7.3  水管問題

　　從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的。水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量。單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了。因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同。

　　例15 甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池�，F(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池。已知甲管比乙管每分鐘多注入0。6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？

　　例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等�，F(xiàn)在

　　按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池。問開始時(shí)打開了幾根水管？

　　答：開始時(shí)打開6根水管。

　　例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)。要排光一池水，單開乙管需要

　　、乙、……的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？

　　，否則開甲管的過程中水池里的水就會(huì)溢出。

　　此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺。問這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？

　　看起來它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口。

　　因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí)。

　　例18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水。如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空�，F(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？

　　解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量。

　　2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水

　　4 × 60= 240（立方米）。

　　時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是

　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），

　　8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是

　　8 × 8 × 90，

　　其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）。

　　打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要

　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）。

　　答：打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘。

　　水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水。這在題目中卻是隱含著的。

　　例19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的。打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空。如果打開A，B兩管，4小時(shí)可將水排空。問打開B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？

　　答： B， C兩管齊開要 4 小時(shí) 48分才將滿池水排完。

　　本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量。由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣。這里把兩種水量分別設(shè)成“1”。但這兩種量要避免混淆。事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24。

　　17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題。從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的。題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草。這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的。

　　例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一

　　草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草。問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？

　　解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù)。根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位。

　　原有草+4星期新長的草=12×4。

　　原有草+9星期新長的草=7×9。

　　由此可得出，每星期新長的草是

　�。�7×9-12×4）÷（9-4）=3。

　　那么原有草是

　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）。

　　對(duì)第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是

　　這些草能讓

　　90×7.2÷18=36（頭）

　　牛吃18個(gè)星期。

　　答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場的草。

　　例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣。例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計(jì)算。事實(shí)上，如果例19再有一個(gè)條件，例如：“打開B管，10小時(shí)可以將滿池水排空。”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系。但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件。好好想一想，你能明白其中的道理嗎？

　　“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn)。限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子。

　　例21 畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場。從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個(gè)入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì)。問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？

　　解：設(shè)一個(gè)入場口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位。

　　從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3×9，

　　從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5×5。

　　因?yàn)橛^眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是

　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5。

　　9點(diǎn)前來的觀眾是

　　5×5-0.5×5=22.5。

　　這些觀眾來到需要

　　22.5÷0.5=45（分鐘）。

　　答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)15分。

　　從例20和例21中，我們也注意到，設(shè)置計(jì)算單位的重要性。選擇適當(dāng)?shù)牧孔鳛橛?jì)算單位，往往使問題變得簡單且易于表達(dá)。本書中多次提到設(shè)單位問題，請(qǐng)同學(xué)們注意學(xué)習(xí)。