圓是小學(xué)數(shù)學(xué)里最后教學(xué)的一個(gè)平面圖形，也是教學(xué)的惟一一個(gè)曲線圖形。本單元在教學(xué)圓的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還通過化曲為直、等積變形這些方法與手段，進(jìn)一步發(fā)展轉(zhuǎn)化的策略和推理能力。全單元的教學(xué)內(nèi)容分成四部分編排。
第93~97頁(yè)教學(xué)圓的形狀特點(diǎn)以及圓心、半徑和直徑。
第98~102頁(yè)教學(xué)圓的周長(zhǎng)及計(jì)算公式。
第103~108頁(yè)教學(xué)圓的面積及計(jì)算公式。
第109~113頁(yè)全單元內(nèi)容的整理練習(xí)，實(shí)踐與綜合應(yīng)用。
編寫的三篇“你知道嗎”能培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，激發(fā)民族自豪感。
1?由表及里，體驗(yàn)圓的特征。
生活中的許多物體都有圓形的面，圓的形狀已經(jīng)留在學(xué)生的頭腦中。教材通過三道例題教學(xué)圓的形狀特點(diǎn)。
例1說說生活中看到的圓，把教學(xué)的話題集中到圓上來。讓學(xué)生自找工具想辦法畫一個(gè)圓，在畫圓的過程中感受圓的邊是曲線，這是與以前學(xué)過的平面圖形的不同之處。教材里沒有直接指出圓是曲線圖形，把機(jī)會(huì)留給學(xué)生體驗(yàn)和交流。這樣，學(xué)生在直觀認(rèn)識(shí)圓的基礎(chǔ)上深入了一步。
例2通過使用圓規(guī)畫圓以及了解關(guān)于圓的幾個(gè)重要名稱，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓。用圓規(guī)畫圓，不僅是規(guī)范地使用工具作圖，而且在畫圓的時(shí)候能體會(huì)到，圓是鉛筆繞固定的一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周畫成的圖形。教材讓學(xué)生試著用圓規(guī)畫一個(gè)圓，既滿足學(xué)生“玩中學(xué)”的愿望，又讓學(xué)生在操作中學(xué)會(huì)畫圓的方法。在學(xué)生試著畫圓時(shí)，教材用四張連續(xù)的圖片，展示了使用圓規(guī)畫圓的要領(lǐng)：用尺確定圓規(guī)兩腳尖的間距；把圓規(guī)針尖固定在紙的一個(gè)點(diǎn)上；手握旋柄，繞固定的點(diǎn)把圓規(guī)旋轉(zhuǎn)一周，畫出一條封閉的曲線。這里的展示，對(duì)不能獨(dú)立使用圓規(guī)的學(xué)生起示范與說明的作用，對(duì)能用圓規(guī)畫圓的學(xué)生有提醒操作要領(lǐng)和注意事項(xiàng)的作用。聯(lián)系圓規(guī)畫成的圓，教學(xué)圓心、半徑、直徑，對(duì)它們的形狀、位置和常用的字母分別作了清楚的闡述。如圓心是一個(gè)點(diǎn)，是圓規(guī)針尖固定的那個(gè)點(diǎn)，用字母O表示；半徑是線段，一端是圓心、另一端是圓上任意一點(diǎn)，用字母r表示；直徑也是線段，通過圓心且兩端都在圓上，用字母d表示。教材還讓學(xué)生在自己畫的圓上標(biāo)出圓心，畫出一條半徑和一條直徑，并用字母表示，體會(huì)并內(nèi)化知識(shí)。再經(jīng)過“練一練”第1題的辨析和度量長(zhǎng)度，能更準(zhǔn)確地把握半徑、直徑的概念。
例3安排學(xué)生通過畫、量、折等活動(dòng)，深入體驗(yàn)圓的特征。為了幫助學(xué)生有效地體驗(yàn)，教材設(shè)計(jì)了四道討論題。其中前兩道是通過畫與量獲得體驗(yàn)：在同一個(gè)圓里可以畫出無數(shù)條半徑（直徑），且長(zhǎng)度都相等。理解“無數(shù)條”，感受了線是無數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合；發(fā)現(xiàn)“長(zhǎng)度相等”，是圓的本質(zhì)特征，也是車輪和生活中許多物體都做成圓形的原因。后兩道題要通過對(duì)折圓獲得答案，發(fā)現(xiàn)直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，以及圓有無數(shù)條對(duì)稱軸，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)就更深入了一步。
練習(xí)十七在練習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)圓，開展數(shù)學(xué)思考，發(fā)展空間觀念。如第3題，在畫圓時(shí)體會(huì)大小不同的圓可以有共同的圓心。第4題能體會(huì)一個(gè)正方形內(nèi)可以畫出許多個(gè)大小不同的圓，圓的大小與它的半徑有關(guān)，其中最大的那個(gè)圓的直徑與正方形邊長(zhǎng)相等。第6題在方格紙上平移圓心，圓也隨之平移，體會(huì)圓心的位置決定圓的位置。第7題體會(huì)直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段，從而理解測(cè)量直徑長(zhǎng)度的幾種常用方法。
2?動(dòng)手實(shí)踐，理解圓周率的意義。
教學(xué)圓的周長(zhǎng)共編排三道例題，采取“猜想--驗(yàn)證”和有意義地接受相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式。
例4著重教學(xué)圓周長(zhǎng)的含義，形成圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)的猜想。呈現(xiàn)三個(gè)直徑不同的自行車車輪的圖片，先讓學(xué)生想像三個(gè)車輪各滾動(dòng)一周，哪一個(gè)行的路程比較長(zhǎng)。在此基礎(chǔ)上，教材指出車輪一周的長(zhǎng)度是車輪的周長(zhǎng)。從實(shí)際問題和生活經(jīng)驗(yàn)中提煉出數(shù)學(xué)內(nèi)容，使原有的周長(zhǎng)概念遷移到新的圖形上來。比較三個(gè)車輪的直徑和周長(zhǎng)，能直觀地看到直徑長(zhǎng)的車輪周長(zhǎng)長(zhǎng)些，直徑短的車輪周長(zhǎng)也短。由此形成圓的周長(zhǎng)與它的直徑有關(guān)的猜想，開啟了探索圓周長(zhǎng)計(jì)算公式的大門。
例5組織學(xué)生從實(shí)驗(yàn)中體會(huì)圓的周長(zhǎng)與直徑是什么樣的關(guān)系，為最終形成圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式鋪平道路。在編寫上有五個(gè)特點(diǎn)：一是小組合作學(xué)習(xí)，集體進(jìn)行探索活動(dòng)，便于測(cè)量圓的周長(zhǎng)；二是用硬紙板剪4個(gè)大小不同的圓，讓小組里的每一個(gè)人都有動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)；三是要求學(xué)生想辦法測(cè)量剪出的圓的周長(zhǎng)，鼓勵(lì)方法創(chuàng)新，主動(dòng)體驗(yàn)化曲為直的轉(zhuǎn)化策略；四是明確了探索的方向是計(jì)算每個(gè)圓的周長(zhǎng)除以直徑的商，研究周長(zhǎng)與直徑間的倍數(shù)關(guān)系；五是設(shè)計(jì)了一張記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表格，每個(gè)學(xué)生都能把在小組里測(cè)量、計(jì)算的結(jié)果填在表格中，便于從四組數(shù)據(jù)，尤其是四個(gè)周長(zhǎng)除以直徑的商的比較中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
學(xué)生的實(shí)驗(yàn)充其量只能發(fā)現(xiàn)一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些，這是測(cè)量工具、方法和誤差決定的。因此，教材在例5的后面繼續(xù)教學(xué)圓周率的知識(shí)。講了四點(diǎn)內(nèi)容：圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，叫做圓周率；圓周率用字母π表示；π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)；計(jì)算時(shí)一般取π的近似值3?14。學(xué)生以自己的實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，能夠有意義地接受圓周率。并根據(jù)周長(zhǎng)（C）直徑（d）=π，得出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式C=πd或C=2πr。得出周長(zhǎng)公式以后，計(jì)算圓周長(zhǎng)的問題安排在“試一試”和“練一練”里面，讓學(xué)生獨(dú)立完成，通過應(yīng)用記住公式。
例6是已知圓的周長(zhǎng)，求直徑的問題，選擇列方程的方法解答有兩個(gè)原因：一是思路比較順暢。由于已知圓的周長(zhǎng)，所以很自然地會(huì)想到周長(zhǎng)公式。于是，把周長(zhǎng)公式作為等量關(guān)系，列方程解答的思路也就隨之產(chǎn)生。二是有利于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。應(yīng)用圓的周長(zhǎng)公式，既能解決已知直徑（半徑）求周長(zhǎng)的問題，又能解決已知周長(zhǎng)求直徑（半徑）的問題。學(xué)生體會(huì)到這些，對(duì)周長(zhǎng)公式的理解和掌握就更深刻、更全面。例題把教學(xué)重點(diǎn)放在這樣的問題為什么列方程解答以及列方程依據(jù)什么樣的等量關(guān)系上，把解方程留給學(xué)生完成。這道題涉及四位數(shù)除以三位數(shù)，所以使用計(jì)算器計(jì)算。按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，三位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)除以兩位數(shù)，一般筆算。數(shù)據(jù)更大的乘、除計(jì)算，一般使用計(jì)算器。
3?引導(dǎo)探索，指導(dǎo)應(yīng)用圓的面積公式。
圓是曲線圖形，推導(dǎo)它的面積公式比直線圖形困難得多。在應(yīng)用面積公式時(shí)，還涉及新的運(yùn)算順序。因此，編排四道例題，組織學(xué)生探索圓的面積公式，并對(duì)應(yīng)用公式求面積的計(jì)算作細(xì)致的指導(dǎo)。
例7用數(shù)方格的方法求圓面積。在求圖形的面積時(shí)，經(jīng)常使用數(shù)方格的方法，雖然有時(shí)不能得到精確的結(jié)果，仍然是一種有效的方法。尤其對(duì)這里的圖形，數(shù)方格不僅能知道面積大約是多少，而且對(duì)探索面積公式有啟發(fā)作用，這些都是例題的編排意圖。
分別以邊長(zhǎng)4厘米、3厘米、5厘米的正方形的邊為半徑畫一個(gè)圓，數(shù)方格求圓的面積，這樣設(shè)計(jì)有兩個(gè)好處：一是圓的14在正方形里面，34在正方形外面，只要數(shù)出14個(gè)圓的面積，再乘4就得到整個(gè)圓的面積。既省時(shí)省力，又能避免數(shù)錯(cuò)。二是正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑相等，正方形的面積與半徑的平方相等。因此，圓面積與正方形面積的倍數(shù)關(guān)系就是圓面積與它的半徑平方的倍數(shù)關(guān)系。后者正是圓面積公式的內(nèi)涵所在。
為了引起學(xué)生對(duì)圓面積與半徑平方的關(guān)系的注意，教材設(shè)計(jì)的表格里，把半徑這一欄放在正方形面積和圓面積的中間。通過填寫半徑的長(zhǎng)度，體會(huì)它與正方形的邊長(zhǎng)相等，從而聯(lián)想邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)相當(dāng)于半徑的平方。在計(jì)算圓面積大約是正方形面積的幾倍之后，由“大象”卡通提出“圓面積與它的半徑有什么關(guān)系”的問題，體會(huì)圓面積與它半徑的平方可能存在確定的倍數(shù)關(guān)系，并帶著這個(gè)懸念教學(xué)下一道例題。
例8把圓等積變形成長(zhǎng)方形，探索圓面積的計(jì)算公式，在編寫上有三個(gè)特點(diǎn)：一是讓學(xué)生聯(lián)系已有的空間經(jīng)驗(yàn)和圖形知識(shí)，通過形象思維體會(huì)圓平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形，隱含了極限思想；二是組織學(xué)生比較拼成的長(zhǎng)方形和原來的圓有什么聯(lián)系，在交流中充分理解長(zhǎng)方形的面積與圓的面積相等，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑；三是展開了從長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)圓面積公式的思維全過程，突出了用πr替代長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，r替代長(zhǎng)方形的寬，以及把πr×r改寫成πr2這三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。
例9應(yīng)用面積公式計(jì)算圓的面積，怎樣寫算式和怎樣運(yùn)算是教學(xué)重點(diǎn)。算式3?14×52是依據(jù)面積公式πr2列出的，讀作三點(diǎn)一四乘五的平方。算式里的平方應(yīng)該先算，這里沒有把它作為一條運(yùn)算順序教學(xué)，僅指導(dǎo)學(xué)生先算3.14×52里的52是多少。“練一練”里已知圓的直徑是8厘米，求圓的面積�？梢苑植搅惺�，先用8÷2=4（厘米）求得半徑，再用3.14×42求圓的面積。也可以列成綜合算式3.14×822，要提醒學(xué)生為82添上括號(hào)，保證先算圓的半徑，不可以列成3.14×822。
例10求環(huán)形的面積，是與圓有關(guān)的組合圖形的面積，著重教學(xué)解決問題的思路。通過圖示直觀呈現(xiàn)環(huán)形，幫助學(xué)生理解鐵片面積是兩個(gè)圓面積的差，從而得出解題步驟是先分別算兩個(gè)圓的面積，再把它們的面積相減。在理出解題步驟以后，讓學(xué)生分步解答，進(jìn)一步掌握?qǐng)A的面積公式。如果列綜合算式3.14×102-3.14×62求鐵片面積，就能把算式改變成3.14×(102-62)，使計(jì)算比較簡(jiǎn)便。
“試一試”和練習(xí)中的組合圖形都是由兩個(gè)基本圖形組成的，組合圖形的面積或者是兩個(gè)基本圖形的面積和，或者是面積的差。兩個(gè)基本圖形中至少有一個(gè)圖形是半圓形，計(jì)算半圓的面積應(yīng)該是圓的面積除以2。
