下面是用長短不一的積木搭成的一堵“墻”。

　　假設(shè)其中最長的積木的長度為1，那么其它較短的積木的長度都表示分?jǐn)?shù)單位。把相同的“分?jǐn)?shù)單位”涂上相同的顏色，不同的“分?jǐn)?shù)單位”涂上不同的顏色，這堵“墻”就是一堵五光十色的“分?jǐn)?shù)墻”。

　　1

　　　首先，從這堵“分?jǐn)?shù)墻”可以直觀地看到分?jǐn)?shù)單位的大小。即

　　1＞＞＞＞＞＞＞＞＞。

　　其次，研究分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)單位的關(guān)系（結(jié)構(gòu)）。

　　如，下面是用3個(gè)表示的積木拼成的圖形，表示。

　　　即表示3個(gè)的，或的3倍。

　　用算式表示為＝＋＋，或＝×3（也可以寫成3×）。

　　第三，發(fā)現(xiàn)不同分?jǐn)?shù)單位具有不同的進(jìn)率。

　　從“分?jǐn)?shù)墻”可以看到：1＝＝＝＝＝＝＝＝＝。

　　上述關(guān)系表示2個(gè)等于1，即“逢二進(jìn)一”；3個(gè)等于1，即“逢三進(jìn)一”；由此類推，...，10個(gè)等于1，即“逢十進(jìn)一”。

　　第四，可以找到一些等值分?jǐn)?shù)。

　　如，用2個(gè)、4個(gè)和6個(gè)的積木可以搭成下面的分?jǐn)?shù)墻：

　　可以發(fā)現(xiàn)：＝＝。

　　第五，探索分?jǐn)?shù)單位的和差關(guān)系。

　　如，用1個(gè)、1個(gè)和5個(gè)的積木可以搭成下面的分?jǐn)?shù)墻：

　　　可以發(fā)現(xiàn)：＋＝＋＝，－＝－＝。

　　　第六，探索分?jǐn)?shù)單位的倍比關(guān)系。

　　　 如，用1個(gè)和2個(gè)的積木可以搭成下面的分?jǐn)?shù)墻：

　　　可以發(fā)現(xiàn)：是的2倍。

　　用除法表示為÷＝2，或者÷2＝。

　　同時(shí)，也可以發(fā)現(xiàn)：是的。

　　用除法表示為÷＝。

　　又如，用1個(gè)、1個(gè)和1個(gè)的積木可以搭成下面的分?jǐn)?shù)墻：

　　　等于1個(gè)與1個(gè)的和，即等于1又個(gè)，或等于3個(gè)。

　　所以，⑴如果以為度量單位去度量，量數(shù)是（即1）。

　　根據(jù)量、度量單位與量數(shù)的基本關(guān)系，即量＝度量單位×量數(shù)，

　　可得＝×。

　　由上面這個(gè)乘法算式又可以得到如下的除法算式：

　　÷＝，或者÷＝。

　�、迫绻�以為度量單位去度量，則量數(shù)是。

　　于是，＝×。由此可得，÷＝，或者÷＝。

　　第七，探索倒數(shù)關(guān)系。

　　如，用3個(gè)與1個(gè)1的積木可以搭成下面的分?jǐn)?shù)墻：

　　1

　　可以發(fā)現(xiàn)，如果用為度量單位去度量1，量數(shù)3，即×3＝1；

　　如果用為度量單位去度量1，則量數(shù)是，即×＝1；

　　以此類推，如果分別用、、、、、、、等為度量單位，去度量1時(shí)，量數(shù)依次是2、、、、、、、。即得到下列等式：

　　×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，

　　×＝1，×＝1，×＝1，×＝1。

　　由此可以引出倒數(shù)的概念。當(dāng)量是1時(shí)，即度量單位與量數(shù)的積為1時(shí)，度量單位與它對(duì)應(yīng)的量數(shù)互為倒數(shù)。也就是說，3是的倒數(shù)，也是3的倒數(shù)；是的倒數(shù)，也是的倒數(shù)。

　　自然數(shù)（0除外）的倒數(shù)是分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的倒數(shù)是自然數(shù)。

　　下面介紹一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)單位的史料：

　　古代，人們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)到研究分?jǐn)?shù)，是從分?jǐn)?shù)單位開始的。古代分?jǐn)?shù)的研究就有這樣一個(gè)問題：分子是2、分母是奇數(shù)（在100以內(nèi)）的真分?jǐn)?shù)，是否都能分解為一些不相同的單位分?jǐn)?shù)之和。如：

　�。剑�，

　�。剑�，

　　＝＋，

　　......

　�。剑�＋。

　　在3700多年前埃及的紙草書上，就已經(jīng)記載了上述的研究成果。而通過這種表示法可以進(jìn)行任何分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。如：

　�。剑�

　　＝＋＋。

　　（2007年2月26日寫于福州）