11.3 例題選講
例1 圖6—5中的幾何體是一個(gè)正方體，圖6—6是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開(kāi)圖，圖6—7（a）、（b）、（c）也是這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，但每一展開(kāi)圖上都有四個(gè)面上的圖案沒(méi)畫出來(lái)，請(qǐng)你給補(bǔ)上。
分析與解：從圖6—5和圖6—6中可知：
與；
與
；
與
互相處于相對(duì)面的位置上。只要在圖6—7
�。╝）、（b）、（c）三個(gè)展開(kāi)圖中，判定誰(shuí)與誰(shuí)處在互為對(duì)面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。
先看圖6—7中的（a），仔細(xì)觀察可知，1與4，3與
處在互為對(duì)面的位置上。
再看圖6—7中的（b），同上，1與3，2與
處在互為對(duì)面的位置上。
最后再看圖6—7中的（c），同上，1與
，2與4處在互為對(duì)面的位置上。
圖6—7（a）、（b）、（c）標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見(jiàn)圖6—8中的（a）、（b）、（c）。
例2 圖6—9中的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，四邊形APQC是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面（即過(guò)長(zhǎng)方體上四點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展圖上，標(biāo)出線段AC、CQ、QP、PA來(lái)。
分析與解：只要能正確畫出圖6—9中長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖，問(wèn)題便能迎刃而解。圖6—10中的粗實(shí)線，就是題目中所要標(biāo)出的線段AC、CQ、QP、PA。
例3 在圖6—11中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？
分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開(kāi)鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，見(jiàn)圖6—12，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N。而兩點(diǎn)間以線段的長(zhǎng)度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線，見(jiàn)圖6—12和圖6—13。
例4 圖6—14中的幾何體是一棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（π=3.14）？
分析與解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒(méi)有被打透。這一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。
正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）
一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28（平方厘米）
幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 圖6—15是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？
分析與解：從圖6—15中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè)。另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1厘米，所以
上面的表面積為12×9=9（平方厘米）
前面的表面積為12×8=8（平方厘米）
左面的表面積為12×7=7（平方厘米）
幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=
答：（略）
例6 圖6—16中所示圖形，是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米，高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（π=3.14）
分析與解：因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。
因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為
設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
