一、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實背景之一--測量
從數(shù)學(xué)發(fā)展史看，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于人類的測量活動，而且人類認(rèn)識分?jǐn)?shù)是從認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位開始的。
�、艤y量一張三人沙發(fā)的長度，如果沒有現(xiàn)成的尺子，可以自選一個度量單位，如用一條領(lǐng)帶的長為度量單位進(jìn)行測量，測得三人沙發(fā)的長恰好等于這條領(lǐng)帶長的2倍，即
三人沙發(fā)的長＝領(lǐng)帶的長×2＝2（領(lǐng)帶的長）。
量＝度量單位×量數(shù)。
�、茰y量一張單人沙發(fā)的長度，發(fā)現(xiàn)它還不足一條領(lǐng)帶的長。怎么辦呢？辦法是縮小度量單位。把這條領(lǐng)帶對折兩次，即以這條領(lǐng)帶長度的四分之一（）為度量單位時，單人沙發(fā)的長恰好等于它的3倍，即
單人沙發(fā)的長＝領(lǐng)帶的長的×3＝（領(lǐng)帶的長）
量＝度量單位×量數(shù)。
在測量單人沙發(fā)時，我們用到了比自然數(shù)1更小的度量單位（把自然數(shù)1平均分成4份，表示其中的一份的數(shù)是）。
這里，分?jǐn)?shù)和表示不同的長度（量），其中，是分?jǐn)?shù)單位，表示3個，或的3倍。
所以，用分?jǐn)?shù)單位度量一個量時，所得的結(jié)果一般是用分?jǐn)?shù)表示的。也可以說，分?jǐn)?shù)是由量與分?jǐn)?shù)單位（度量單位）的倍比關(guān)系產(chǎn)生的。分?jǐn)?shù)單位的重要性可見一斑。
想一想：已知用1為單位度量三人沙發(fā)的長時，量數(shù)是2，沙發(fā)的長是多少？那么用為單位度量這張三人沙發(fā)的長，量數(shù)是幾？這張三人沙發(fā)的長度是幾分之幾？如果用為單位去度量這張三人沙發(fā)的長呢？
下面的表格，同樣可以表征上述數(shù)學(xué)問題：
三人沙發(fā)的長度
度量單位
量數(shù)
？
1
2
��？
�。�
��？
？
下面雙重刻度的線段，也可以表征上述的數(shù)學(xué)問題：
經(jīng)過上述作業(yè)，能充分體驗量、度量單位、量數(shù)三者的基本關(guān)系：量＝度量單位×量數(shù)；同時，還會發(fā)現(xiàn)：2＝＝。
再想一想：用為單位去度量一張雙人沙發(fā)的長，如果所得的量數(shù)是6，那么這張雙人沙發(fā)的長度可以用什么分?jǐn)?shù)表示？
上面這個數(shù)學(xué)問題，用線段圖表征如下：
二、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實背景之二--分物
⑴用自然數(shù)1表示1個物體，把它平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。
⑵用自然數(shù)1表示由許多物體組成的一個整體時，把它平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，也是分?jǐn)?shù)單位嗎？
把8個餅平均分成4份，其中每份都有2個餅。
如果把2（部分量）作為度量單位，去度量8（整體）時，量數(shù)是4；也就是說，8是2的4倍。
如果把8作為單位“1”，去度量2時，量數(shù)是；這個分?jǐn)?shù)描述的是同一個量中整體與部分的倍比關(guān)系，它本身不是一個量，當(dāng)然也就不具有充當(dāng)分?jǐn)?shù)單位的資格。
所以，同一個分?jǐn)?shù)，具有兩種不同的意義：一可以用來表示一個量，當(dāng)它表示量時，它還是計量的單位（分?jǐn)?shù)單位）；二是可以用來表示量數(shù)，即表示兩個量（整體與部分）的倍比關(guān)系。事實上任何分?jǐn)?shù)都具有這兩種意義。
籠統(tǒng)地，把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。這個定義的科學(xué)性是值得商榷的。
�、侨绻�9個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？
這個實際問題通常被抽象為下面的數(shù)學(xué)問題：
9平均分成4份，每份多少？
解法一：因為1平均分成4份，其中一份是；所以，9平均分成4份，每份是9個，即。算法如下：
9÷4＝9×（1÷4）
�。�9×
�。�。
解法二：9÷4＝2......1，
1÷4＝，
2＋＝2，
所以，9÷4＝2。
上述兩種算法，都涉及到一個基本的運(yùn)算：
1÷4＝
量÷量數(shù)＝度量單位。
在教材中，是通過圖形的直觀操作得到結(jié)果的，但缺乏對操作過程的內(nèi)涵抽象與概括，使學(xué)生不能看到分?jǐn)?shù)與除法之間的本質(zhì)聯(lián)系。因此，學(xué)生的思維只能停留在經(jīng)驗的層面，他們的理論思維得不到應(yīng)有的培養(yǎng)和發(fā)展。
值得指出的是，當(dāng)我們把實際問題中的“4個人”抽象成“4份”的時候，其中“4”的意義，從表示量（人數(shù)）變換成表示量數(shù)（份數(shù)）了。當(dāng)我們掌握了比的概念后，上述的實際問題還可以抽象成下面的數(shù)學(xué)問題：
9與4的比的比值是多少？其中9與4的實際意義都沒有改變，它們分別表示兩個不同的量。
解：9︰4＝︰1＝。
回到實際問題的情境，解釋比值的實際意義，即表示每個人分得個餅。
從這個例子，也許可以領(lǐng)略到一點(diǎn)產(chǎn)生比的概念的必要性。
三、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實背景之三--比較
兩個量的比較有兩種圖式：一是兩個量的差比關(guān)系（第一學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容）；二是兩個量的倍比關(guān)系（第二學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容）。
�、乓皇r花，其中5朵白花，10朵紅花。
如果以白花的朵數(shù)為基準(zhǔn)量進(jìn)行比較，那么紅花的朵數(shù)是白花的2倍；如果以紅花的朵數(shù)為基準(zhǔn)量進(jìn)行比較，那么白花的朵數(shù)是紅花的。這里，2和都是量數(shù)，都表示兩個量的倍比關(guān)系。
上述量與量數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，也可以用下面的線段圖直觀表示：
測量中的量、度量單位與量數(shù)之間的基本關(guān)系，可以衍變?yōu)樵诒容^中的量、基準(zhǔn)量、量數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，即
量＝基準(zhǔn)量×量數(shù)。
�、瓢聪旅娴膬煞N方法配制橙汁飲料：
A．4杯純橙汁、3杯礦泉水；
B．5杯純橙汁、4杯礦泉水。
A、B兩種橙汁飲料，哪種更甜一些？
解決這類實際問題一般都有下列兩種思維圖式：
①求每杯水平均摻入幾杯純橙汁，摻入純橙汗較多的飲料更甜一些。根據(jù)這種思維圖式，以水的杯數(shù)為基準(zhǔn)量，求純橙汁的杯數(shù)是水的幾倍。因此，從實際問題抽象出的數(shù)學(xué)問題是：比較分?jǐn)?shù)與的大小。
解法一：＝，＝。
因為＞，所以＞。這個結(jié)果說明A種橙汁飲料更甜一些。
解法二：＞1.33，＝1.25。
因為1.33＞1.25，所以＞。
�、谇竺勘兂戎骄鶕饺霂妆�，摻入水較少的飲料更甜一些。根據(jù)這種思維圖式，以純橙汁的杯數(shù)為基準(zhǔn)量，求水的杯數(shù)是純橙汁的幾倍。因此，從實際問題抽象出的數(shù)學(xué)問題是，比較分?jǐn)?shù)與的大小。
解答這個數(shù)學(xué)問題也有類似于①中的兩種方法，結(jié)果是＜，說明A種飲料摻入的水較少，因此更甜一些。
綜上，從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的三種現(xiàn)實背景，可以清楚地看到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于量的倍比關(guān)系。分?jǐn)?shù)概念的核心是量、度量單位（基準(zhǔn)量）與量數(shù)的基本關(guān)系，即量＝度量單位（基準(zhǔn)量）×量數(shù)。
因此，分?jǐn)?shù)具有兩種不同的意義：
1．分?jǐn)?shù)可以表示量。表示量的分?jǐn)?shù)，它或者是分?jǐn)?shù)單位，或者是分?jǐn)?shù)單位的整數(shù)倍。
2．分?jǐn)?shù)可以表示量數(shù)。量數(shù)是以一個量為基準(zhǔn)量去度量另一個量所得的結(jié)果，它是描述兩個量倍比關(guān)系的一個數(shù)（自然數(shù)或分?jǐn)?shù)）。
兩個量的倍比關(guān)系又有下面四種類型：
①一個量中整體與部分的倍比關(guān)系；
②同類的兩個量的倍比關(guān)系；
�、垡粋�量中各組成部分的倍比關(guān)系；
④不同類的兩個量的倍比關(guān)系。
從類型①和②，可以衍生出百分?jǐn)?shù)的概念；從類型③和④可以衍生出比的概念。
量＝基準(zhǔn)量×量數(shù)，這一基本關(guān)系有下面兩個等價的形式：
�、倭�÷基準(zhǔn)量＝量數(shù)；
�、诹�÷量數(shù)＝基準(zhǔn)量。
從形式上看，①和②都是兩個數(shù)相除，但只有①的情形才可以稱為兩個量的比。各種版本教材關(guān)于比都是這樣定義的：“兩個數(shù)相除，又叫做這兩個數(shù)的比”。這個定義令人困惑，一些學(xué)生也提出質(zhì)疑：“既然兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)的比，那么為什么還要學(xué)習(xí)比呢？”問的教師無言以對。其實，是這個比的定義有問題，它錯誤地擴(kuò)大了比的概念的外延。比的定義似乎應(yīng)該是：“兩個量相除，叫做這兩個量的比”。（2007年2月15日于福州）
