我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。
數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性質(zhì)3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過(guò)的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來(lái)：
�。�1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2整除。
�。�2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。
（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。
（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。
�。�5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。
�。�6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年級(jí)學(xué)過(guò)的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被 4（或25）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。
類似地可以證明（5）。
�。�6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
�。�8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
�。剑�8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。
利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：
（4‘）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。
�。�5‘）一個(gè)數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。
�。�6’）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。
例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728，8064。
解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；
能被8整除的數(shù)有3728，8064；
能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。
例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。
例3 從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。
解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。
