一、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義
從下面的數(shù)學(xué)情景，可以獲得整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的具體意義。
下圖（圖1）中4個正方形，每個正方形為1個面積單位，涂色部分的面積是多少？
圖1
不難看出：涂色部分的面積＝的4倍。這是用1個正方形的為度量單位，去度量涂色部分，4是得到的量數(shù)。
即＋＋＋＝
�。�
�。�3。
由于＋＋＋可以簡寫為×4或4×，
所以，×4＝＝4，或4×＝＝4。①
再看圖1，涂色部分的面積＝4的。這是用4個正方形視為一個整體，去度量陰影部分，是得到的量數(shù)。
所以，4的＝的4倍。
即4的＝×4或4×。
所以，乘法算式4×（也可以寫成4×）有兩種意義：既可以表示4的，也可以表示的4倍。
應(yīng)用上面的算法①，進(jìn)行整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的必要的練習(xí)后，讓學(xué)生討論，嘗試用自己的語言去總結(jié)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計算方法，即讓學(xué)生參與算法的形式化過程。只要學(xué)生能說到以下兩點，都要加以肯定。
�、欧肿雍驼麛�(shù)相乘；⑵分母不變。
二、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義
再看下面的數(shù)學(xué)情景：
下圖（圖2）中的長方形，面積是1個面積單位，其中斜線的部分是它的，紅色部分是斜線部分的。紅色部分的面積是多少？
圖2
即×＝×＝。②
這個計算結(jié)果是依靠圖形直觀，“看”出來的。如果算，應(yīng)該怎么算呢？這就要求創(chuàng)造一個算法過程，合乎情理地溝通算式②兩邊的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生是有能力進(jìn)行這個算法過程的再創(chuàng)造的：
×＝＝。
再看下圖（圖3）中的長方形，其中斜線部分是它的，紅色部分是它的。紅色部分的面積是多少？
圖3
因此，乘法算式×（也可以寫成×）也有兩種意義：既可以表示的，也可以表示的。
進(jìn)而，對兩個分?jǐn)?shù)相乘的算法也要形式化，即總結(jié)算法：分子相乘，分母也相乘。
事實上，如果把整數(shù)視為分母是1的分?jǐn)?shù)，那么整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的乘法就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的特例而已。
如，4×＝×
�。�
�。�
＝。
三、分?jǐn)?shù)乘法的算理
如上所述，×＝＝。
一般地，m、n為非零自然數(shù)時，×＝。這個關(guān)系奠定了分?jǐn)?shù)乘法運算的基礎(chǔ)。
如，×＝（3×）×（5×）分?jǐn)?shù)的意義
�。�15×
＝分?jǐn)?shù)的意義
�。�。約分
又如，2×＝（2＋）×帶分?jǐn)?shù)的意義
�。�2×＋×乘法分配律
�。剑�?jǐn)?shù)的乘法
＝＋通分
�。酵帜阜�?jǐn)?shù)的加法
�。�。約分
或者2×＝×帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)
＝
�。�
�。�。
一般地說，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，作乘法運算比較簡便。
四、倒數(shù)的意義
掌握了分?jǐn)?shù)乘法的計算方法后，我們同樣能夠獲得前面從“分?jǐn)?shù)墻”上發(fā)現(xiàn)的乘法算式：
×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，
×＝1，×＝1，×＝1。
基于這些特殊的乘法算式，又引出一個重要的概念--倒數(shù)。
如果兩個數(shù)的乘積是1，那么我們稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)。例如，的倒數(shù)是2，2的倒數(shù)是，2與是互為倒數(shù)。
0為什么沒有倒數(shù)？
一般的解釋是，因為0乘任何數(shù)都得0，積不可能是1。
其實，也可以回顧上面那些乘積是1的算式，是怎么從“分?jǐn)?shù)墻”上發(fā)現(xiàn)的。因為量＝度量單位×量數(shù)，當(dāng)量是1時，度量單位×量數(shù)＝1。即當(dāng)量是1時，度量單位與量數(shù)互為倒數(shù)。
但是把0作為度量單位是沒有實際意義的，用它量不出任何結(jié)果。所以，0不可能是任何數(shù)的倒數(shù)，因此0也沒有倒數(shù)。
�。�2006年9月30日寫于福州，2007年2月26日修改畢）
