第一回  混沌初分  大千世界識一二

　　         萬物肇始  天圓地方自規(guī)矩

　　原始文明只能分辨1、2和“許多”。埃及人用|表示1，用││││∩∩∩表示34。炎黃始祖首創(chuàng)十進制位值記數(shù)，獨領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)千年�！吨芤住钒素裕�現(xiàn)代電腦，有根有據(jù)一脈相承。補天女媧，治水大禹，無規(guī)無矩難成方圓。

　　自古以來，我國就流傳著一個神話：在最古最古的時候，天地初分混沌開，有一個人，叫做盤古。他生在天地的中間，天每天高了一丈，地也每日厚了一丈，盤古也每天長了一丈。他老是頂天立地的生活著。經(jīng)過了一萬八千年，天極高，地極厚，盤古也極長。

　　這里講的宇宙是不斷膨脹中的，速度是每日二丈。這倒和現(xiàn)代的“大爆炸宇宙學(xué)”有些類似，不過我們現(xiàn)在倒不必去談天體物理，還是看看這里的數(shù)學(xué)：一萬八千年后，天長高多少？地長厚多少？這是個很簡單的計算。天高暫且不論，地厚就是18000丈，合 6000千米左右，這不正是地球的半徑嗎！像這樣的創(chuàng)世神話，全世界各民族都有。

　　《圣經(jīng)》中說，大初的時候，地上全是水，無邊無際，水面上空虛混沌，暗淡無光。上帝說：“要有光！”這樣就有了白天和夜晚。第二天，上帝說：“要有穹窿！”于是就有了穹窿。上帝稱穹窿為天。

　　上帝如此這般辛苦工作了六天，天上就有了日月星辰，地上就有了萬物生長，還造出了人類的始祖——亞當、夏娃。

　　看來，中國的盤古要比西方的上帝悠久得多，光開天辟地就用了一萬八千年，遠遠超了紀錄。

　　不知是不是咱中國人在很久很久以前，數(shù)學(xué)比他們學(xué)得好，早就知道了很大很大的數(shù)？

　　也許有人要笑：一萬八千算個什么大數(shù)��！咱小學(xué)二三年級的小娃娃，哪一個不是十萬百萬地朝大了說，幾億幾億地往本上寫？請不要著急，且容我細細道來。

　　且說在一個原始部落里，有兩位智者，很受大家尊重，經(jīng)常充當咨詢顧問一類的角色。但他們之間卻往往互不服氣，于是決定在部落大會上搞一次智力競賽。比賽的題目很單純：誰說出的數(shù)大，誰就贏。

　　比賽開始了。甲先說出：“一。”

　　乙看了看甲，想了半天說出個數(shù)：“二。”

　　這回輪到甲再傷腦筋了。他拍了一會兒腦門，突然高興地大聲說：“三！”發(fā)言權(quán)又轉(zhuǎn)到乙的手上。他絞盡腦汁，最后不得不沮喪地對甲說：“你贏了。”

　　這個故事多少有些挖苦人，似乎只能算笑話，但卻千真萬確是原始社會對數(shù)的認識的一種寫照。探險考古隊員在本世紀到達某些原始部落中發(fā)現(xiàn)，那里的人確實只能說出簡單有限的幾個數(shù)，最大的數(shù)不超過5。

　　這樣看來，現(xiàn)在的小娃娃要比原始時代的智者強得多。他們從呀呀學(xué)語開始，首先就分清了“一”和“許多”。隨后就慢慢能扳著手指數(shù)出“一、二、三”來。到了兩三歲，差不多就能數(shù)到“十”了。小學(xué)三年級就基本完成了對自然數(shù)的認識過程。這么個認識數(shù)的過程和整個人類認識數(shù)的過程是基本一致的，只不過時間大大縮短了。這倒很像小娃娃在他母親的肚子里孕育的情況，從頭到尾重復(fù)了一遍生命從低級到高級的各個階段，十分有趣而又十分令我們深思。

　　可以說，世界上無論那個民族，在最初的原始階段，那幾下蹣跚學(xué)步，應(yīng)該是基本一樣的。

　　人類在最原始的時代首先分清的也是一和許多。隨著社會逐步進化，人們當然需要更多的數(shù)和對數(shù)的認識。一個部落必須知道它有多少成員、有多少敵人；一個人也感到需要知道他羊群里的羊有沒有少了。

　　或許最早的計數(shù)方法是用原始人個個都有的“計算器”——手來進行。比如，數(shù)羊的只數(shù)時，每數(shù)一只羊就扳一個手指頭，這就叫做“屈指可數(shù)”。

　　當然也可能用的是小石子來進行數(shù)數(shù)。英語Calculus（計算）一詞，原來的含義就是小石頭塊。北美印地安人直到前不久還有用小石頭塊計數(shù)的。切不可小瞧這么一種方法！這樣一種方法實際上不就是我們常說的“一一對應(yīng)”嘛！把羊群里的羊一只一只地和一塊一塊石頭逐一對應(yīng)起來，或者逐一扳下手指頭，這就是所謂一一對應(yīng)。這樣，石頭子有多少（或者手指頭有多少），羊就有多少。

　　這種方法雖然歷史古遠，平平常常，大家好像也并不陌生，但真要用好用活，得出精髓，卻真正能做出一篇轟轟烈烈的大文章。上世紀末本世紀初，就有這么一位奇才，將此法用得出神入化，鬼斧神工，給數(shù)學(xué)史上平添一道炫目之光。這是后話，暫且放下不提。

　　“識”了數(shù)，還需要“記”。我們的先民為了探索記數(shù)之法，走過了一段漫長的道路。

　　說到“記”，不免要多說幾句。所謂“記”，就是把一些信息用一定的方式在載體上留下痕跡，留下記號，并且能使群體中的成員了解其記的意義，解讀出原來的信息。

　　“記”的載體可以多種多樣。從古代的繩、石、手指，到后來的甲骨青銅，絹帛竹簡，一直到四大發(fā)明中的紙張的出現(xiàn)，再至現(xiàn)代的音碟光碟，電腦中的內(nèi)存外存，軟驅(qū)硬盤，林林總總，數(shù)不勝數(shù)。小孩子在樹干上劃個刻痕，標下身高，是“記”；做間諜的在窗臺上放盆花，告訴同伙：安全如故，亦是“記”，周幽王烽火戲諸侯，亂“記”一通，丟了周朝八百年江山；秦始皇焚書坑儒，毀“記”一旦。一部人類的文明史，實在是“記”的歷史，是“記”的發(fā)展史。

　　那么，先民又是如何開始記數(shù)的呢？

　　最早，當然是用語音這種載體。但一開始，對于兩只羊和兩個人所用的語音（詞）是不同的——盡管他們都是兩個。例如，在英語中有teamofhorses（共同拉車、拉犁的兩匹馬），yokeofoxen（共軛的兩頭牛），braceofpartridge（一對鷓鴣），Pairofshoes（一雙鞋）。你看，這里都有2這個數(shù)，但在不同的對象中有不同的說法。把2這種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無關(guān)的某個語音來代表它，或許在很長時間以后才實現(xiàn)的。我們現(xiàn)在用的數(shù)詞，起初很可能是指一些具體事物的，但是二者之間的這種關(guān)系，我們現(xiàn)在都不知道了�，F(xiàn)在的數(shù)詞，是有相同數(shù)目的各類事物，它們所具有的共同性質(zhì)的一個抽象表示。因此我們可以說，數(shù)學(xué)在它的萌芽狀態(tài)，就有了抽象性這么個特點。

　　用語音作載體，畢竟有個很大的弱點：它太容易消失了，不太牢靠，不太穩(wěn)定，有時還會產(chǎn)生不同的理解。怎么辦呢？先民們就用當時能有的材料，當時能有的條件進行著創(chuàng)造。

　　能用的材料當然首先是身邊的一些物體，比如小石塊啦，貝殼啦，等等。但隨后最普遍的，恐怕就是結(jié)繩這種方法了。在沒有文字以前，人們大都用這種方法記數(shù)，記事。春秋時期的古書《易經(jīng)》上有“上古結(jié)繩而治”的記載。結(jié)繩記數(shù)最遲在新石器時代早期（約8000年前）就普遍使用了。

　　結(jié)繩記數(shù)這種方法，不但在遠古時候使用，而且一直在某些民族中沿用下來。宋朝人在一本書中說：“韃靼無文字，每調(diào)發(fā)軍馬，即結(jié)草為約，使人傳達，急于星火。”這是用結(jié)草來調(diào)發(fā)軍馬，傳達要調(diào)的人數(shù)呢！其他如藏族、彝族等，雖都有文字，但在一般不識字的人中間都還長期使用這種方法。中央民族大學(xué)就收藏著一副高山族的結(jié)繩，由兩條繩組成：每條上有兩個結(jié)，再把兩條繩結(jié)在一起。

　　有趣的是，不但我們東方有過結(jié)繩，西方也結(jié)過繩。看樣子，咱們這個星球早就像個地球村了，只不過那時還沒有電報電話。傳說古波斯王有一次打仗，命令手下兵馬守一座橋，要守60天。為了讓將士們不少守一天也不多守一天，波斯王用一根長長的皮條，把上面系了60個扣。他對守橋的官兵們說：“我走后你們一天解一個扣，什么時候解完了，你們就可以回家了。”回頭我們再來看一件有趣的事情。在我國古代的甲骨文中，數(shù)學(xué)的“數(shù)”，它的右邊表示一只右手，左邊則是一根打了許多繩結(jié)的木棍：——“數(shù)”者，圖結(jié)繩而記之也。所以，數(shù)學(xué)研究所的門口，最好用木棍打幾個繩結(jié)作標“記”，連招牌都不用掛了。

　　和結(jié)繩幾乎同時或者稍后的一種記數(shù)方法，要算是書契了。書契，就是刻、劃，在竹、木、龜甲或者骨頭、泥版上留下刻痕，留下“記”號�！夺屆�》一書中說：“契，刻也，刻識其數(shù)也。”意思是在某種物件上刻劃一些符號，以記數(shù)。

　　我們國家 1974 年在青海樂都縣發(fā)掘的原始社會末期的墓葬中，發(fā)現(xiàn)了49枚骨片，大小形狀都差不多，是與小孩的小手指差不多大小，但很薄的一個長方形。在骨片的中部兩側(cè)有刻口，有的帶3個刻口，有的帶5個刻口，不少是帶一個刻口的。如果一個刻口代表一個數(shù)的話，那么這40多枚骨片大約可表達從一到五六十間的任何一個自然數(shù)。當然，這些小骨片也可用來計算。十分有趣的是，公元1937年，人們在維斯托尼斯發(fā)現(xiàn)了一根四十萬年前的骨頭，是狼惠子的小腿骨，七吋長，上面有55道深痕。這是到現(xiàn)在為止，最早的刻痕記數(shù)的歷史見證。所以今后諸位如果在荒郊野地里撿得幾片骨片，可千萬要仔細，莫錯過了當一次業(yè)余考古家的機會。

　　隨著刻痕刻印的發(fā)展，漸漸地就出現(xiàn)了純粹的數(shù)字符號。這可是一項光輝偉大的成就。

　　說到最初的記數(shù)符號，不禁又想起了另一個笑話。

　　從前有個土老財，目不識丁，于是請了個先生教他兒子讀書。先生來了，先教財主兒子描紅。描一筆，先生就數(shù)道“這是‘一’字”；描兩筆，先生便教道“這是‘二’字”；描三筆，先生又教道“這是‘三’字”。

　　“三”字剛寫完，財主兒子便哈哈大笑，蹦著跳著去找他爹，連聲說：

　　“太容易了，太容易了，字我已經(jīng)都會識了，不用請先生了。”土財主自然很高興，辭了先生更省了錢。不久，財主請一個叫萬百千的人來喝酒，就叫兒子寫請?zhí)�。不料過了許久，仍不見兒子拿帖來，只好到書房去看看。

　　到得書房，只見兒子滿頭大汗，見面就埋怨說：“這位客人的姓名也太古怪，什么不好叫，偏叫萬百千，我一早到現(xiàn)在忙個不息，也才描了五百多劃，干脆把掃帚拿來劃，來得快一點。”

　　可別光顧著笑話他們二位，說起來，咱們的先祖剛開始記數(shù)時，正是這么干的。

　　我們把世界上各個民族最早的記數(shù)符號歸納來看一看，最初的幾個數(shù)差不多都一樣，都是象形符號。

　　本世紀初發(fā)現(xiàn)的甲骨文，是我國文化史上的一件大事。上面的漢字約有4500 多個，可辨認的不足 1000，當中有不少數(shù)學(xué)方面的資料。其中代表 1、2、3、4的幾個符號分別是：這是遠在四千年前殷商時候的事了。

　　同樣是遠在公元前三千多年的古埃及，埃及人刻在石頭上的碑文，也是象形文字，有時這些文字也寫在其他材料上，比如紙草片、木頭和陶器。其中代表1、2、3、4的分別是：

　　|  ||  |||  ||||

　　它們都是一些垂直放著的木棒。

　　早期的巴比倫人，居住在幼發(fā)拉底和底格里斯兩河流域，大體上就是今天的伊拉克。他們沒有紙草片，恐怕烏龜殼也不多，甚至連便于刻劃的石頭也不容易找到，他們主要用粘土來書寫。

　　用一支硬筆把文字壓印在濕的粘土板上，硬筆的筆尖是一個銳利的等腰三角形。把硬筆稍稍傾斜，就在粘土板上印下一個楔形，然后把寫好的書板曬干，使其堅硬耐久，便于長期保存。在從公元前2000年到公元前200年的楔形文字泥板上，表示1，2，3，4的是：

　　16世紀初，西班牙一支探險隊來到墨西哥的尤卡坦，發(fā)現(xiàn)了古時代瑪雅人的有趣數(shù)字，這里面是這樣表示1～4的：

                                                                   ·   ··   ···   ····

　　還有大家看到的羅馬數(shù)字，有時在一些舊鐘表上還有，那上面寫的是：

　�、� Ⅱ Ⅲ Ⅲ或Ⅳ

　　你看，盡管這些世界文明的發(fā)祥地，相隔遙遠，當時只能是雞犬之聲不見，老死不相往來，但還是不約而同地創(chuàng)造出差工不多一樣的幾個最初的記數(shù)符號。這也和小孩一樣，不管什么民族，最早的幾年大家都差不多。

　　接下來，我們的祖先就會遇到土財主的兒子同樣的問題了。

　　當數(shù)目不太多時，恐怕一開始還是采取財主兒子的方法。比如“23”，就用│││││││││││││││││││││││來表示。

　　把這么多的記號寫成長長的沒有間斷的一行，閱讀起來就麻煩得很，這就自然需要把它分成較小的組。

　　如果我們習(xí)慣于用一只手來計數(shù)的話，那么很自然地把記號分成五個一組（直到現(xiàn)在，還有這樣的習(xí)慣：做買賣侃價時，把一只手翻上幾翻）。

　　這樣，“二十三”就可以寫成|||||  |||||  |||||  |||||  |||如果我們更老練一些，用兩只手同時計數(shù)的話，我們就可以把它寫成HHHHH。

　　如果這時同時又光著腳，把腳趾頭也派上用場的話，我們又可以把數(shù)分成以二十為一組了。

　　你可能會說，這樣還是麻煩，干脆把這成組的數(shù)再用一個新的記號來表示不就簡單許多了嘛！

　　一點不錯，咱們與老祖宗們想到一塊了。而這正是進位制的開始！

　　古羅馬人創(chuàng)造的符號有點像逢五進一，不過也有整十整百的符號：

　�、瘢�“1”    Ⅱ＝“2”    Ⅲ＝“3”

　　V＝“5”    L＝“100”  D＝“500”

　　X＝“10”   C＝“100”  M＝“1000”

　　記數(shù)時，采用的是加法和減法法則：即數(shù)值較小的符號位于數(shù)值較大的符號后頭時，則兩數(shù)相加；反之,則數(shù)值相減。比如：“VⅡ”表示“五加二”，即“七”；而“IV”則“五減一”，也就是“四”了。

　　這樣，1988用羅馬符號表示就是：

　　M  C  M  L  X  X  X  V  Ⅲ

　　你看，識數(shù)捎帶著連加減法一塊兒練了，實在太費神，如果眼睛不濟再加上腦袋犯迷糊，就得全亂套。

　　比起羅馬人來，尼羅河畔的古埃及就要先進了！比如“3224”，他們是

　　這么寫的：

　　■

　　想必大家也能破釋這其中的密碼：

　　頭一個符號，代表一千，其實這是一朵蓮花。

　　第二個符號，表示一百，這是一圈繩子。

　　∩，自然是十，它畫的是一副腳鐐。

　　后面的四根豎線當然就更一目了然了。

　　不過，埃及當時是從右到左寫的，而我們這里是按照現(xiàn)在的習(xí)慣從左到右了。

　　這已經(jīng)是相當方便，相當不容易了。但更值得自豪的是我們中國人的創(chuàng)造！早在四千年前，我國剛剛進入奴隸社會時期，就出現(xiàn)了相當完善的十進制記數(shù)系統(tǒng)。在殷商時期的甲骨文中，便有從1到10的文字表示，以及“百”、“千”、“萬”等相應(yīng)的符號：

　　這最后三個字，與現(xiàn)在的“百”、“千”、“萬”的書寫已十分接近了。

　　而且那“萬”字是一只蝎子，想必那時這種小爬蟲多得很。

　　甲骨上有著不少數(shù)字記錄。比如，有一片甲骨刻著“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”，意思是說在八日辛亥那天的一場戰(zhàn)爭中，消滅了敵方2656人。

　　像這樣的資料甲骨文中還有許多，可以說已經(jīng)達到當時的最高水平，領(lǐng)導(dǎo)世界新潮流。

　　不要把這當作笑談，大家仔細把前面剛說過的埃及記數(shù)法看看，自然是能夠明白。

　　在古埃及人那里，“三千”要用三朵蓮花表示；兩百呢，就用兩圈繩子表示。多麻煩！

　　中國的就不一樣了，有多少個“千”、“百”、“十”，就在這些單位的前面寫上多少，多簡單，多方便，多聰明！

　　再說，“二千六百五十六”，這里的“千”、“百”、“十”都是按從大到小的順序一溜排開，咱們就是把這些都省了，寫成“二六五六”，不也

　　是一樣知道是多大嘛！古人有時也多是這么寫的。只不過那些老前輩們都是豎排寫字寫慣了，把“二六五六”這么一豎起來，就有點不太好認了。也難怪，咱老祖宗從一開始就用竹簡寫書寫慣了，那竹簡只能是豎排。

　　回頭咱們再說說這“二六五六”。

　　11

　　你仔細瞅瞅，這和現(xiàn)如今的記數(shù)方法是不是一碼事？只不過現(xiàn)在用的是阿拉伯數(shù)字罷了。

　　這現(xiàn)在的記數(shù)方法可真算是先進，是記數(shù)這方面的一大發(fā)明。先進在什么地方呢？第一點，它只用了十個符號。這第二呢，就是有了數(shù)位的概念，比如說同一個3，寫在百位上和寫在千位上，意義就不一樣：一個是“三百”，一個是“三千”。

　　這么個聰明的辦法現(xiàn)在就叫做位值記數(shù)法。

　　話說到這會，有些朋友可能心里還有些不踏實，總覺咱們的古人在記數(shù)時中間還要夾上一些“萬”、“千”、“百”這些單位，和現(xiàn)在記數(shù)法畢竟不太一樣。

　　大家放心，待往下細細一看，便知這發(fā)明位值記數(shù)法的冠軍寶座，穩(wěn)穩(wěn)是咱中國人坐的。

　　且說秦始皇一統(tǒng)天下，倒是忙了不少事：書同文，車同軌，修長城，統(tǒng)一度量衡。忙得心煩意亂，就想出都城到處轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。于是就浩浩蕩蕩排起儀仗順著當時的高速公路——那時叫驛道——一路游去。

　　這一天來到東海之濱，始皇帝初觀滄海，不免大放豪邁之情，手舞足蹈，一不留神把腰里佩帶的算袋失落水中。算袋就變成了烏賊魚，所以烏賊又有算袋魚之稱。

　　你可知，這算袋有何用處？內(nèi)裝何物？

　　原來這算袋是一只絲質(zhì)的小口袋，里面裝的是算籌。

　　這“算籌”是些什么物件？秦始皇為什么時時要把它帶在身邊？其實看看這兩個字的結(jié)構(gòu)就能猜出個大概了。

　　籌，是竹字頭，就是一般粗細、一般長短的小竹棍。黃河流域一帶當時是茂林修竹，竹子多得很，所以我們的祖先寫字用竹簡，吃飯用竹筷——古時叫“箸”，又是竹字頭。

　　那么，這算籌又是干什么用的呢？就是用來計算的。那時沒有紙張，古人們就用這些小竹棍擺成不同的行列，表示不同的數(shù)，進行計算。

　　《說文解字》中有這樣的話：“筭長六寸，計歷數(shù)者，從竹，從弄。言常弄乃不誤也。”

　　這“筭”，是算的古代寫法，竹字頭，下面一個弄字。弄，就是運算，你看，多像把一些算籌擺在地上進行計算的情況。

　　算籌起源于周朝，后來運用了很長時間。所謂“決勝千里之外，運籌帷幄之間”，就更有了計劃、指揮的意思啦！直到現(xiàn)在咱們還常說“請仔細籌劃一番”，這根源就都起于算籌。

　　這算籌起先是用竹子做成，《漢書》上說長六寸，徑一分。古時候尺小一些，大約合現(xiàn)在14厘米左右。后來看看不行了，擺一個算式要用好大面積，就逐漸縮短了。這形狀呢，也有了改變。一開始是圓柱狀的，會亂滾，后來就有了方的，三棱形的等等。算籌的材料也來了個百花齊放，有骨制的，木制的。不過，就是秦始皇，恐怕也不會用金做的。你想想，把那金做的沉甸甸的一大把放在算袋里，掛在腰上，多累人！

　　大家看到此處可能會小吃一驚：皇帝還要親自計算？是的，那時不但搞天文歷法的要用算籌，就是一般的文武大臣，腰里都佩著一個算袋。而且是法律規(guī)定，不佩不行。上朝的時候，皇上問你話，說不定要叫你把算籌拿出來，當面算算帳。那時的知識分子士大夫階級，腰里佩個算袋，可是個時髦玩意兒。

　　要用籌來算，首先必須能用“籌”把數(shù)擺出來。一開始，是這么擺放的：

　　古人寫字是從上到下，豎排。而這擺數(shù)，就是從左到右了。

　　那么現(xiàn)在擺一個l、2、3，看看如何：

　　這一看，毛病就出來了。

　　幾根豎放的棍子擺放在一起，數(shù)位與數(shù)位之間很容易搞亂。中間的間隔一亂，就難以說清是1、2、3，還是2、l、3，還是1、5……

　　怎么辦呢？“山人自有妙計”。古人除了上面提到的擺法（叫縱式）以外，還有一種橫式擺法：

　　這樣一來，就好辦了，相鄰數(shù)位縱橫交錯擺放。古人有這么個說法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”

　　就是說個位以縱式表示，十位以橫劃表示。百位是縱的（“立”），而千位則是橫的（“僵”）；這樣，千位和十位看起來是相同的，萬位和百位也是如此。

　　那么現(xiàn)在擺起來就不會亂了。比如，6614 這個四位數(shù)用算籌表示是：

　　遇到某位數(shù)是零的時候，最早的方法是不放算籌，讓它空位。比如86021，就這么擺：

　　現(xiàn)在咱們可以很放心地說一句：這位值記數(shù)法咱中國人早就發(fā)明、早就用上了。這塊金牌非我莫屬。

　　這種位值記數(shù)再加上十進制，就叫做十進制的位值記數(shù)法。

　　說到進制，大家都還記得前邊給大伙說過的五進制、二十進制。

　　五進制就是逢五進一，最初用得很廣泛，直到現(xiàn)在，一些南美部落還是用手計數(shù)——“1，2，3，4，手，手和1”，等等。

　　而瑪雅人則是以二十進制為計數(shù)原則。這恐怕是因為瑪雅人鞋子發(fā)明得太晚了。不過，格陵蘭人也有這種進制的痕跡：它們用“一個人”代表 20，“兩個人”代表40。

　　其實，逢幾進一里的這個“幾”，除了一以外，隨便什么自然數(shù)都成。這里面一要看當時的環(huán)境，二要看實際需要。這個話題很長。

　　上古時候中國野獸很多，黃河里面的水族，尤其千奇百怪無所不有。其中有一種類似河馬的動物，身上有黑白相間的花紋，也常常隨波上下。

　　有位智者伏羲氏，偶然在晴朗天氣到河邊觀賞，看見這馬上的花紋陸離斑駁，黑自分明，心中忽然有感。自從做了部族首領(lǐng)，常常為內(nèi)政外交許多事操心，又無法記憶計算。用打繩子結(jié)來記事吧，也不夠用了。他便模仿這獸身上的黑白長短條紋，創(chuàng)造了兩種長短線條，互相配搭，成了八個不同樣子的記號，用來代表一些事物，名為“八卦”。

　　后來黃河里這種獸絕跡不見了（恐怕是沒劃野生動物保護區(qū)），后人便認為馬是不會生在河里，除非是龍馬；馬身上不會有花紋，除非背上馱了什么圖。這就是所謂“河圖”的來由。再傳下去，就又有了洛水里出現(xiàn)的一只神龜，背負“洛書”，這就叫“河出圖，洛出書，圣人則之”。也就是說圣人伏羲根據(jù)“河圖洛書”，畫成八卦，這就是《周易》（也就是《易經(jīng)》）的來源。

　　《周易》的研究現(xiàn)在可是個大熱門，感興趣的人、趕熱鬧的人都不少。不過我們現(xiàn)在只單單說一說“八卦”的組成。

　　這古圣人認為，世上萬事萬物歸根結(jié)蒂是由陰陽兩種基本元素構(gòu)成的，就把它們畫成兩種卦爻（念yáo），一陽一陰，陽爻為“——”，陰爻為“——”。

　　把陽爻和陰爻每次取兩個排列，就成四象：

　　八卦代表不同的八種基本自然物：乾為天，坤為地；巽為風(fēng)，震為雷；坎為水，離為火；艮為山，兌為澤。

　　四對物質(zhì)兩兩相對，相反相成，即所謂天地、風(fēng)雷、水火、山澤，表示的符號也正好是相反的。

　　德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646—1716），幾千年后看到八卦大吃一驚：想不到自家辛辛苦苦多少年創(chuàng)造出來的二進制，竟讓中國人大大搶先一步！

　　為何有此一說呢？因為二進制就是“逢二進一”。十進制，“逢十進一”，只要用到0～9十個數(shù)碼，所以“二進制”，就只要用0、1兩個數(shù)碼，多一個都不要。因為你要表示2，就需要在高一位上用“l”表示，逢二進一嘛。

　　比如說“二”，寫成二進制數(shù)就是：10；“三”呢，就寫成：11；“四”在二進制里就表示成100。

　　萊布尼茨老先生把“——”（陽爻）看作1，陰爻“——”當作0，這樣一來，八卦就是二進制數(shù)了：

　　二進制碼：000  001  010  011  100  101  110  111

　　十進制碼：0  1  2  3  4  5  6  7

　　后來周文王姬昌被有名的暴君紂王拘押在羑里地方，他倒不顯得著急，而是用心研究起伏羲氏的卦來，演成六十四卦。這就是現(xiàn)在的《周易》。太史公所謂“文王厄而演周易”，就是講周文王在羑里遭受困厄，反而成就了一番學(xué)問，發(fā)展八卦成六十四卦。相信朋友們現(xiàn)在也能依次寫出這六十四個二進制數(shù)，再對照一下六十四卦，倒也不失為一件有趣的事。

　　這里我們想給大伙提供點幫助，看看如何寫出一個二進制數(shù)。

　　比方說“二十七”這個數(shù)，因為它含有十三個二，再加上一個一，所以在“個”位上就可以寫上“l”，而在上一位（右邊第二位）就可以暫且寫上“13”。

　　不過這“13”還要繼續(xù)往前進，因為“13”比二大得多。所以我們看看“13”里有幾個二，就向前進幾（向右邊第三位）。用除法一除，可以知道“13”里有六個二，還多一個一，這樣第二位就寫“1”，而第三位可暫時寫上“6”。

　　下面對“6”就可以如法炮制了。用算式表示可以看得更清楚：

　　最后一次除，商是1，不能再被2除了，所以最高位就是“1”（即第五位，從右數(shù)）。其余各位依次取余數(shù)。

　　這樣“二十七”寫成二進制數(shù)就是11011。

　　大家可以看到，這辦法的主要原則就是不斷除以二，叫做“除二取余”。

　　而且我們也能清楚，這二進制各個數(shù)位的單位依次是：

　　二進制數(shù)位的單位弄清楚了，把二進制數(shù)化成十進制數(shù)也就容易了。不過，同一個數(shù)，用二進制表示就長得多了。比方上面所說的“二十七”，用十進制表示是兩位，用二進制表示就是五位。而且數(shù)越大，位數(shù)增加得越快。

　　所以在17世紀萊布尼茨老先生那會兒，這二進制倒未見得有什么風(fēng)光。一直到本世紀中間，這二進制忽然大紅大紫，風(fēng)頭十足，原因何在呢？說起來很簡單，也只是時勢二字罷了。

　　原來在20世紀中葉，發(fā)生了一場轟轟烈烈、至今仍方興未艾的大革命：計算機革命。

　　這計算機中的邏輯電路都是由開關(guān)型的電子器件構(gòu)成，它們只有兩種狀態(tài)：“開”和“關(guān)”。

　　這樣的兩種狀態(tài)的器件一是比較可靠，二是實現(xiàn)比較容易。所以我們就用“開”表示“l”，用“關(guān)”表示“0”，其他數(shù)碼就不能表示了，這樣就必須用二進制記數(shù)法來表示數(shù)。

　　再者，咱們通常進行邏輯推理，常喜歡說：“‘是’就是‘是’，‘非’就是‘非”’。也就是在下判斷的時候，對就是對，錯就是錯，沒什么含糊。這就是所謂“二值邏輯”。“對”，可以用“1”來表示；“錯”，可以用“0”表示。許許多多的命題以及命題之間的關(guān)系，都能用一個數(shù)學(xué)式子和數(shù)學(xué)式子的演算來實現(xiàn)，而這些演算都是用二進制記數(shù)的。

　　因此，電腦在本世紀40年代的發(fā)明，必然使二進制風(fēng)云一時。

　　話說到這會兒，這二進制咱們聊得也差不多了。不過，有時它還是使人有些不習(xí)慣，不明白。其實，這二進制不但老早中國就有，現(xiàn)在全球風(fēng)行，就是澳洲的一些原始部落里還從古到今一直用到現(xiàn)在呢！

　　興許是識數(shù)太少的原由，所以澳洲東部昆士蘭的土人是這么計數(shù)的：“1，2，2 和 1，兩個 2，多多。”您瞧，這不就是用了“逢二進一”嗎？只不過數(shù)到4就停下來了。

　　阿根廷火地島的一個部落，用的是所謂“逢三進一”，三進制；而南美的一些部落則是用四進制。

　　這里的“二”、“三”、“四”，我們就把它叫做計數(shù)的“基”。

　　前面談過五進制，它的基就是五。是古代用得很廣泛的記數(shù)法。而現(xiàn)在最常用的十進制，基就是十了。

　　也難怪，誰讓咱們?nèi)祟惗奸L著五個手指頭呢？要是女蝸造人多捏了一個手指頭，現(xiàn)在流行的可就不是十進制了。

　　還有一種大家都知道一點的，就是以12為計數(shù)的基。

　　咱們都了解，一打（dozen）是12個，一籮（gross）是12打。這些都是英國人常用的。古代的一英磅是12 盎斯，1先令是 12便士，1 英寸是 12英分，l英尺是12英寸。

　　這也許是由于一年大約有12個朔望月；也可能是因為12能被許多整數(shù)整除。

　　二十進制就是20為基的記數(shù)法，曾被廣泛應(yīng)用，它使人想起人類的赤腳時代。這種記數(shù)法，曾由美洲印第安人使用過，在高度發(fā)達的瑪雅文化中更有完整的表現(xiàn)。

　　就是在歐洲各國的語言中，也能發(fā)現(xiàn)這種進位制的痕跡。法語中常用四個20代替 80，用四個20 加10 代替90；格陵蘭人則用“一個人”代表 20，“兩個人”代表40，英國人也常常用csore（20）這個字。

　　而以巴比倫古代那會兒，就是以六十進位制為主了。直到現(xiàn)在，咱們計算時間，計算角度，也還是這么用著。

　　咱們中國雖然是以十進制為主流，不過也還有其他的一些。比如，咱們古代記時辰，也是分一天為12個時辰。

　　這記時用的12個字分別就是：

　　子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

　　這十二個字就叫“地支”。

　　夜里11點到1點，就叫子時，每個時辰合現(xiàn)在兩個小時。依次類推，就能出丑時、寅時、卯時等等。哪位同學(xué)有興趣，也不妨算一算，自己是何“時”出生的。

　　亥時一過，新的一天又開始了，就又是新子時。這 12個字循環(huán)往復(fù)，輪回使用，正反映了一種周而復(fù)始的現(xiàn)象，一種周期性的運動。

　　不過，它也可以看作是“逢十二進一”，是一種十二進制記數(shù)法�？赡苡腥藭�說，這“逢十二進一”，進的那高一位的“數(shù)”在哪呢？

　　這里給大家打個比方。比如說有一塊自動日歷表，那么每到夜里12點（也就是“子夜”）就會咔嚓一聲，日歷框里換了個新的日子。而時間呢，依然是從0點開始重新往前去。您看，這新的一天不就等于往前進的一位嗎？

　　不過我國古代最早是把一日分為百刻，是用十干來記時。后來才把一日分為12辰，用地支（12支）來表示。

　　十干，也就是平常所說的天干，一共有10個字：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。魏晉時還有“甲夜、乙夜、丙夜、丁夜、戊夜”的說法，就相當于后世的一更、二更、三更、四更、五更。這就說明了記時是用過天干的，因為一日百刻，甩十干比較方便。

　　那么記日又怎么辦呢？早在夏代，就用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸這10個字來記日。

　　不過，大家也可以看出來，這種詞法十天一輪換，太短，容易把日子弄混了。

　　后來，人們就想了個辦法，把天干的10個和地支的12個字配合起來，依次組合，比如“甲子”，“乙丑”，“丙寅”，“丁卯”，等等。

　　有心人動手親自這么一搭配，就會發(fā)現(xiàn)點小問題：

　　天干只有10宇，而地支有12個字，等到天干的最后一個字“癸”和地支中的第10個字“酉”搭配成“癸酉”后，天干的10個字已經(jīng)用完了，地支還余兩個字“戍”，“亥”。

　　怎么辦呢？就把天干10個字依次重新再使用，配合成“甲戌”，“乙亥”，“丙子”，“丁丑”，等等。以后不管是“干”，還是“支”，用到最后一個字了，就都這么從頭循環(huán)使用。

　　那么，這么一搭配，會出現(xiàn)多少個不同的情況呢？什么時候再出現(xiàn)一開頭的“甲子”呢？

　　這個問題倒也不復(fù)雜，是個求最小公倍數(shù)的問題：10 和 12 的最小公倍數(shù)是60。

　　因此，上面的正確答案就是60，共能配合成六十組，循環(huán)使用，就叫做“六十甲子”。

　　這種干支搭配最早是用來記日的，殷商武乙時期（約公元前13世紀）的一塊牛胛骨上，就刻有完整的六十甲子。

　　后來到了東漢建武三十年（公元54年），就開始用來記年了。直到現(xiàn)在，咱們中國的日歷上，還有這種記年方法。這記年，也是60年一輪換，所以叫“六十花甲子”。因此，如果一個人一輩子遇到兩個甲子年，或者是其他兩個相同名稱的農(nóng)歷記年，那他肯定超過了六十花甲。

　　不用我說，大伙也明白，這六十次一輪回，當然也可以看作是“六十進位制”。

　　所以，我國的記數(shù)方法是既很先進，又很豐富。既有占有主導(dǎo)地位、在全球發(fā)明最早的十進制位值記數(shù)法，又有沿用至今的“二進制”、“十二進制”、“六十進制”等等其他記數(shù)法。真可謂源遠而流長，歷久而彌新。

　　這盤古開天地，天高地厚的答案，古人總算給了我們一個交代。順理成章，老祖宗隨后自然而然要問天，問地，問自己，這天像什么物體？地是什么形狀？

　　讓咱們看看周公和商高的一席話，便知究竟。

　　這周公是周武王之弟，名旦，是一位很有本事、很有賢德的人。武王死后，其子尚小，就由周公攝政，主持一切。

　　周公旦禮賢下士，甚至于“一沐三握發(fā)，一飯三吐哺”。也就是說他勤于接待，洗發(fā)時三次握著頭發(fā)停下來不洗，吃飯時三次吐出食物，急忙迎客，殷勤待土。這就是所謂“握發(fā)吐哺”的來歷了。

　　話說這高商亦是當時的一位算學(xué)大家，“高級知識分子”。周公也經(jīng)常和他講論算學(xué)。這一天周公與商高又見了面，行一番“吐、握”之事，彼此按周禮躬讓一陣，就開了講。

　　周公很虛心地向商高請教：“我聽說，大夫很精通數(shù)的藝術(shù)。是不是請您談?wù)�，古代伏羲是怎樣確定天球的度數(shù)的？天是沒有一種梯子能登攀得上的，地也無法用尺子來測量。因此我很想問問您，這些數(shù)字是從哪里來的？”

　　商高施了一禮，回答說：“數(shù)的藝術(shù)是從圓形和方形開始的。圓形出自方形，而方形則是用矩（帶邊的丁字尺）作出來的。而矩的制作出于‘九九’乘法表。一個矩形沿對角線對折起來，如果勾長三單位，股長四單位，那么弦長一定是五單位。昔日大禹治水，就是用這樣一些方法。”

　　周公聽了很感嘆，又接著說道：“數(shù)這門藝術(shù)真是了不起��！我想再請教應(yīng)用矩的道理。”

　　這里的矩，是一種工具，所謂“不以規(guī)矩，不成方圓”，有點像現(xiàn)在的丁字尺。

　　商高一聽到這話題，更來了勁，不由得侃侃道來：

　　“把矩平放在地上，可以用繩子設(shè)計出平直的和方形的工程。把矩豎立起來，可以測量高度。倒立的矩可用來測量深淺，而平放的矩則可用測出距離。

　　“讓矩旋轉(zhuǎn)，可以畫出圓形；把幾個矩合在一起，可以得到正方形和長方形。”

　　接著，他又談到了天和地：

　　“方形屬于地，而圓形則屬于天，所以天是圓的，而地則是方的。方形的數(shù)是標準，從方形的數(shù)可以推出圓形的大小來。

　　“天像一個笠子。天的顏色是藍的和黑的，地的顏色是黃的和紅的。可以用一個按照天的數(shù)制成的圓盤來表示天，朝上的一面像外表面一樣，是藍色和黑色的；朝下的一面像內(nèi)表面一樣，是紅色和黃色的。這就是天和地的形象再現(xiàn)出來了。”

　　商高隨后又發(fā)表了一番議論：“對地有所了解的人是聰明人，而對天有所了解的人則是圣人。‘矩’和‘數(shù)’結(jié)合起來，就是指導(dǎo)和統(tǒng)治萬物的東西。”

　　周公聽得都入了迷，隔了好一會才回過神來，不由得感慨地說：“這確實是太妙了。”

　　這一段記在《骨髀算經(jīng)》上的故事，大約已經(jīng)有三千年左右了。這說明人們很早就認識了幾何圖形。最早認識的，就是正方形和圓形。而且在周朝以前，就有了車輛，所以當時不但認識了圓，而且能造出圓。

　　這商高確實了不起！他不但認識到勾三股四弦五，而且還是個天文學(xué)家，有了天圓地方、天像個笠子蓋在地上這樣一種初步認識。古代的許許多多數(shù)和形的知識就是從天文觀察和測量中得來的；古時許多天文學(xué)家就是數(shù)學(xué)家，而數(shù)學(xué)家又同時是天文學(xué)家。

　　商高大夫還提到大禹的事。其實，太史公司馬遷也說過，夏禹治水時，是“左準繩，右規(guī)矩”。

　　你瞧瞧，咱們這位禹王爺不但運籌帷幄、指揮策劃，而且還是位高級水利工程師，左手拿著水準工具和繩子，右手帶著規(guī)和矩去測量放線。真是事必躬親，身體力行。

　　不過，戰(zhàn)國的一位學(xué)者，把這規(guī)與矩的發(fā)明推得更早：“古者，倕為規(guī)、矩、準、繩，使天下仿焉。”

　　這“倕”，是傳說中距今四千五百年黃帝時的能工巧匠。

　　不管怎么說，反正人們對這方面的認識是夠早夠遠夠先進的了。而所有這些發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，也都是與生產(chǎn)的不斷發(fā)展，文明的不斷進步、一代一代人的不斷繼承緊密聯(lián)系的。

　　比如說，20年前在湖北，發(fā)現(xiàn)了一批幾十萬年前的舊石器。其中的“石核”，就是經(jīng)過人工打擊而成的球狀石器。古人正是從這樣一些活動中，逐漸形成了幾何觀念。

　　而六七千年前古人所做的陶器，更有許多的類型，有尖底瓶、筒狀的器皿、盤、大小不等的球、紡輪，等等。這說明那時已具有了圓、球、圓柱、圓臺、同心圓等等幾何觀念。

　　讀者如假日有空，倒真可以到西安半坡、山東大汶口這樣一些遺址去看看，憑吊一番先民們的豐功偉績，藝術(shù)修養(yǎng)。那陶器上的幾何圖案確實描畫得簡練生動，抽象概括，而且有著很好的對稱美，倒不是今天的每一個人都能畫出來做出來的。

　　咱們?nèi)A夏的先民們在黃河兩岸創(chuàng)造著這一切，那兩河流域的巴比倫人和尼羅河畔的埃及人，也同樣勤勞辛苦，發(fā)展著自己的文明。

　　且說埃及位于非洲東北部，東臨紅海，北瀕地中海，西南是浩瀚無垠的撒哈拉大沙漠。如果不是尼羅河從北向南貫穿它的全境，埃及早就成了寸草不生的沙漠了。難怪古希臘歷史學(xué)家希羅多德把埃及稱為“尼羅河的贈禮”。

　　尼羅河是埃及人的生命源泉。他們靠耕種尼羅河每年泛濫的淤土所覆蓋的田地謀生。肥沃的淤泥給他們帶來了豐收，同時也需要他們要有豐富的天文知識，預(yù)報洪水到來的日期。

　　泛濫后的土地年年要重新劃界，需要測量，需要計算，需要工具。這樣，初步的幾何認識就在勞動中產(chǎn)生了。

　　有關(guān)尼羅河的文明，人們知道得很早。在很長一段時期內(nèi)，埃及一直是西方研究古代歷史最豐富的寶庫。

　　說起這其中的原因，倒有點是歪打正著。埃及的法老們生前為了揚威，修建了不少廟宇；死了以后呢，更是大造墳?zāi)�，這就給后世留下了許多極其豐富多彩的壁畫和雕刻。

　　再說，尼羅河兩岸氣候異常干燥，他們留下來的許多紙草片，也就不會腐爛。要知道，這紙草片可就是那古埃及人的百科全書，記下了他們的文明和創(chuàng)造呢！

　　古埃及人的紙草片就這樣留傳下來。而西方人也一直認為那里的數(shù)學(xué)起源最早，最先進。一直到上個世紀，考古學(xué)家們在兩河流域挖出了五十萬塊刻著文字的粘土?xí)�板，這才大吃一驚，想不到巴比倫人的數(shù)字，水平更高，也更獨特。

　　這正所謂：山外有山，天外有天。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。