根據(jù)量、度量單位（基準(zhǔn)量）與量數(shù)的基本關(guān)系：
量＝度量單位（基準(zhǔn)量）×量數(shù)。
我們已經(jīng)知道：當(dāng)a、b是自然數(shù)，且b≠0時，除法算式a÷b表示兩種意義：
�、庞闪�÷基準(zhǔn)量（度量單位）＝量數(shù)，可知：a÷b可以表示a是b的幾倍或幾分之幾。這時a與b表示兩個量。
�、朴闪�÷量數(shù)＝基準(zhǔn)量（度量單位），可知：a÷b可以表示什么數(shù)的b倍等于a，或者把a(bǔ)平均分成b份，每份是多少。這時a表示一個量，b表示量數(shù)（用所求的量去度量a所得的結(jié)果）。
從實際問題抽象出來的除法算式a÷b，究竟表示上述兩種意義中的哪一種，必須結(jié)合具體情景才能來確定。
當(dāng)a、b為分?jǐn)?shù)時，除法算式a÷b仍然具有上述兩種意義，但必須探索它的算法。分?jǐn)?shù)除法的算法分兩種情形來探索：一是除數(shù)是整數(shù)的情形；二是除數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形。
一、除數(shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法
下圖（圖1）是一個長方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是這個長方形的幾分之幾？
圖1
我們可以從前面的“分?jǐn)?shù)墻”上直接看出這個結(jié)果。
但是，我們還需要探索，從算式÷2怎么算出結(jié)果呢？
算法1：÷2＝＝。
一個分?jǐn)?shù)的分子縮小到原來的一半，分母不變，所得的分?jǐn)?shù)就是原來的一半。
算法2：因為的一半等于的，所以，
÷2＝×＝。
比較上面兩種算法，算法1有局限性，它轉(zhuǎn)化為兩個整數(shù)的除法運(yùn)算，可是在整數(shù)范圍除法并非總能實施，暢通無阻。
如果圖1中的涂色部分平均分成3份，每份是這個長方形的幾分之幾？
算式：÷3＝？
上面的算法1就行不通了，算法2行得通。
因為÷3＝的，所以，
÷3＝×＝。圖2
圖2中的斜線部分是長方形的，也驗證了上面的算法是正確的。
從以上的探索結(jié)果，可以產(chǎn)生一個猜想：除以一個整數(shù)（零除外）等于乘這個整數(shù)的倒數(shù)。
這個猜想是否成立？有待檢驗。
理解分?jǐn)?shù)除法的意義，還有另一條重要途徑。
在探索分?jǐn)?shù)乘法意義的時候，我們得到一個重要的數(shù)量關(guān)系：
量＝度量單位×量數(shù)
從這個基本關(guān)系可以引伸出兩個變式：
量÷量數(shù)＝度量單位，
或量÷度量單位＝量數(shù)。
因此，對于除法算式÷3＝？的意義，可以作這樣解釋：用什么數(shù)為度量單位去度量時，量數(shù)是3？于是便有下面的代數(shù)解法：
設(shè)÷3＝x，
可得，3x＝，
x＝×，
x＝。
即÷3＝。
在圖2中，用斜線部分（即）為度量單位去度量涂色部分（即）時，量數(shù)的確是3。這里，我們又看到了，代數(shù)的方法與圖形的直觀相互印證，和諧統(tǒng)一。
代數(shù)在解法的過程中，注意到÷3＝x和x＝×，
得÷3＝×。
這也驗證了一個數(shù)學(xué)事實：除以一個自然數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
二、除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法
這個探索其實不必再從具體情景或?qū)嶋H操作入手。
因為前面在探索除數(shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法的時候，已經(jīng)獲得了重要的數(shù)學(xué)事實：除以一個自然數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。因此，可以類比，得到猜想：除以一個分?jǐn)?shù)是否等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)呢？
驗證這個猜想，除了教材提供的方法外，還有其他途徑。
途徑1：用代數(shù)方法檢驗。
計算：8÷＝？
設(shè)8÷＝x，
可得，x＝8，
x＝8×，
x＝12。
注意到8÷＝x和x＝8×，即8÷＝8×。
途徑2：從已知到未知的推理。
8÷＝8×（1÷）
�。�8×根據(jù)倒數(shù)關(guān)系：×＝1
�。�12。
因此，無論除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除法只有如下法則：
除以一個數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
這個法則也告訴我們，倒數(shù)概念的重要性：有了倒數(shù)，乘法和除法兩種不同的運(yùn)算可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算。
�。�2006年10月2日，寫于福州，修改于2007年2月26日）
