作效率×時(shí)間.

　　在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.

　　舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子.

　　一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？

　　一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位

　　所需時(shí)間=工作量÷工作效率=6（天）

　　兩人合作需要6天.

　　這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.

　　為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是

　　30÷（3+ 2）= 6（天）

　　因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.

　　7.1  兩個(gè)人的問題

　　標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.

　　例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？

　　答：乙需要做4天可完成全部工作.

　　解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是

　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.

　　解三：甲與乙的工作效率之比是

　　6∶ 9= 2∶ 3.

　　甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）.

　　例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

　　解：共做了6天后，

　　原來，甲做 24天，乙做 24天，

　　現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

　　這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率

　　答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.

　　例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？

　　解：先對(duì)比如下：

　　甲做63天，乙做28天；

　　甲做48天，乙做48天.

　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

　　甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做

　　因此，乙還要做

　　28+28= 56 （天）.

　　答：乙還需要做 56天.

　　例4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？

　　解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是

　　2+8+ 1= 11（天）.

　　答：從開始到完工共用了11天.

　　解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作

　�。�30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

　　解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.

　　在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量.

　　4=3+1，

　　其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.

　　例5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？

　　解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是

　　由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是

　　乙隊(duì)休息期間未做的工作量是

　　乙隊(duì)休息的天數(shù)是

　　答：乙隊(duì)休息了5天半.

　　解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　兩隊(duì)休息期間未做的工作量是

　�。�3+2）×16- 60= 20（份）.

　　因此乙休息天數(shù)是

　�。�20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.

　　解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.

　　甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天.

　　如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是

　　16-6-4.5=5.5（天）.

　　例6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？

　　解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.

　　設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.

　　8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要

　�。�60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

　　8+4=12（天）.

　　答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.

　　例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？

　　解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　兩人合作，共完成

　　3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.

　　因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐��?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是

　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

　　很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.