對(duì)稱性：函數(shù)圖象存在的一種對(duì)稱關(guān)系，包括點(diǎn)對(duì)稱和線對(duì)稱。
周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，若存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任何 ，都有 且 ，則函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期。
對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評(píng)指正。
一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱。
命題1：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點(diǎn) 和 對(duì)稱，那么：
當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
當(dāng) ， 時(shí)
∴
即：
∴當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
當(dāng) ， 時(shí)
∴
∴
∴當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。
當(dāng) ， 時(shí)
∴ （與條件矛盾，舍去）
綜合得原命題成立。
二、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一條線對(duì)稱。
命題2：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴
即：
∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴
即：
∴
即：
∴ 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
三、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于兩條線對(duì)稱。
命題3：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即：
∴
∴ 是以 為周期的周期函數(shù)。
