關(guān)于百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題與關(guān)于分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往具有同構(gòu)性。有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用有哪些原型，百分?jǐn)?shù)也有相應(yīng)的原型。因此，解決分?jǐn)?shù)有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與方法可以遷移，用于解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。
解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題，必須掌握一種技能，即小數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間相互轉(zhuǎn)化的技能。新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“合格率”一課，結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，探索并掌握小數(shù)、分?jǐn)?shù)怎樣化成百分?jǐn)?shù)的方法與技能；“蛋白質(zhì)含量”是探索并掌握百分?jǐn)?shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)的方法與技能。
問(wèn)題情景1：
數(shù)學(xué)問(wèn)題：43是50的百分之幾？52是60的百分之幾？這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)誰(shuí)大？
解：43÷50＝
�。�
�。�86％。
52÷60≈0.867
�。�86.7％。
答：乙牌罐頭合格率高。
什么時(shí)候通過(guò)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為百分?jǐn)?shù)比較簡(jiǎn)便呢？一般地說(shuō)，當(dāng)除數(shù)是自然數(shù)（0除外），而且它只有2或5因數(shù)時(shí)，利用分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)比較簡(jiǎn)便。因?yàn)橹挥羞@種分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)基本性質(zhì)比較容易轉(zhuǎn)化為分母是100的分?jǐn)?shù)。
從上述這個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以看到，百分?jǐn)?shù)可以用于不同對(duì)象的比較評(píng)價(jià)。
從原來(lái)的問(wèn)題可以編成下列兩道變式問(wèn)題。
變式問(wèn)題1：抽檢乙牌罐頭，合格的有52箱，合格率約是86.7％，共抽檢了多少箱乙牌罐頭？
數(shù)學(xué)問(wèn)題：什么數(shù)的86.7％等于52？
線段圖：
解法1：（代數(shù)解法）
設(shè)：抽檢了x箱罐頭。
86.7％x＝52。
解這個(gè)方程，得x≈60。
答：共抽檢了60箱罐頭。
解法2：（算術(shù)解法）
52÷86.7％≈60。
答：（略）
變式問(wèn)題2：抽檢了60箱乙牌罐頭，合格率約是86.7％，合格的乙牌罐頭有多少箱？
數(shù)學(xué)問(wèn)題：60的86.7％是多少？
線段圖：
解：60×86.7％≈52。答：（略）
數(shù)學(xué)情景2：
這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的百分?jǐn)?shù)，反映的是黃豆內(nèi)在營(yíng)養(yǎng)的結(jié)構(gòu)特征。
數(shù)學(xué)問(wèn)題：250的36％是多少？
線段圖：
解法1：250×36％＝250×
�。�90。
答：250克黃豆中含90克蛋白質(zhì)。
解法2：250×36％＝250×0.36
�。�90。
答：（略）
從這個(gè)問(wèn)題，同樣可以改編出兩道變式問(wèn)題，這里不再陳述。
數(shù)學(xué)情景3：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，今年的畢業(yè)生比去年增加15％，今年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？
這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的百分?jǐn)?shù)，則是反映事物發(fā)展變化的過(guò)程和趨勢(shì)。
數(shù)學(xué)問(wèn)題：160增加了15％后是多少？
線段圖：
解：160×（1＋15％）＝160×
�。�184。
答：今年畢業(yè)的學(xué)生有184人。
變式問(wèn)題1：春蕾小學(xué)今年畢業(yè)的學(xué)生有184人，比去年增加了15％，去年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？
數(shù)學(xué)問(wèn)題：什么數(shù)增加了15％后是184？
線段圖：
解法1：設(shè)：去年畢業(yè)的學(xué)生有x人，
�。�1＋15％）x＝184，
x＝184，
x＝184×，
x＝160。
答：（略）
解法2：184÷（1＋15％）＝184÷
�。�184×
�。�160。
答：（略）
變式問(wèn)題2：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，今年有184人，今年的畢業(yè)的學(xué)生比去年增加百分之幾？
數(shù)學(xué)問(wèn)題：184比160增加了百分之幾？
線段圖：
解：（184－160）÷160＝
�。�
�。�15％。
答：（略）
變式問(wèn)題3：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，比今年的畢業(yè)生少13％，今年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？
從這個(gè)實(shí)際問(wèn)題能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？用什么樣的線段圖表示這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？怎樣解答？都留給讀者自己完成，并想一想：還能提出新的變式問(wèn)題，并加以解決嗎？
事實(shí)上，百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，是分?jǐn)?shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用的深化和發(fā)展。所以，在掌握好分?jǐn)?shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，兩者將會(huì)互相遷移，互相促進(jìn)，相得益彰。
請(qǐng)看下表：
分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題
百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題
求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾
求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾
求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少
求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少
求什么數(shù)的幾分之幾等于某數(shù)
求什么數(shù)的百分之幾等于某數(shù)
求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)增加（或減少）了幾分之幾
求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)增加（或減少）了百分之幾
求一個(gè)數(shù)增加（或減少）了幾分之幾是多少
求一個(gè)數(shù)增加（或減少）了百分之幾是多少
求什么數(shù)增加（或減少）了幾分之幾等于某數(shù)
求什么數(shù)增加（或減少）了百分之幾等于某數(shù)
從認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義到認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)的意義，知識(shí)因不斷分化而更為精細(xì)；從分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用到百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，知識(shí)又因融會(huì)貫通而變得更為簡(jiǎn)單。這就是奧蘇伯爾說(shuō)的“不斷分化與綜合貫通”的原則，也是華羅庚先生說(shuō)的，書要從薄讀到厚，又要從厚讀到薄。
百分?jǐn)?shù)是一種相對(duì)數(shù)，也是一種沒(méi)有量綱的無(wú)名數(shù)。既是相對(duì)數(shù)又是無(wú)名數(shù)的，還有系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、折扣、千分?jǐn)?shù)等。其中倍數(shù)和百分?jǐn)?shù)用途最廣。
系數(shù)和倍數(shù)。系數(shù)和倍數(shù)是將對(duì)比的基數(shù)抽象化為1而計(jì)算出來(lái)的相對(duì)數(shù)。在兩個(gè)數(shù)字對(duì)比時(shí)，其分子數(shù)值與分母數(shù)值相差不大時(shí)，常用系數(shù)表示。如工資等級(jí)系數(shù)、固定資產(chǎn)磨損系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物產(chǎn)量的折合系數(shù)等。如果分子的數(shù)值比分母的數(shù)值大很多時(shí)，則用倍數(shù)表示。例如，我國(guó)1949年鋼產(chǎn)量為15.8萬(wàn)噸，1985年達(dá)到4679萬(wàn)噸，為1949年的296.14倍。
成數(shù)和折扣。成數(shù)和折扣是將對(duì)比的基數(shù)抽象化為10而計(jì)算出來(lái)的相對(duì)數(shù)。如今年糧食產(chǎn)量比去年增長(zhǎng)一成以上，即增長(zhǎng)以上；按原價(jià)的九折購(gòu)得一臺(tái)電腦，即只付這臺(tái)電腦原價(jià)的的錢。
百分?jǐn)?shù)和千分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)是將對(duì)比的基數(shù)抽象化為100而計(jì)算出來(lái)的相對(duì)經(jīng)是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)最常用的一種表現(xiàn)形式。通常以符號(hào)%表示。在實(shí)際工作中，增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)多以百分點(diǎn)表示，存款利率提高了1個(gè)百分點(diǎn)，則表明銀行利率提高了百分之一。千分?jǐn)?shù)是將對(duì)比的基數(shù)抽象1000而計(jì)算出來(lái)的相對(duì)數(shù)。當(dāng)對(duì)比的分子數(shù)值比分母數(shù)值小很多時(shí)，宜用千分?jǐn)?shù)表示。如人口出生率、死亡率、人口自然增長(zhǎng)率多以千分?jǐn)?shù)表示。
人口出生率＝×1000‰。
鹽度一般用千分?jǐn)?shù)表示，如海水的含鹽量是3.5‰。
存款的月利率用千分?jǐn)?shù)表示，年利率則用百分?jǐn)?shù)表示。如中國(guó)銀行人民幣存款利率表，2002年2月21日開(kāi)始執(zhí)行整存整取一年月利率為1.65‰，年利率為1.95％。如果要計(jì)算日利率，還可以用萬(wàn)分?jǐn)?shù)表示（萬(wàn)分?jǐn)?shù)不用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，直接用漢字表示）。
黃金飾品的含金量使用K金、足金（含金量不少于99％）和十足金（含金量不少于999‰，即99.9％）等表示；K金最小值是8K，最大值是24K，但2K只是一個(gè)理想值，實(shí)際是不存在的。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，每K含金量為4.166％，K數(shù)與含金量的關(guān)系式是：
Auwt％＝×100％。
（2006年10月2日，寫于福州，修改于2007年2月26日）
