案例1：
生：“老師，我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒有穩(wěn)定性！”
師：同學(xué)們想體驗(yàn)一下三角形的穩(wěn)定性嗎？
生（齊）：想--！
師：在每張課桌的抽屜里各藏了一個(gè)三角形和四邊形木架，請拿出來，同座之間相互拉一拉。
大家正玩得高興，突然一位學(xué)生叫起來：“老師，我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒有穩(wěn)定性！”興奮的叫聲幾乎吸引了所有人的目光。只見學(xué)生手中拿著由四根小棒釘成的三角形木架。
“三角形具有穩(wěn)定性。學(xué)生手上的木架是三角形的。所以它應(yīng)具有穩(wěn)定性。”這似乎是一個(gè)嚴(yán)密的三段論�？墒聦�(shí)上，學(xué)生手上的三角形木架卻不穩(wěn)定。這該如何解釋呢？
案例2：
生：“這個(gè)四邊形車架是鐵的，所以它也有穩(wěn)定性。”
師：三角形的穩(wěn)定性在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如自行車中部的車架就是三角形的（出示圖片）
一個(gè)學(xué)生嘀咕：“那好像不是三角形的。”
“對，不是三角形，是四邊形！”一些學(xué)生響應(yīng)。
“這個(gè)車架雖然是四邊形，但它是鐵的，也有穩(wěn)定性。”又一個(gè)學(xué)生補(bǔ)充道。
對于“三角形穩(wěn)定性”，教材中是這樣描述的：“用三根木條釘成一個(gè)三角形，用力拉這個(gè)三角形，這個(gè)三角形的形狀不會改變。可見，三角形具有穩(wěn)定性。”同理，用四根鋼管焊成一個(gè)四邊形（車架），用力拉這個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的形狀不會改變。可見，四邊形也就具有穩(wěn)定性了。但是，四邊形怎么會具有穩(wěn)定性呢？
分析
曾嘗試著這樣解釋案例1中的問題--四根小棒圍成的這個(gè)木架形狀雖然是三角形的，但它有一條邊是由“兩根”小棒組成的，所以它就容易變形了。然而當(dāng)我們對這個(gè)解釋再作分析時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)，其實(shí)我們已經(jīng)從另一角度默認(rèn)了“有的三角形不具有穩(wěn)定性”這種錯(cuò)誤論述。
要真正向?qū)W生解釋清楚這些看似簡單甚至幼稚的問題，并不像我們想象的那么簡單。課堂上執(zhí)教老師突然遇此質(zhì)疑，視而不見、避而不答，應(yīng)該說情有可原！可如果今后我們再遇到此問題，那該如何處理？
帶著思考和疑問，課后我討教了幾位經(jīng)驗(yàn)豐富的老師。他們的意見大體可歸為兩類：
一種意見認(rèn)為，導(dǎo)致上述矛盾的主要原因在于，我們將“三角形”與“三角形物體”混為一談：穩(wěn)定性是三角形的特性，它有時(shí)在某些三角形物體身上表現(xiàn)為穩(wěn)固、不易變形，但這并不說明所有三角形物體都很穩(wěn)固、不易變形，更不說明不易變形的物體就具有穩(wěn)定性。如案例1中，對于“三根小棒圍成的三角形”這個(gè)“圖形”來說具有穩(wěn)定性，但對于四根小棒圍成的三角形木架這一“物體”來說，它卻容易變形。再如，四根鋼管圍成四邊形“車架”雖不易變形，但它并不代表“四邊形”就具有穩(wěn)定性。從這個(gè)角度看，教材中關(guān)于三角形穩(wěn)定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。
另一種意見認(rèn)為，主要原因在于學(xué)生將生活中的“穩(wěn)定”與三角形穩(wěn)定性的“穩(wěn)定”混為一談。生活中，將一根木棒插入地面，使勁兒搖它，它不動，我們說這根木棍很穩(wěn)定，顯然此“穩(wěn)定”并非三角形穩(wěn)定性之“穩(wěn)定”。
認(rèn)真推敲上述兩類分析，再結(jié)合自己的想法，筆者認(rèn)為，上述矛盾的根本原因在于老師們對數(shù)學(xué)教學(xué)生活化、活動化的誤解，導(dǎo)致了對生活經(jīng)驗(yàn)負(fù)面干擾的忽視和對數(shù)學(xué)自身科學(xué)性、嚴(yán)密性的弱視。這在學(xué)校的觀摩課中明顯表現(xiàn)為，幾乎所有上課老師的課堂中都出現(xiàn)了相似的環(huán)節(jié)：同桌兩人興奮地拉扯著三角形或四邊形，發(fā)現(xiàn)“三角形木架不管怎么使勁兒拉，都不變形，而四邊形木架不費(fèi)吹灰之力，就變形了”，于是學(xué)生自然地歸納出“三角形具有穩(wěn)定性，四邊形容易變形”。
熱鬧的活動、明顯的對比，學(xué)生學(xué)得高興，印象也很深刻。然而熱鬧之后再思考，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生“深刻的印象”其實(shí)只停留在使勁“拉”上--四根木棍圍成的三角形因?yàn)?ldquo;拉”得動，所以“不”具穩(wěn)定性；自行車車架雖是四邊形，但它是鐵的，“拉”不動，所以就“具有”穩(wěn)定性。
其實(shí)，打開百度網(wǎng)站，“三角形穩(wěn)定性”，就會發(fā)現(xiàn)很多網(wǎng)頁中的“三角形穩(wěn)定性”明確指向于“形狀和大小完全確定”。其中最具代表性的描述是：“只要三角形三條邊的長度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。”這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動、拉不動”的問題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長確定，其形狀和大小就確定了”。
比較教材和網(wǎng)上關(guān)于三角形穩(wěn)定性的描述，應(yīng)該說各有千秋。網(wǎng)上的描述明確地揭示了“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)特征“邊長確定，則大小、形狀唯一”，而教材上的描述則顯得親切、形象，與生活十分貼近。
�。ǖ亲鳛榻處熚覀儜�(yīng)該不只是停留在教材表面基礎(chǔ)上的）
嘗試
學(xué)生思維的“具體、形象”與數(shù)學(xué)自身的“抽象、形式”之間的關(guān)系到底該如何處理？能在兩者間找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)嗎？在與同事們一起思考、推敲后，我試上了一節(jié)《三角形的認(rèn)識》，截取其中關(guān)于三角形穩(wěn)定性的教學(xué)片段如下：
師：剛才同學(xué)們用三根牙簽圍成了一個(gè)三角形。想一想，用這三根牙簽還能圍成其他形狀的三角形嗎？
生（齊）：能。
老師請來幾位認(rèn)為“能”的學(xué)生到投影儀上演示，若干次嘗試后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)不管怎樣移動牙簽，三角形除姿勢變化外，其形狀、大小都不會改變。
于是老師順勢引導(dǎo)學(xué)生歸納：“只要三角形三條邊的長度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。”
師：下面我們來做個(gè)實(shí)驗(yàn)--在每一張課桌的抽屜里各藏有一個(gè)三角形和多邊形木架，請拿出來，同座之間互相拉一拉......
師：通過實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么？
生：我發(fā)現(xiàn)三角形木架怎么拉也不變形，而多邊形木架輕而易舉就變形了！
師：知道這是為什么嗎？
生：因?yàn)槿切沃灰龡l邊長固定了，它的形狀和大小就完全確定了。
生：因?yàn)槎噙呅蔚倪呴L雖然固定，但它的形狀和大小并不能確定......
將三角形穩(wěn)定性明確定位于“邊長確定，大小、形狀也就確定”，先用牙簽圍三角形，再借助經(jīng)典的拉三角形、多邊形木架驗(yàn)證之。這樣的教學(xué)不僅形象、易懂，而且科學(xué)、明確地指向三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)，有效地避免了理解上的歧義�，F(xiàn)在回過頭再來解釋文章開始提及的兩個(gè)問題，就顯得有理有據(jù)，更有說服力了。
案例1中，四根小棒圍成的三角形木架雖然有兩條邊長度固定，但它的第三條邊由兩根小棒組成，它兩端點(diǎn)間的距離隨兩根小棒的活動而變化。邊的長度不確定，其形狀、大小也就不能確定。由此可見，以前我們習(xí)慣的說法“三角形具有穩(wěn)定性”并不嚴(yán)密，嚴(yán)密的說法應(yīng)該是：“邊長確定的三角形具有穩(wěn)定性。”
案例2中，因?yàn)榕袛嗄硤D形是否具有“穩(wěn)定性”，要看該圖形“如果邊的長度確定，所圍成的圖形形狀、大小能否確定”。用長度確定的四根鋼管焊車架，可以焊成各種形狀的圖形，顯然不具有數(shù)學(xué)意義上的“穩(wěn)定性”。
當(dāng)然，若從另一個(gè)角度思考，這個(gè)例子正好又說明了三角形具有穩(wěn)定性--四邊形鋼管之所以“拉不動”，是因?yàn)樗氰F做的，四條邊被焊在一起，四個(gè)頂點(diǎn)中任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)間的距離不能改變，即“三角形三條邊長確定”。根據(jù)三角形穩(wěn)定性的定義，三角形三條邊長度確定，其形狀、大小也就確定了。
思考
長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)一直存在嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病。“中國乃至世界各國歷次數(shù)學(xué)教育改革一直想解決好此問題，然而結(jié)果始終不盡如人意。”實(shí)施新課程以來，有人再次提出了“數(shù)學(xué)教學(xué)生活化”、“數(shù)學(xué)教學(xué)活動化”、“學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)向生活數(shù)學(xué)回歸”等口號，生活、活動成為數(shù)學(xué)課程改革中的兩個(gè)關(guān)鍵詞。
然而，生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系怎能用一個(gè)簡單的“回歸”就可以概括！
首先，生活中獲得的各種經(jīng)歷、體驗(yàn)，未必就恰好能為抽象的數(shù)學(xué)概念和知識提供適切的基礎(chǔ)，不僅如此，它還可能包括許多干擾因素。
其次，“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間存在著本質(zhì)的區(qū)別。“生活數(shù)學(xué)”是學(xué)生在日常生活中自然積淀、自由生成的“純經(jīng)驗(yàn)”型數(shù)學(xué)信息，它具有個(gè)體性、隨意性和直接性。而學(xué)校數(shù)學(xué)則是學(xué)生在學(xué)校中，通過有目的、有計(jì)劃的學(xué)習(xí)獲得的數(shù)學(xué)信息，它具有社會性、計(jì)劃性、抽象性和形式化特征。
因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該與生活經(jīng)驗(yàn)建立起聯(lián)系，但必須注意，在“生活化”的過程中，要切實(shí)處理好生活的隨意性與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性之間的關(guān)系，防止數(shù)學(xué)內(nèi)涵的流失。生活化的最終目的還是要實(shí)現(xiàn)“形式化”思維的提升。正如香港有的學(xué)者指出的，“數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化直接導(dǎo)致了學(xué)生思維的卡通化、淺表化”，我們的學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)努力促進(jìn)學(xué)生由“卡通思維”向“形式思維”的有效過渡。
轉(zhuǎn)自《人民教育》鄭毓信
很高興讀到仲海峰老師的文章。文中不僅對如何進(jìn)行三角形相關(guān)知識的教學(xué)進(jìn)行了深入探討，而且還涉及了“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”的關(guān)系這一普遍的問題。
“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”的關(guān)系并不只是在“三角形的穩(wěn)定性”這一具體內(nèi)容的教學(xué)中有著突出的表現(xiàn)。事實(shí)上，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)基本問題。因?yàn)椋M管在程度上可能有所差異，但我們也可就其他一些教學(xué)內(nèi)容提出類似的“困惑”，例如，生活中的“前后”、“正負(fù)”等概念往往具有明顯的“方向性”，從而與數(shù)學(xué)中“前后”、“正負(fù)”關(guān)系的相對性構(gòu)成直接的矛盾。從這樣的角度去分析，我們就能更好地理解仲文的基本立場，特別是，我們應(yīng)對“數(shù)學(xué)對象”（及其性質(zhì)）與生活中的相應(yīng)事物或現(xiàn)象（及其性質(zhì)）做出明確的區(qū)分。進(jìn)而，這又不能不說是強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化”（乃至“數(shù)學(xué)向生活的回歸”）所十分容易導(dǎo)致的一個(gè)嚴(yán)重后果，即“學(xué)生思維的卡通化、淺表化”，對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生誤解。
當(dāng)然，從理論的角度看，也有一些問題值得我們更為深入地去思考：在“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間究竟存在什么樣的本質(zhì)區(qū)別？又存在什么樣的聯(lián)系？什么是造成“理解上的歧義”的主要原因？我們在教學(xué)中又應(yīng)如何去防止所說的現(xiàn)象乃至“學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所可能產(chǎn)生的負(fù)面干擾”？
造成“理解上的歧義”的一個(gè)重要原因是：由于數(shù)學(xué)中的不少詞語（如“穩(wěn)定性”）都是由日常語言中直接借用過來的，因此，如果對這一過程缺乏清楚認(rèn)識的話，就很容易造成意義的混淆，包括日常意義對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的干擾。更為一般地說，這就涉及數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)基本性質(zhì)：模式化過程。從而，即使我們是由生活中的相關(guān)對象或現(xiàn)象直接去引出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，仍然有一個(gè)重新定義（建構(gòu)）的過程。例如，就當(dāng)前的論題而言，這首先就是指我們在此所研究的既非學(xué)生手中的那個(gè)三角形木架，也不是教師在黑板上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念；其次，這里所說的“三角形的穩(wěn)定性”也有其特定的含義（“邊長確定，大小、形狀也就確定”），從而就不應(yīng)與通常所謂的“牢固性”、“確定性”等相混淆。
容易看出，上述的模式化過程也就直接決定了在“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校（形式）數(shù)學(xué)”之間存在如下重要區(qū)別：如果說“生活數(shù)學(xué)”明顯地表現(xiàn)出了情境相關(guān)性進(jìn)而產(chǎn)生應(yīng)用的局限性，那么，普遍性就是“學(xué)校數(shù)學(xué)”的一個(gè)主要特征，而這也就直接決定了“學(xué)校數(shù)學(xué)”有著更為廣泛的應(yīng)用。當(dāng)然，以上的分析也已表明：“學(xué)校數(shù)學(xué)”在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用同樣依賴于必要的抽象，特別是其中必定包含一定的簡化、理想化和具體化--顯然，我們事實(shí)上也就可以從這樣的角度對文中所提及的“有的三角形沒有穩(wěn)定性”這樣的困惑作出具體解釋。
綜上可見，我們無疑不應(yīng)片面地去提倡“數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化”，但同時(shí)也不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)的形式化”，也就是說，正確處理“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”的關(guān)系應(yīng)被看成搞好數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在。我們不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地去實(shí)現(xiàn)由“生活數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要過渡，包括充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)（和知識）以及切實(shí)防止其對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)面干擾，而且還應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地學(xué)會如何在實(shí)際生活（包括新的學(xué)習(xí)活動）中有效地應(yīng)用學(xué)校中所學(xué)到的各種數(shù)學(xué)知識。
最后，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，努力提高教材的編寫質(zhì)量是當(dāng)前十分緊迫的一項(xiàng)任務(wù)。為了很好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們不僅要切實(shí)立足于實(shí)際的教學(xué)活動，不斷實(shí)踐、總結(jié)、改進(jìn)，而且也應(yīng)從理論層面對課程改革的各個(gè)基本理念進(jìn)行更為深入和自覺的認(rèn)識與反思。
