六年級(jí)第二學(xué)期是小學(xué)階段最后一個(gè)學(xué)期，使用六年級(jí)（下冊(cè)）教科書(shū)。這冊(cè)教科書(shū)里把教學(xué)內(nèi)容編排成八個(gè)單元，前七個(gè)單元教學(xué)新知識(shí)，完成《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》規(guī)定的內(nèi)容和任務(wù)。第八單元是總復(fù)習(xí)，系統(tǒng)整理小學(xué)數(shù)學(xué)中的主要知識(shí)，進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步掌握重要的思想方法，進(jìn)一步提高應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
教學(xué)的新知識(shí)仍然有四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容。“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、比例的意義和性質(zhì)、正比例和反比例、以及解決問(wèn)題的策略。百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用是在初步理解百分?jǐn)?shù)的意義，能夠進(jìn)行百分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化的基礎(chǔ)上編排的，利用百分?jǐn)?shù)的概念解決實(shí)際問(wèn)題，深入理解百分?jǐn)?shù)的意義，體會(huì)它在日常生活和生產(chǎn)勞動(dòng)中的廣泛應(yīng)用。比例的意義和性質(zhì)是在初步認(rèn)識(shí)比和比的基本性質(zhì)，能夠組成比、求比值、化簡(jiǎn)比的基礎(chǔ)上編排的，有助于體會(huì)圖形放大與縮小的含義，認(rèn)識(shí)比例尺以及解決有關(guān)比例尺的實(shí)際問(wèn)題。正比例和反比例是在常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上編排的，建立正比例和反比例的概念，能進(jìn)一步理解和把握數(shù)量關(guān)系，感受常量與變量，初步體會(huì)函數(shù)關(guān)系。在解決問(wèn)題的策略這個(gè)單元里，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想，感受轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的常用方法，它能溝通知識(shí)間的聯(lián)系，使復(fù)雜問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單。“空間與圖形”領(lǐng)域教學(xué)圓柱和圓錐，圖形的放大與縮小，用方向和距離確定位置。圓柱和圓錐都是平面與曲面圍成的立體圖形，是在圓的知識(shí)與長(zhǎng)方體、正方體知識(shí)的基礎(chǔ)上編排的，認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的特征，理解圓柱側(cè)面積和表面積的含義及計(jì)算方法，探索并應(yīng)用圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式，能發(fā)展空間觀念和思維能力。圖形的放大與縮小是新增加的教學(xué)內(nèi)容，初步理解圖形放大與縮小的含義，在方格紙上按規(guī)定的比畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形放大或縮小后的圖形，充實(shí)了圖形變換的知識(shí)和能力。確定位置也是新增加的教學(xué)內(nèi)容，在東北、東南、西北、西南的基礎(chǔ)上理解北偏東、北偏西、南偏東、南偏西的含義，還要利用量角、畫(huà)角的技能和比例尺的知識(shí)，描述物體所在的位置，進(jìn)一步發(fā)展方向感。“統(tǒng)計(jì)與概念”領(lǐng)域教學(xué)扇形統(tǒng)計(jì)圖，是在認(rèn)識(shí)圓以及百分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上編排的。要求認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，理解統(tǒng)計(jì)圖中各個(gè)百分?jǐn)?shù)的具體含義，利用已知的總數(shù)以及各部分所占的百分比，計(jì)算各部分有多少，但不要求制作扇形統(tǒng)計(jì)圖。結(jié)合新知識(shí)的教學(xué)，編排三次實(shí)踐活動(dòng)。一次是利用圓柱的體積，測(cè)量不規(guī)則形狀物體的體積；一次是比較圖形放大后與放大前邊長(zhǎng)的比與面積的比，發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律；還有一次是多種方法測(cè)量間隔較遠(yuǎn)的兩地的距離。實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)容與新知識(shí)關(guān)系緊密，讓學(xué)生在操作、探索、合作中擴(kuò)展知識(shí)、增長(zhǎng)才干。
總復(fù)習(xí)也分四個(gè)領(lǐng)域編排。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域整理陸續(xù)認(rèn)識(shí)的數(shù)，溝通各種形式的數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)一步清晰數(shù)的概念，用數(shù)描述與交流客觀現(xiàn)象；整理陸續(xù)學(xué)會(huì)的運(yùn)算，在整、小、分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則、運(yùn)算順序、運(yùn)算律上求同存異，進(jìn)一步理解運(yùn)算的意義，通過(guò)計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題；整理式與方程的知識(shí)，用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步提高運(yùn)用方程解決問(wèn)題的能力。另外，還整理了比與比例、正比例與反比例等知識(shí)內(nèi)容。在“空間與圖形”領(lǐng)域復(fù)習(xí)平面圖形和立體圖形，按形狀特征整理一般圖形與特殊圖形的關(guān)系，按推導(dǎo)方法整理平面圖形面積計(jì)算公式，用“底面積×高”整合立體圖形的體積計(jì)算方法；復(fù)習(xí)圖形變換的知識(shí)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)改變圖形的位置，通過(guò)放大或縮小改變圖形的大��；復(fù)習(xí)確定位置的方法，用數(shù)對(duì)表示物體的位置，用方向與距離表示地點(diǎn)或路線。在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域復(fù)習(xí)收集、整理數(shù)據(jù)的方法，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，反映數(shù)據(jù)狀況的統(tǒng)計(jì)量；復(fù)習(xí)可能性的知識(shí)，簡(jiǎn)單應(yīng)用可能性。在“綜合應(yīng)用”里編排四個(gè)小型課題，安排調(diào)查研究，用統(tǒng)計(jì)方法了解事情，提出并解決問(wèn)題。
各單元教材分析
第一單元百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
一、教學(xué)內(nèi)容
六年級(jí)（上冊(cè)）“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”這個(gè)單元里，初步教學(xué)百分?jǐn)?shù)的意義，用百分?jǐn)?shù)描述部分與整體或兩個(gè)同類數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系；教學(xué)了百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)的相互改寫(xiě)，解決簡(jiǎn)單的求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的問(wèn)題。本單元在此基礎(chǔ)上編排，通過(guò)應(yīng)用百分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步理解百分?jǐn)?shù)的意義，體會(huì)百分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用。
日常生活和生產(chǎn)勞動(dòng)經(jīng)常應(yīng)用百分?jǐn)?shù)，如用百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)量比另一個(gè)數(shù)量多或少的關(guān)系，又如利息與納稅的計(jì)算、折扣的設(shè)計(jì)與計(jì)算等。應(yīng)用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題可以列式計(jì)算，也可以列方程解答。這些都是本單元的教學(xué)內(nèi)容。
全單元的教學(xué)內(nèi)容比較多，編排6道例題、四個(gè)練習(xí)以及全單元的整理與練習(xí)，大致分成五段教學(xué)。
例1、練習(xí)一，求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾（或少百分之幾）。這一段是接著六年級(jí)（上冊(cè)）求簡(jiǎn)單的百分率編排的。
例2、例3、練習(xí)二，根據(jù)國(guó)家規(guī)定的稅率和利率，計(jì)算應(yīng)納稅金額和可得利息金額。這一段應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的乘法解決實(shí)際問(wèn)題。
例4、練習(xí)三，解決有關(guān)折扣的問(wèn)題，包括設(shè)計(jì)折扣和根據(jù)折扣求現(xiàn)價(jià)或原價(jià)的問(wèn)題。這一段里有列方程解題，也有列算式解題，列方程求原價(jià)是重點(diǎn)。
例5、例6練習(xí)四，列方程解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題或分?jǐn)?shù)問(wèn)題。在六年級(jí)（上冊(cè)）“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”里只教學(xué)稍復(fù)雜的求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少的問(wèn)題，已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的問(wèn)題安排在本單元，由百分?jǐn)?shù)問(wèn)題帶出。
“整理與練習(xí)”綜合全單元的知識(shí)內(nèi)容，進(jìn)一步應(yīng)用百分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問(wèn)題。
二、教材編寫(xiě)特點(diǎn)和教學(xué)建議
1．應(yīng)用概念、聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理，求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾。
例1是一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾的問(wèn)題，“試一試”是一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少百分之幾的問(wèn)題。學(xué)生有求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾的經(jīng)驗(yàn)，已能求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。教材充分利用這些資源，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)推理，探索例題與“試一試”的算法，鼓勵(lì)解決問(wèn)題方法多樣化。
·線段圖直觀。例1畫(huà)出表示東山村原計(jì)劃造林面積和實(shí)際造林面積的線段圖，還在圖上標(biāo)出了表示實(shí)際比原計(jì)劃多的那一段，幫助理解“實(shí)際造林比原計(jì)劃多百分之幾”的含義。讓學(xué)生體會(huì)這是把原計(jì)劃造林面積作為單位“1”，實(shí)際多造林的公頃數(shù)與原計(jì)劃造林面積相比。求實(shí)際造林比原計(jì)劃多的公頃數(shù)占原計(jì)劃的百分之幾，需要分兩步解答。
·思路與解法多樣。例題用兩種方法求得實(shí)際造林比原計(jì)劃多25%，“兔”的思路是：實(shí)際比原計(jì)劃多造林的4公頃占原計(jì)劃造林面積的25%，他先算了4公頃；“鳥(niǎo)”的思路是：實(shí)際造林面積是原計(jì)劃的125%，比原計(jì)劃多25%，他先算了125%。教材希望這些解法都是學(xué)生在線段圖的幫助下想到的，在交流時(shí)鼓勵(lì)思路與方法多樣化，允許學(xué)生選擇解法。
·類推并比較。“試一試”解決的問(wèn)題與例1貌似相同、實(shí)質(zhì)不同。所謂貌似相同，因?yàn)閮蓚�(gè)問(wèn)題都是實(shí)際造林面積和原計(jì)劃造林面積的關(guān)系，學(xué)生往往會(huì)從實(shí)際比原計(jì)劃多25%得出原計(jì)劃比實(shí)際少25%這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論。其實(shí)，這兩個(gè)問(wèn)題有質(zhì)的區(qū)別，首先是數(shù)量關(guān)系不同，作為單位“1”的數(shù)量不同，列出的算式不同；其次是兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)果不同：實(shí)際比原計(jì)劃多25%、原計(jì)劃比實(shí)際少20%。為此教材里有比較兩題的結(jié)果，分析結(jié)果不同原因的安排。
·設(shè)計(jì)題組，加強(qiáng)概念。解答求百分率的實(shí)際問(wèn)題是應(yīng)用百分?jǐn)?shù)意義進(jìn)行推理的過(guò)程，每一個(gè)求百分率的問(wèn)題都計(jì)算一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，各個(gè)百分率都有特定的具體含義。練習(xí)一里編排一些題組，旨在進(jìn)一步加強(qiáng)百分?jǐn)?shù)的概念。如第4題分別把會(huì)游泳人數(shù)或不會(huì)游泳人數(shù)與全班人相比，得到的兩個(gè)百分?jǐn)?shù)是不同的。第5題里既有相同條件求不同的百分率，也有不同條件求相同的百分率，從中體會(huì)數(shù)量關(guān)系和解題過(guò)程的不同。第7題里雖然三個(gè)百分率的計(jì)算思路一致，由于利用的條件不同，因而結(jié)果也不同。
2．促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)遷移，求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少。
納稅和收入利息都是生活中常見(jiàn)的求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少的問(wèn)題。例2教學(xué)納稅的問(wèn)題，例3教學(xué)利息的問(wèn)題，它們的解題思路與數(shù)量關(guān)系有相似的地方，適宜編排在一起教學(xué)。收獲利息要繳納利息稅，在教學(xué)利息的問(wèn)題前先教學(xué)納稅問(wèn)題，是合理的安排。另外，稅率和利率都是國(guó)家的有關(guān)部門(mén)規(guī)定的，普通公民不需要計(jì)算稅率和利率，只要根據(jù)規(guī)定的稅率和利率計(jì)算應(yīng)繳納多少稅、能收入多少息。所以，這兩道例題和練習(xí)二里只涉及求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少的問(wèn)題。
·創(chuàng)造遷移的氛圍，讓學(xué)生主動(dòng)解決納稅問(wèn)題。例2求60萬(wàn)元的5%是多少萬(wàn)元，從5%的概念出發(fā)，利用5%與意義上的共同點(diǎn)，讓學(xué)生在60萬(wàn)元的基礎(chǔ)上，通過(guò)推理懂得求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少也用乘法計(jì)算。計(jì)算60×5%轉(zhuǎn)化成60×，再次體會(huì)兩者的數(shù)量關(guān)系是一致的，用乘法求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少是合理的。把60×5%轉(zhuǎn)化成60×0.05是計(jì)算百分?jǐn)?shù)乘法的常用策略，當(dāng)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算比較麻煩時(shí)，把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算的優(yōu)越就顯現(xiàn)了。
例2計(jì)算應(yīng)繳納的營(yíng)業(yè)稅，“試一試”和練習(xí)中還要計(jì)算應(yīng)繳納的車輛購(gòu)置稅、增值稅、個(gè)人所得稅等，都是我國(guó)現(xiàn)行的主要稅種。稅率雖然不同，計(jì)算應(yīng)納稅額的原理與方法是致的。學(xué)生獨(dú)立解決一些關(guān)于納稅的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)例題到練習(xí)題的遷移。
·接受和理解利息的算法。利息有規(guī)定的算法，把算法告訴學(xué)生，理解算法的數(shù)量關(guān)系，是比較適宜的教學(xué)方法。例3在亮亮存款的情境里出現(xiàn)“利息＝本金×利率×時(shí)間”，在底注解釋本金、利息、利率的意思，讓學(xué)生理解年利息是按年利率計(jì)算的，是求本金的百分之幾；如果存期超過(guò)1年，還要把年利息乘時(shí)間。按照利息的計(jì)算公式列式求得利息，能對(duì)利息的算法有進(jìn)一步的體驗(yàn)。
我國(guó)的稅法規(guī)定，獲得利息要繳納利息稅，“試一試”計(jì)算應(yīng)繳納的利息稅以及納稅后的實(shí)得利息。例3與“試一試”有序地結(jié)合，為“練一練”和解答練習(xí)二第5、6題作了充分的準(zhǔn)備。根據(jù)本金、利率、時(shí)間、稅率計(jì)算稅后實(shí)得利息的步驟較多，因此，教科書(shū)里的實(shí)際問(wèn)題一般設(shè)計(jì)成連續(xù)的兩問(wèn)，先算應(yīng)得利息，再算實(shí)得利息，適當(dāng)降低解決問(wèn)題的思路坡度，減少錯(cuò)誤。
3．解答“打折扣”的實(shí)際問(wèn)題，溝通各類百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的聯(lián)系。
學(xué)生已能解答求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的問(wèn)題，以及求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少的問(wèn)題，例④教學(xué)已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的問(wèn)題，并溝通三類百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的聯(lián)系。
·以百分?jǐn)?shù)乘法為相等關(guān)系，列方程解決實(shí)際問(wèn)題。例4已知《趣味數(shù)學(xué)》打八折是12元，求書(shū)的原價(jià)是多少。教材先告訴學(xué)生八折是80%，還在底注里介紹什么是打折扣，以及折扣的含義，指出幾折就是十分之幾，也就是百分之幾十。然后讓學(xué)生思考原價(jià)和實(shí)際售價(jià)的關(guān)系，聯(lián)系打折扣的含義，得到數(shù)量關(guān)系“原價(jià)×80%＝實(shí)際售價(jià)”。在這個(gè)關(guān)系式里，已知實(shí)際售價(jià)、求原價(jià)，如果設(shè)原價(jià)為x元，就能列方程解決問(wèn)題。
·用不同方法檢驗(yàn)，溝通百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的聯(lián)系。檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的答案，一般不采用代入原方程的方法，因?yàn)榘褁的值代入原方程只能檢驗(yàn)解方程，不能檢驗(yàn)列方程。教材鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系折扣的含義，用多種方法檢驗(yàn)。“兔”檢驗(yàn)實(shí)際售價(jià)12元是不是原價(jià)15元的80%，“鳥(niǎo)”檢驗(yàn)原價(jià)15元的書(shū)打八折后的實(shí)際售價(jià)是不是12元。例題及兩種檢驗(yàn)，都在原價(jià)、現(xiàn)價(jià)、折扣三個(gè)數(shù)量里已知兩個(gè)，求另一個(gè)，它們是有關(guān)折扣的三類實(shí)際問(wèn)題。例題的解答及其檢驗(yàn)，體現(xiàn)了各類百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系。
·進(jìn)行解決各類問(wèn)題的練習(xí)，靈活應(yīng)用數(shù)量關(guān)系。練習(xí)三里編排了關(guān)于折扣的各種問(wèn)題，第1題已知原價(jià)和折扣，求打折后的售價(jià)；第2題已知打的折扣以及打折后的實(shí)際售價(jià)，求打折前的原價(jià)；第4題根據(jù)原價(jià)和現(xiàn)在售價(jià)，求打的折扣。學(xué)生解決這些問(wèn)題，能進(jìn)一步理解折扣的含義和實(shí)際應(yīng)用，靈活掌握數(shù)量關(guān)系。解答這些題都從折扣的具體含義分析數(shù)量關(guān)系，首先是“原價(jià)×折扣＝現(xiàn)價(jià)”。在這個(gè)關(guān)系式里，如果已知原價(jià)求現(xiàn)價(jià)，可以列乘法算式計(jì)算；如果已知現(xiàn)價(jià)求原價(jià)，列方程是常用的方法。然后是“現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)＝折扣”，即現(xiàn)在售價(jià)是原來(lái)價(jià)錢(qián)的百分之幾十，就是打了幾折。練習(xí)三的第3題，把已知的百分?jǐn)?shù)改說(shuō)成打的折扣，啟示學(xué)生求打的折扣就是求現(xiàn)價(jià)占原價(jià)的百分之幾十，為第4題作了鋪墊。
4．列方程解答較復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題。
例5把男生人數(shù)作為單位“1”，例6把九月份用水量作單位“1”，兩道題都求單位“1”是多少，在例4的基礎(chǔ)上列方程解答。
·利用線段圖顯示相等關(guān)系，分散列方程的難點(diǎn)。求單位“1”是多少的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題一般列方程解答，找到相等關(guān)系既是關(guān)鍵，又經(jīng)常是難點(diǎn)。例5用兩條線段分別表示美術(shù)組的男生人數(shù)和女生人數(shù)，先畫(huà)表示男生人數(shù)的線段是因?yàn)槟猩藬?shù)看作單位“1”。讓學(xué)生在圖右邊的括號(hào)里填寫(xiě)總?cè)藬?shù)，體會(huì)總?cè)藬?shù)是男生人數(shù)與女生人數(shù)的和，從而找到相等關(guān)系。例6用兩條線段分別表示九月份和十月份的用水量，先畫(huà)表示九月份用水量的線段是因?yàn)榘阉闯蓡挝?ldquo;1”的量。十月份用的水比九月份少，也就是“九月份用水量－十月份比九月份節(jié)約的用水量＝十月份用水量”，這正是實(shí)際問(wèn)題的相等關(guān)系。教材利用線段圖直觀反映例5里的兩個(gè)數(shù)量的相并關(guān)系，例6里兩個(gè)數(shù)量的相差關(guān)系，有助于學(xué)生理解相等關(guān)系。
兩道例題列出的方程都形如“x±ax＝b”，不僅設(shè)單位“1”的量數(shù)為x，還要用含有x的式子表示女生人數(shù)或十月份節(jié)約用水的立方米數(shù)，這是列方程的難點(diǎn)。教材讓學(xué)生在例5的線段圖上用0.8x表示女生人數(shù)，看著例6的線段圖思考十月份比九月份節(jié)約的立方米數(shù)怎樣表示，能有效化解難點(diǎn)。
·加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系的練習(xí)，提高尋找相等關(guān)系的能力。第11頁(yè)“練一練”第1題和例5相似，第2題是例5的變式。這些題的特征比較明顯，有些題已知兩個(gè)數(shù)量的和是多少，求兩個(gè)數(shù)量各多少；有些題已知兩個(gè)數(shù)量相差多少，求兩個(gè)數(shù)量各多少。已知的和或相差數(shù)經(jīng)常是分析數(shù)量關(guān)系的切入口，兩個(gè)數(shù)量相加得到它們的總數(shù)、兩個(gè)數(shù)量相減得到它們的相差數(shù)，往往是實(shí)際問(wèn)題里的主要數(shù)量關(guān)系，也是列方程的相等關(guān)系。第12頁(yè)“練一練”消化例6的思路，在說(shuō)數(shù)量關(guān)系前先讓學(xué)生試著畫(huà)出線段圖，在線段圖直觀啟示下容易說(shuō)出數(shù)量關(guān)系。學(xué)生看著線段圖，聯(lián)系已有的經(jīng)驗(yàn)，可能說(shuō)出不同的數(shù)量關(guān)系式。如美術(shù)組人數(shù)－舞蹈組人數(shù)＝美術(shù)組比舞蹈組多的人數(shù)；美術(shù)組人數(shù)－美術(shù)組比舞蹈組多的人數(shù)＝舞蹈組人數(shù)；舞蹈組人數(shù)＋美術(shù)組比舞蹈組多的人數(shù)＝美術(shù)組人數(shù)。要指導(dǎo)學(xué)生從中選擇用于列方程的相等關(guān)系，從他們現(xiàn)有的解方程能力出發(fā)，選用的數(shù)量關(guān)系式必須保證未知數(shù)都在等號(hào)的左邊。
·帶出稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。六年級(jí)（上冊(cè)）只教學(xué)較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題，把稍復(fù)雜的求單位“1”是多少的問(wèn)題安排在本單元，由百分?jǐn)?shù)問(wèn)題帶出來(lái)，如練習(xí)四第14～16題。這些題的解題思路與方法，和求單位“1”的百分?jǐn)?shù)問(wèn)題很接近，學(xué)生解答百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜻w移到解答分?jǐn)?shù)問(wèn)題上。教材不編排分?jǐn)?shù)問(wèn)題的例題，把解答分?jǐn)?shù)問(wèn)題安排在練習(xí)四的最后中，意圖是十分明顯的，讓學(xué)生在獨(dú)立解答這些題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知同化。
第二單元圓柱和圓錐
一、教學(xué)內(nèi)容
學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方體和正方體的特征、表面積與體積的計(jì)算方法，還直觀認(rèn)識(shí)了圓柱。在這些知識(shí)的基礎(chǔ)上，本單元教學(xué)圓柱和圓錐，主要內(nèi)容有：圓柱和圓錐的特征，圓柱的側(cè)面積與表面積，圓柱和圓錐的體積計(jì)算。
全單元編排了5道例題、四個(gè)練習(xí)以及整理與練習(xí)，大致分成五段教學(xué)。
例1、練習(xí)五，圓柱和圓錐的形狀特征；
例2、例3、練習(xí)六，圓柱的側(cè)面積和表面積；
例4、練習(xí)七，圓柱的體積；
例5、練習(xí)八，圓錐的體積；
“整理與練習(xí)”綜合應(yīng)用全單元的知識(shí)，“實(shí)踐活動(dòng)”擴(kuò)展知識(shí)、開(kāi)拓視眼。
二、教材編寫(xiě)特點(diǎn)和教學(xué)建議
1．按“整體-部分-整體”的線索，分別教學(xué)圓柱和圓錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。
學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何體一般先整體感知形狀，再仔細(xì)研究結(jié)構(gòu)與特征，在此基礎(chǔ)上歸納描述，建立形體概念。
例1先教學(xué)圓柱的特征，再教學(xué)圓錐的特征。這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)圓柱已有直觀感受，對(duì)圓錐比較陌生。圓柱和圓錐的形狀雖然有明顯的區(qū)別，但它們都有圓形底面、彎曲的側(cè)面。先認(rèn)識(shí)圓柱，有利于認(rèn)識(shí)圓錐。
·在現(xiàn)實(shí)的情境中初步認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐。例題在圖畫(huà)里呈現(xiàn)許多圓柱、圓錐形狀的物體，讓學(xué)生從中找出圓柱形狀物體，告訴他們有些物體的形狀是圓錐，還要回憶生活中的其他例子，體會(huì)這兩種形狀的物體是比較常見(jiàn)的，為認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的特征搜集了豐富的材料。
·觀察交流，分別描述圓柱和圓錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。教材要求學(xué)生仔細(xì)觀察圓柱和圓錐，發(fā)現(xiàn)它們的特征。圓柱的特征突出三點(diǎn)：從上到下始終一樣粗；兩個(gè)底面是相同的圓形；側(cè)面是一個(gè)曲面。圓錐的特征也突出三點(diǎn)；有一個(gè)頂點(diǎn)；一個(gè)底面是圓形；側(cè)面是一個(gè)曲面。在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)圓柱和圓錐的幾何圖形，圖文結(jié)合指出圓柱和圓錐的“底面”“側(cè)面”和“高”。這些都是與形狀特征有關(guān)的概念，還是繼續(xù)教學(xué)側(cè)面積、表面積、體積必需的基礎(chǔ)知識(shí)。
圓柱與圓錐的高都是特定的概念，圓柱的高是它兩個(gè)底面之間的距離，圓錐的高是它頂點(diǎn)到底面圓心的距離。教材在圓柱和圓錐的幾何圖形里用虛線畫(huà)出了圓柱兩個(gè)底面圓心間的線段，圓錐頂點(diǎn)到底面圓心的線段，還在圖形外面標(biāo)注“高”，讓學(xué)生理解圓柱和圓錐的高分別是這兩條線段的長(zhǎng)，還暗示了測(cè)量圓柱、圓錐的高的方法。
·通過(guò)識(shí)別加強(qiáng)形體概念。第19頁(yè)“練一練”找出圓柱形或圓錐形的物體，進(jìn)一步突出圓柱和圓錐的特征，加強(qiáng)形體概念。有些物體的底面是多邊形，不是圓形；有些物體的兩個(gè)底面都是圓形，但大小不同；有些物體的兩個(gè)底面雖然是相同的圓，但兩底之間不一樣粗，它們都不是圓柱形的物體。
·在練習(xí)里發(fā)展空間觀念。練習(xí)五第1題鞏固有關(guān)圓柱、圓錐特征的基礎(chǔ)知識(shí)。第2題指出圓柱、圓錐的三視圖，體會(huì)從正面、側(cè)面看到的形狀要用平面圖形來(lái)表示。第3、4題體會(huì)“形”旋轉(zhuǎn)成“體”，“形”的尺寸決定“體”的底面大小和高的長(zhǎng)短。第5題利用教科書(shū)提供的材料制作圓柱、圓錐，體會(huì)側(cè)面是平面圖形卷成的曲面，學(xué)會(huì)測(cè)量底面直徑和高的方法，計(jì)算底面周長(zhǎng)和面積，復(fù)習(xí)圓的知識(shí)。學(xué)生的空間觀念在觀察、操作、制作的過(guò)程中得到發(fā)展。
2．展開(kāi)圓柱的側(cè)面、表面、研究側(cè)面積和表面積的計(jì)算方法。
例2教學(xué)圓柱的側(cè)面積，例3教學(xué)圓柱的表面積。這樣安排，符合知識(shí)間的關(guān)系，突出側(cè)面積是認(rèn)知的重點(diǎn)。
·指導(dǎo)展開(kāi)圓柱側(cè)面的方法，理解側(cè)面展開(kāi)后的形狀。例2計(jì)算圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙的面積，在問(wèn)題情境里，學(xué)生知道商標(biāo)紙是圍到圓柱側(cè)面上的，于是產(chǎn)生把商標(biāo)紙展開(kāi)的愿望。教材指導(dǎo)“沿著接縫剪開(kāi)”，接縫的長(zhǎng)是圓柱的高，沿著接縫剪就是沿著高剪，展開(kāi)是一張長(zhǎng)方形紙。學(xué)生在“圍-剪-展-圍”的活動(dòng)中，體會(huì)了圓柱側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形。
·指點(diǎn)方向，探索側(cè)面積的算法。計(jì)算長(zhǎng)方形面積的方法是“長(zhǎng)×寬”，怎樣利用圓柱的底面直徑和高計(jì)算側(cè)面積？需要解決的問(wèn)題是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓柱有什么關(guān)系。教材讓學(xué)生研究這些關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)、長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高。這樣，圓柱的側(cè)面積就可以通過(guò)“底面周長(zhǎng)×高”計(jì)算。得出側(cè)面積算法是推理的結(jié)果，在推理過(guò)程中，形象思維和抽象思維都得到鍛煉，空間觀念得到培養(yǎng)。
·畫(huà)出表面展開(kāi)圖，研究表面積的算法。學(xué)生有計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體的表面積的經(jīng)驗(yàn)，知道表面積是物體各個(gè)面的面積總和。例3教學(xué)圓柱的表面積，創(chuàng)造已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)遷移的氛圍，要求學(xué)生在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圓柱的展開(kāi)圖。為了能順利地畫(huà)圖，例題的第一個(gè)問(wèn)題是沿高展開(kāi)側(cè)面，得到的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬各是幾厘米？指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圓柱側(cè)面積知識(shí)，先畫(huà)出側(cè)面的展開(kāi)圖。第二個(gè)問(wèn)題是兩個(gè)底面分別是多大的圓？指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓柱立體圖形里的底面直徑，畫(huà)出兩個(gè)底面圓。通過(guò)畫(huà)圖，看到圓柱的展開(kāi)圖是一個(gè)側(cè)面（長(zhǎng)方形）和兩個(gè)底面（圓形）組成的，由此得出“圓柱的側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，叫做圓柱的表面積。”在小組里討論“怎樣計(jì)算圓柱的表面積”，一要理出解決問(wèn)題的思路和步驟，二要根據(jù)已知的圓柱的有關(guān)條件，說(shuō)說(shuō)側(cè)面積與底面積的算法。由于圓柱表面積計(jì)算比較復(fù)雜，一般分步解答。
·靈活應(yīng)用側(cè)面積、表面積知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題。練習(xí)六是圓柱側(cè)面積、表面積的實(shí)際應(yīng)用，解答問(wèn)題要重視“數(shù)學(xué)化”，把實(shí)際問(wèn)題抽象成計(jì)算側(cè)面積、底面積或表面積的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如第1題求鋁皮面積是計(jì)算圓柱形隊(duì)鼓的側(cè)面積，計(jì)算羊皮面積是求圓柱形隊(duì)鼓的兩個(gè)底面積。再如通風(fēng)管是沒(méi)有底面的，彩紙糊的燈籠只有下底和側(cè)面。另外，計(jì)算圓柱的側(cè)面積和表面積，經(jīng)常要進(jìn)行繁瑣的乘法運(yùn)算。為此，本單元提倡學(xué)生使用計(jì)算器，把精力用于“數(shù)學(xué)化”上，用于規(guī)劃解決問(wèn)題的步驟上。
3．應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略，教學(xué)圓柱的體積計(jì)算公式。
把未知轉(zhuǎn)化成已知是解決新穎問(wèn)題的常用策略，也是創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力的表現(xiàn)。教學(xué)圓柱的體積公式，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化策略，分三步進(jìn)行。
·建立“等底”“等高”概念，形成“等積”猜想。例4教學(xué)圓柱體積的計(jì)算方法，首先出示一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)正方體、一個(gè)圓錐，圖文結(jié)合指出它們的底面積相等、高也相等。因?yàn)閳A柱的體積計(jì)算公式是轉(zhuǎn)化成等底、等高的長(zhǎng)方體后推導(dǎo)的，學(xué)生需要形成“等底”“等高”概念。然后從長(zhǎng)方體、正方體的體積都可以“底面積×高”計(jì)算，得到等底、等高的長(zhǎng)方體與正方體的體積相等。由此猜想，圓柱的體積也與等底、等高的長(zhǎng)方體相等，形成了研究圓柱體積算法的思路。
·割、拼圓柱，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體。圓柱的體積是否與等底、等高的長(zhǎng)方體相等，要看它能不能轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的長(zhǎng)方體。學(xué)生有圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的經(jīng)驗(yàn)，以此為基礎(chǔ)，把圓柱的底面平均分成16份，切開(kāi)后拼成了一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。這里講“近似”，是因?yàn)槠闯傻奈矬w的“長(zhǎng)”是8段弧組成的曲線。由此想像，如果把圓柱的底面平均分成32份、64份......切開(kāi)后拼成的物體的“長(zhǎng)”越來(lái)越接近線段，拼成的物體越來(lái)越接近長(zhǎng)方體。在切、拼操作以及想像中，實(shí)現(xiàn)了圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體。
·通過(guò)推理，得到圓柱體積計(jì)算公式。切、拼把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，圓柱的體積公式還要通過(guò)推理得到。教材先指導(dǎo)學(xué)生研究拼成的長(zhǎng)方體與原來(lái)的圓柱的關(guān)系，看到兩個(gè)物體的體積相等、底面積相等、高也相等。再體會(huì)“底面積×高”既是計(jì)算長(zhǎng)方體的體積，也算得了圓柱的體積。由此得出圓柱的體積公式，并用字母表示，便于記憶和應(yīng)用。
4．“估計(jì)-驗(yàn)證”探索圓錐的體積公式。
就小學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)，把圓錐轉(zhuǎn)化成體積相等的其他物體有些困難。因此，教學(xué)圓錐體積公式采用的方法與圓柱不同
·認(rèn)識(shí)等底、等高的圓錐與圓柱，估計(jì)圓錐體積是圓柱的幾分之幾。例5圖示了一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，指出它們的底面積相等，高也相等。從圖畫(huà)直觀，學(xué)生能確定圓錐的體積比圓柱小，教材讓學(xué)生估計(jì)這個(gè)圓錐的體積是圓柱的幾分之幾。這里的估計(jì)不要求準(zhǔn)確，也不要求全體學(xué)生有相同的答案，說(shuō)成、或其他分?jǐn)?shù)都允許。估計(jì)要經(jīng)過(guò)驗(yàn)證才能確認(rèn)或修正，“估計(jì)-驗(yàn)證”是解決問(wèn)題的一種策略。
·通過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)等底等高的圓柱與圓錐的體積關(guān)系。首先準(zhǔn)備器材，找等底等高的圓柱、圓錐容器各一個(gè)，教材圖示了比較底面積和比較高的方法。然后在圓錐容器里裝滿沙子，倒入空的圓柱容器里，看看幾次正好倒?jié)M。從倒沙子實(shí)驗(yàn)得出圓錐體積是等底等高圓柱體積的，確認(rèn)或者修正原來(lái)的估計(jì)。
·利用圓柱體積算圓錐體積，推導(dǎo)圓錐的體積公式。上面實(shí)驗(yàn)的結(jié)論可以用數(shù)學(xué)式子表示：圓錐的體積＝等底等高圓柱的體積×。圓柱的體積通過(guò)“底面積×高”計(jì)算，所以圓錐的體積＝底面積×高×。
·編排等底等高圓柱與圓錐的體積關(guān)系的專項(xiàng)練習(xí)。掌握?qǐng)A錐體積計(jì)算方法的關(guān)鍵在理解和應(yīng)用等底等高圓錐、圓柱的體積關(guān)系，即圓柱的體積是等底等高圓錐的3倍，圓錐的體積是等底等高圓柱的。練習(xí)八里有這方面的專項(xiàng)訓(xùn)練，如第2題、第4題、第5題等。第2題在圓錐容器里注滿水倒入等底等高的空?qǐng)A柱容器，水只占圓柱容器空間的。因此，水面的高只是圓柱高的。第5題里的圓錐只與底面直徑9厘米、高4厘米的圓柱的體積相等。圓錐與底面直徑3厘米、高9厘米的圓柱的體積不相等，因?yàn)閳A錐的底面積不是圓柱底面積的3倍。
5．測(cè)量形狀不規(guī)則的物體的體積。
生活中有大量形狀不規(guī)則的物體，它們的體積如何測(cè)量？實(shí)踐活動(dòng)《測(cè)量物體的體積》解決這個(gè)問(wèn)題。
·轉(zhuǎn)化成圓柱算體積。把土豆放入存水的圓柱容器，能測(cè)量體積。教材安排小組合作學(xué)習(xí)，先測(cè)量圓柱容器的底面積，以及放入土豆前的水面高度；再把土豆放進(jìn)去，測(cè)量放土豆后的水面高度。學(xué)生能夠從水面上升，體會(huì)那段圓柱的體積就是土豆的體積。進(jìn)行這項(xiàng)活動(dòng)要注意兩點(diǎn)，一是在圓柱容器的里面測(cè)量它的底面直徑和水面高度，并算出底面積。二是幫助學(xué)生理解水面高度變化與土豆體積的關(guān)系。
·利用質(zhì)量與體積的比值算體積。同一種材料，物體的質(zhì)量與體積的比值（即比重）是一定的，物體的質(zhì)量除以比重的商是物體的體積。如鐵的比重是每立方厘米7.8克，一塊質(zhì)量為780克的鐵塊的體積是780÷7.8＝100（立方厘米）。這次實(shí)踐活動(dòng)的第二個(gè)內(nèi)容就是應(yīng)用這種關(guān)系算體積，分三步進(jìn)行。第一步用測(cè)量土豆體積的方法分別測(cè)量?jī)蓧K鐵塊的體積，用天平稱出這兩塊鐵塊的質(zhì)量。第二步把兩塊鐵塊的體積和質(zhì)量填入教材設(shè)計(jì)的表格，分別算出質(zhì)量與體積的比值，發(fā)現(xiàn)比值是相同的。第三步用天平稱出另一塊鐵塊的質(zhì)量，通過(guò)質(zhì)量除以比重求出體積。開(kāi)展這項(xiàng)活動(dòng)也要注意兩點(diǎn)，一是先測(cè)量的兩塊鐵塊的體積要盡量準(zhǔn)確，否則，得不到“質(zhì)量與體積的比值一定”。二是幫助學(xué)生理解質(zhì)量除以比重的商是體積。
