第二回  甲骨泥版  共創(chuàng)數(shù)學紀元

　　        竹簡紙草  同著算術(shù)春秋

　　一塊古巴比倫泥版上刻滿了畢氏三數(shù)，可惜殘缺不全，留下千古之謎。中國的陳子膽子倒確實不小，居然測量起太陽的直徑，用的僅是根竹竿！埃及的神廟，夏至時陽光能直射神像，善男信女驚異不已。

　　且說這西方學界，一直認為埃及的古代數(shù)學是希臘文明繁榮之前，水平最拔尖的，待到巴比倫的泥版問世，方知更技高一籌；更不需說他們對古華夏的數(shù)學成就一無所知了。這里先談一番巴比倫。

　　這巴比倫人居住在美索不達米亞。“美索不達亞”是古希臘語，意思是兩河之間的地方。這兩條河就是底格里斯河和幼發(fā)拉底河。

　　兩河流域最早的文明大約至少有六千多年了。這塊地方大致以今天的巴格達城為界，分為南北兩部。北部以古亞述城為中心，稱為西里西亞；南部以巴比倫城為中心，稱為巴比倫尼亞。各個民族居住在一些獨立的城邑中。

　　這南部主要有蘇美爾人、阿卡德人。美索不達米亞文明最初就是蘇美爾人創(chuàng)造出來的。

　　蘇美爾人幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字。這就是大名鼎鼎的楔形文字了。

　　上個世紀開始，考古學家們在美索不達米亞進行大規(guī)模的發(fā)掘。

　這里的房屋幾乎一直都是有土坯蓋起來的，有點像北方的干打壘。下一次大雨自然要沖毀一些，就在舊屋子上面又造新屋。這樣蓋了塌，塌了蓋，最后就形成了一個個土丘。把這些個土丘直直地挖下去，就會看到這個城市從古到今一層一層地分得很清楚，真好像一塊歷史的千層餅。

　考古學家們在這塊千層餅里細剔細篩，發(fā)現(xiàn)了五十萬塊寫有文字的粘土書板，僅僅在古代尼普爾這個地方就出土了五萬塊！

　　許多的國家，許多的博物館、文物館，那是聞風而動，千方百計各種途徑，收藏這些珍貴的文物。有時，同一塊泥版會分成幾塊，藏在不同的博物館里。

　　這些泥版有大有小。大的呢，也就和教科書差不多，小的只有巴掌那么大吧。有時書板的一面有字，有時又是兩面都有字。想必做這樣一本書也不容易，要節(jié)約用紙。

　現(xiàn)在流傳問世的，大約有三四百塊和數(shù)學有關(guān)的泥版和一些碎片。泥版上沒有什么年代的記號，學者只能根據(jù)它們在千層餅中的位置來推斷啦。他們發(fā)現(xiàn)，大部分泥版是在3000年以前的若干世紀內(nèi)制作的，前后延續(xù)有2000年左右。還有一小部分是公元前600年到公元300年間制作的。這兩部分之間留下了很大的一段空檔，正是巴比倫歷史上的一個動亂時期。

　看來，巴比倫的數(shù)學創(chuàng)立得十分迅速。而在這短暫的迅速發(fā)展之后，接下來的卻是長時期的停滯不前。

　要想破譯這泥版的內(nèi)容，可就比斷定它們的年代更難啦。一直到 1935年，經(jīng)過諾伊格爾和吐婁——當蘭的著名發(fā)現(xiàn)，人們才了解了不少數(shù)學書板上的內(nèi)容。

　　許多早期的書板，都是有關(guān)田地轉(zhuǎn)讓的計算。還有不少是一些契約文書，像帳單、收條啦、期票啦、賣貨的單據(jù)、商號和帳目等等。

巴比倫人的計算倒是挺有意思，是借助各種各樣的表來實現(xiàn)的。在數(shù)學泥版中，大約有200塊是表，有乘法表，倒數(shù)表，平方表和立方表，甚至還有指數(shù)表。

　接下來，咱們拿一塊巴比倫泥版來試看破譯一下，和大伙一起暫時當一次考古研究者。當然，現(xiàn)在我們早已就知道一些謎底了，猜起來可就要比那些先驅(qū)者容易多了。

　　我們現(xiàn)在看到的就是一塊古代巴比倫泥版了（見下圖）。正確點說，是它的一個復制品。左面是正面，右面是反面，兩面都刻有字。

　　首先我們數(shù)一數(shù)行數(shù)，一共有24行。每一面呢，都有兩列，我們把它分別叫做第Ⅰ列（左邊的）和第Ⅱ列。
　　現(xiàn)在我們從第1列開始正式考察。

　　它的第一行是一個垂直的楔形，我們把它叫“直楔”。第二行就是兩個直楔了。第三行呢，是三個。其實這些記號咱們都碰過面，就是沒碰過面大家也能猜出來：不就是1、2、3嘛！

　順下來的幾行也很容易，就是從4到9，只要數(shù)一數(shù)直楔的個數(shù)就成了。不過大家看到它們有時是三個一組的，這么一來就更容易讀了。比如 8，寫成三層，兩層各有三個直楔，一層有兩個，一眼望過去，就知道是多少。這開頭的九行倒很順利，咱們破譯初步成功。

　再往下看，到9后面，我們發(fā)現(xiàn)了一個新記號：“■”，我們把它叫做“角楔”。

　　我們當然首先想到這應(yīng)該是 10，不過還要謹慎一些，看看能不能往下順。如果在下面的幾行中把它看作10也正確，那么猜想就對了。

　接下去的幾行確實令人很高興，沒費周折，我們可以認出 11，12，13，……，18。再往下應(yīng)該是19，從規(guī)律和書寫的情況來看，肯定是19，只不過有一些涂改的痕跡，可能是這位巴比倫人寫得有點不耐煩了，筆劃太多。

　　再往下也沒什么難懂得的，是20，30，40和50。

　這么一來，我們就破譯出第Ⅰ列，這一列順序?qū)懗隽?到20，然后是30，40，50。直楔代表l，而一個角楔代表10。

　　現(xiàn)在咱們要擴大戰(zhàn)果，把我們的發(fā)現(xiàn)用到第Ⅱ列上。

　　開頭的幾行當然暢行無阻，是 9，18，27，36，45，54。咱們把它們和第Ⅰ列中同一行的數(shù)一聯(lián)系，竅門就看出來了，這不就是九的乘法表嘛！

　　再往下，第七行、第八行當然應(yīng)該是63和72。但是第七行寫的是：

　　那右邊一塊堆的三個直楔自然是3，那么60又在哪呢？好像把最左邊的那個大一點的直楔認作是60才妥當。

　　這樣看來，同樣都是直楔，放的位置不同，表示的數(shù)也不一樣；這正是前面說過的位值記數(shù)法。不過咱們在這向左移一移，不是變成 10，而是 60了！這是不是“逢六十進一”呢？

　　這泥版上的63，我們用現(xiàn)在的符號寫一下，就是1，3＝１×60＋3＝63。記住，我們這里用逗號把兩個數(shù)符分開，表示兩個數(shù)位。就像十進制中的個位和十位一樣。只不過“個”位的單位當然是１，這里的“十”位的單位可就是60了。

　　下面可就勢如破竹了，咱們可以把它們改寫成：l，12＝1×60＋12＝72；

　　1，21＝1×60＋21＝81；

　　1，30＝90；1，39＝99；

　　l，48＝90；1，57＝117。

　　所有這一切都說明咱們一開始就猜對了；這塊泥塊果然是九的乘法表。

　　咱們當然把它改寫為2，6＝2×60＋6＝126，這 126，不就是 14 乘以 9的答案嘛！

　　以下的幾行當然不難改寫成：

　　2，15＝2×60＋15＝135，

　　2，24＝144，

　　2，33＝153，

　　2，42＝162，

　　2，5l＝171。

　　值得注意的是，我們需要把逗號右邊的那些數(shù)，比如 15 啦，24 啦，33啦等等，看作是一位數(shù)！是巴比倫人用的六十用制中的個位數(shù)。盡管這里用十進制表示出來是兩位，但在六十進制中，是一位，是用一個完整的獨立的符號表示的。

　　所以，六十進制中記數(shù)的符號一共要有從0到59這六十個符號。而十進制位值記數(shù)法，則是用從0到9這十個符號。

　　不難理解，b進制記數(shù)法就應(yīng)該用從0到b—1這b個記數(shù)符號。比如現(xiàn)在電腦中常用的二進制，只用0，l這兩個符號。十六進制也是電腦中常用的記數(shù)法。只用 0 到 9 這十個符號就不夠了，所以又添了 A、B、C、D、E、F這六個符號表示10到15這六個數(shù)。因為這六個數(shù)還不夠資格向前進位，只能在低一位上用一個符號表示出來。

　　比如15，十六進制中就寫成F。而 2B這個十六進制數(shù)，就等于2×16＋ll＝43。

　　不過看起來好像巴比倫人只有從1到59這五十九個符號，少了個0。我們仔細看一下2，51后面的那個數(shù)就可以知道，它是三個直楔，后面空了格。

　　想必那空的一格表示0，這樣這個數(shù)就是3，0＝3×60＋0＝180。下面的幾行也很容易破譯。咱們就請朋友們自便吧。

　　像上面一樣，1，25，30 這個巴比倫數(shù)就是個三位數(shù)，其中的 25 和 30都看作是一位。它應(yīng)該是

　　不過因為巴比倫早期用空格表示零，這空到底是空一格還是空兩格，還是不空格，就比較模糊。所以，l，25，30也可以看作是1，25，30，0或者是1，25，30，0，0。

　　你瞧，把這個數(shù)向左移動一位，就擴大了60倍。這也與十進位差不多。

　　十進位中，一個數(shù)向左移動一位，就擴大了10倍。60 和 10 分別是六十進制和十進制中的“基”。所以，把一個二進制數(shù)

　　向左移動一位，就擴大2倍；把一個十六進制數(shù)向左移動一位，就擴大了16倍。

　　因為用空格表示零比較模糊，所以把一個數(shù) 1，25，30 看作是 l，25，30，0還是1，25，30，0，0就要根據(jù)上下文來確定。

　　在后期的泥版中，巴比倫人也偶爾用一個記號表示零，這樣就比較方便了。

　　這六十進位與十進位的明顯差別首先自然是基底不一樣，一個是60，一個是10。

　　當然，每種基底都有自己的優(yōu)點和缺點。以 60為基底的只有很少幾位就能寫出很大的數(shù)，這在上面大家已經(jīng)看得很清楚；而以二為基底的二進制數(shù)，我們以前的已經(jīng)說過，同一個數(shù)用二進制比用十進制，位數(shù)要多得多。

　　不過這基底較大，缺點也很明顯。比如說二進制，只有兩個數(shù)碼就成；六十進制呢，得用六十個不同的符號，可真夠難記的。

　　這且不說，尤其難的是它的乘法口訣。十進制中叫“九九表”，因為它有九九八十一句口訣。為什么要九九八十一句呢？因為十進制中一位數(shù)只有從1到9九種情況（不連零）。

　　問題到了六十進制那地方，可就麻煩大了。六十進制中一位數(shù)有59種情況！所以它的乘法口訣共有59×59句！近3600句！太難記了。

　　人們想到可憐的巴比倫學童們背這么一張 59×59 的大表可能會不寒而栗�？磿�的同學大概也很慶幸自己沒有出生在偉大的巴比倫時代，盡管那兒有舉世聞名的空中花園。

　　有過好在那時已經(jīng)有了各種類型的大量數(shù)表，不必要再去死記硬背了。利用數(shù)表來進行計算正是巴比倫的特點，巴比倫的創(chuàng)造。

　　在巴比倫的泥版中有許多“倒數(shù)表”。這所謂倒數(shù)表，也就是一些分子為1的分數(shù)。不過在他們那兒是用六十進制表示的。

　　這樣一來，巴比倫就能做整數(shù)除以整數(shù)的除法了。比方說一個整數(shù)要除以8，那就把它乘以1/8，查一查倒數(shù)表，看看1/8能化成什么樣的六十進分數(shù)。

　　這十進分數(shù)在我們的十進制記數(shù)法中，實際上就是十進的有限小數(shù)。所以，六十進分數(shù)在六十進位制中也就是有限小數(shù)。這樣，化除法為乘法一個小數(shù)，當然簡單了。

　　巴比倫的數(shù)表真真是數(shù)不盡，道不完。他們還有表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。

　　遇到無理數(shù)，當然不能用有限的六十進制表示啦，不過在那會兒倒算得挺準：1．414213……當然，他們哪能知道 是無限不循環(huán)小數(shù)呢？那時各個地方的人似乎都認為世界上只有有限位的小數(shù)。

　　當然，這在巴比倫人那里還是用六十進制分數(shù)表示的：

　　卻說這巴比倫的數(shù)學泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提問式的內(nèi)容了。這些問題的一個個解決，往往反映了他們的代數(shù)方面的水平。

　　早期巴比倫的代數(shù)相當發(fā)達。這方面的一個著名問題，就是求出一個數(shù)，讓它和它的倒數(shù)的和等于已知數(shù)。

　　用現(xiàn)代的記號來說，就是要求出這樣一個x，使得

　　由于巴比倫人不知道負數(shù)，所以負根是略去不提的。

　　這樣看起來，巴比倫人實際上知道二次方程根的公式。當然，我們這里看到的二次方程是特殊了點，常數(shù)項只是1。

　　不過，有好些問題是打算說明二次方的一般解法的。對于更為復雜的代數(shù)問題，甚至用到了等量代換，把復雜的化成簡單的！

　　巴比倫人很喜歡用文字代表未知量，把代數(shù)方程用語言敘述并且還用語言求解出來。他們常常用長、寬、面積這些了來代表未知量，好像我們求解方程時，把未知量設(shè)為X、Y等。

　　比如說，在一塊泥版中有這么個問題：

　　“長乘以寬得到面積10；現(xiàn)在我把長自乘，得到的也是面積。再把長與寬的差平方，然后乘以9，得到的還是面積10。問長和寬是多少？”

　　這個問題翻譯成現(xiàn)在的寫法就是

　　這樣的方程組咱們初中生解決起來不費事，不過，你要想想這可是三千多年前的事（公元前1600年），可真夠偉大的！

　　這古代的巴比倫人不但在記數(shù)、算術(shù)和代數(shù)方面技高一籌，幾何方面的知識也不賴。從公元前2000年到1600年的一些泥版中，可以知道他們已熟悉了長方形面積、直角三角形面積的計算。還有一些簡單立方體的體積也已經(jīng)能算出來。

　　對于圓，全世界的文明都對它有濃厚的興趣。這里關(guān)鍵的一點，就是對圓周率的認識。

　　不過，巴比倫在幾何方面的造詣可遠不止這么些。

　　1945年，有兩位學者對放在哥倫比大學的一塊數(shù)學泥版解讀一番，發(fā)現(xiàn)了更令人吃驚的事情。這塊泥版的編號叫變普林版322號。

　　這塊泥版上一共列舉了15行數(shù)，經(jīng)過認真地研究這才發(fā)現(xiàn)：原來每一行都是畢氏三數(shù)！什么叫畢氏三數(shù)呢？也就是能構(gòu)成直角三角形邊的三個整數(shù)。比如像3、4、5，就是商高說過的“勾三股四弦五”。還有5、12、13等等。

　　但是這普林頓322號版上給出的15組畢氏三數(shù)可是了不得！很大，現(xiàn)在咱們寫出幾組：

　�。�120，119，169）（3456，3367，4825）

　　（4800，4601，6649）（6480，4961，8161）

　　其中有一組更大：（13500，12709，18541）

　　這么大的數(shù)決不可能是用一次次試算求得的。人們猜測這些古人是不是掌握了計算畢氏三數(shù)的一組公式：

　　這里，x與 y 互素，有偶性也不同，并且 x＞y。這樣，a、b、C 就構(gòu)成畢氏三數(shù)了。

　　這組公式可是在普林頓泥版的一千多年后，才作為一項偉大的成就出現(xiàn)的呢！

　　人們還猜測，這些古巴比倫人是不是當時就得知了“畢達哥拉斯定理”（也就是勾股定理）。要真是這么回事，那可就是把畢代定理提前1500年發(fā)現(xiàn)了！

　　不幸的是，這普林頓322號是個殘品，這塊書板的右邊中間有一個很深的缺口，左邊掉下的一塊也下落不明。這左邊破的地方還有現(xiàn)代膠水粘過的痕跡。大概是這塊書板不知怎么破了，人們嘗試著用膠水把它們粘在一起，但最后還是脫了膠。更糟糕的是這掉下的一半都不知弄那去了。也許是想要這塊泥版的人太多，你爭我搶弄壞的吧？也許是原來不當它回事，東扔西丟搞掉了吧？說不定也有可能還蘊含著一個驚險曲折的傳奇故事。反正在大洋彼岸的我們，也只能這么瞎猜猜了。

　　巴比倫人的天文學知識很豐富，三千年前就有了系統(tǒng)的觀測資料。他們的天文學家甚至能把新月和虧蝕出現(xiàn)的時間準確地算到幾分鐘之內(nèi)。

　　巴比倫古代有的是陰歷。這陰歷的一月是按月亮的運行周期定的，所以有的月份是29天，有的月是30天，全是根據(jù)新月出現(xiàn)的情況來定。這樣，哪一個月定29天，哪一個月定30天，計算起來就復雜啦！

　　再者，陰歷的月和一年的時間長短也不能很好配合。12個月就是都照30天算，也還只有360天，何況這其中還有不少是29天的，這就和一年的天數(shù)差得多了。所以要根據(jù)情況，必要時在一年中插進一個月，變成13個月。這就是陰歷的閏月。如果19年里插進7個月，也就是19年7閏，那么月和年就能配合起來了。

　　這和我們中國用的農(nóng)歷是完全一樣的。正所謂“英雄所見略同”吧。

　　使我們感興趣的還有他們建造過的許多巨大的天文臺。這種建筑通常是由7個梯臺組成的，一個造在另一個的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天空。每一個梯臺上都涂有一種顏色，代表七個星球——太陽，月亮，金、木、水、火、土星。也許，這就是傳說中巴比倫造的通天塔吧。

　　用這種建筑形式建造的宮殿，它的宏偉、樸素、勻稱和美觀是令人驚訝的。誰敢說，建造這些宏大的建筑不需要幾何知識呢？

　　說了巴比倫，下面要把尼羅河畔的事由道一個明白。

　　這古埃及人得天獨厚，在尼羅河畔沐浴著陽光幸福地成長。當美索不達米亞的統(tǒng)治權(quán)在各個民族間你爭我奪，迭經(jīng)更替的時候，埃及的文明卻在尼羅河的搖籃里獨自發(fā)展著。

　　埃及的文明源自何處今天已難以考證，不過可以肯定的是，在公元前5000年之前，就存在著。

　　在今天埃及這塊土地上，一開始有許多的州。每個州都有自己的名稱、都城，軍隊、政權(quán)、方言和圖騰，儼然是一個個獨立的小王國。

　　經(jīng)過長期的戰(zhàn)爭和兼并，到公元前4000年代的中期，形成了兩個較大的王國。兩國以孟斐斯為界，以南的尼羅河谷地為上埃及，以北的尼羅河下游三角洲平原為下埃及。

　　公元前2100年左右，上埃及國王美尼斯征服了下埃及，實現(xiàn)了全埃及的統(tǒng)一。美尼斯把都城遷到上下埃及接壤的孟斐斯，并把它稱為“白城”。以后埃及歷史的主要時期就以統(tǒng)治的朝代來命名，而以美尼斯為第一王朝的創(chuàng)建人。

　　埃及文化在第三王朝（公元前2500年左右）到達頂峰，當時的統(tǒng)治者建造了至今聞名的金字塔。一直到公元前332年，亞歷山大征服它以前，埃及文明都按著自己的道路延續(xù)著。從此以后，埃及的歷史和數(shù)學就融入到希臘文明中去了。

　　古代埃及文明的歷史延續(xù)了3000多年，是世界文明發(fā)祥地中的一個。古代的埃及好像“書”沒有“同文”，他們有幾套自己的文字，最早的是象形文字，這些都和咱們中國一開始的情況差不多。公元前2500年左右，開始用一種所謂“僧侶文”來作日常的書寫。

　　他們又是怎么書寫的呢？大家或許都知道就是用墨水寫在紙草片上。紙草是尼羅河下游的一種植物，又叫紙莎草，形狀像蘆葦。古代埃及人把這種草從縱面剖開，壓平后用來寫字。同時，一般是把許多條紙草片粘在一起，連成長幅，卷在一個桿子上，形成卷軸（倒很人些象我們的卷軸書畫呢�。�，所以這些紙草文書又叫紙草卷。

　　古埃及的氣候干燥，所以紙草卷不會霉爛，這樣就能保存下來，留給后世；但正因為也太干了點，所以紙草片又容易干裂成碎末，這樣保存下來的又不多。正所謂“成也蕭何，敗也蕭何”，老天爺弄得也挺為難的。

　　留給后世的紙草文書那可是大不一樣了，恒溫恒濕，高精控制，比總統(tǒng)住的還高級。這里面有數(shù)學內(nèi)容的主要是兩批。

　　一批是在 1893 年由俄羅斯收藏家哥列尼舍夫所收購，1912 年轉(zhuǎn)為莫斯科美術(shù)博物館所有，所以叫莫斯科紙草卷。

　　一批是1858年由英國發(fā)現(xiàn)的，現(xiàn)存英國博物館。因為它的作者阿摩斯，是公元前1700年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯紙草文書。

　　據(jù)這位僧人記載，這份紙草文書的內(nèi)容是從公元前2200年第十二王朝時代的紙草文書上轉(zhuǎn)錄下來的。他在這份紙草文書的開頭寫下了這么句話：“獲知一切奧秘的指南。”

　　數(shù)學紙草卷都是在古埃及政府和廟宇里工人的紀錄員們記下的作品。在萊因德紙草文書里有 85 道數(shù)學問題和解答，莫斯科紙草文書里有 25道。雖然這些數(shù)學問題“解答大全”是在公元前1700年左右編寫的，但所含的數(shù)學知識是埃及人早在公元前3500年就已經(jīng)知道的，而從那時起直到希臘人征服他們以前，他們也還是沒增加什么新內(nèi)容。

　　埃及的數(shù)學就這么平靜地流淌了三四千年，好像尼羅河停止不動了。不過，當時的生產(chǎn)水平也就那么高，當時的需要也就那么多。紙草卷上的那點數(shù)學也就足矣！看來不但時勢造英雄，時勢也成就科學。

　　從紙草卷上來看，古埃及還學會用數(shù)學來管理國家和宗教事務(wù)，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，征收按田畝估出的地稅，計算修房蓋屋和建防御工程所需要的磚塊，再算算釀酒要多少谷物，等等，數(shù)學一開始就是從實際需要發(fā)展起來的，這恐怕是全球都適用的公理。

　　古埃及人創(chuàng)造了一套從一到一百萬的有趣的像形數(shù)字記號。咱們前面已見識過：1是垂直的一根木棒，10是一副腳鐐（有人把這解釋為放牛時用的彎曲工具），100 是一卷卷起來的測量繩（可能當時每卷測繩都是 100 個長度單位），1000是朵蓮花。

　　一萬呢，是個手指頭，十萬就畫成小蝌蚪。最有趣的是一百萬，畫了一個舉起雙手表示吃驚的人（這么大的數(shù)確實也令我們吃驚，古埃及好像是最早寫出這么大數(shù)的人）。

　　這套數(shù)字符號是以10為底的，但不是進位制的。書寫的方式呢，也是從右向左。咱們在上一回已經(jīng)看到了，故且放下不提。

　　埃及的算術(shù)具有加法的特征，不但加法是加，而且乘法也是用疊加的方法做出來的。

　　現(xiàn)在我們當一回古埃及人，做一下26與33的積，看看究竟是如何疊加的。

　　因為 26＝16＋8＋2，所以我們只要把 33 的這些倍數(shù)（2 倍、8 倍、16倍）加起來就行了。而2、8、16等等，都是2的乘冪，所以只要對33逐次加倍就可能得到所求的倍數(shù)。

　　具體做法如下：

　　把那些帶有星號（“*”）的33的倍數(shù)加起來，就得到答案858。

　　做除法呢，就是連續(xù)減去加倍。

　　比如對753 除以 26，可以連續(xù)地把除數(shù) 26 加倍，一直到再加倍就超過被除數(shù)753為止。其程序如下：

　　126252410482081641628

　　右邊的一列分別表示26的 1倍、2倍、4 倍、8倍、16倍，26 的32 倍已經(jīng)超過被除數(shù)753，所以就沒有列出。

　　因為

　　753＝416＋337

　　＝416＋208＋129

　�。�416＋208＋104＋25

　　這樣我們又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25減式中一共有16＋8＋4＝28個26，所以商就是28，余數(shù)為25。

　　有人會想了，如果一個除法中，商不是28，能不能由左邊的那列數(shù)：1、2、4、8……，也就是2的各次乘冪，相加得到呢？

　　回答是肯定的。因為任何一個整數(shù)，都可以表示成2的各次冪的和。為什么呢？這是因為任何一個整數(shù)都可以用“除二取余”的方法化成二進制數(shù)。

　　一進制數(shù)不就是2的乘冪的和嗎？

　　埃及的乘法和除法在計算過程中不僅不需要乘法表，而且便于用算盤。古埃及的乘法程序不斷發(fā)展，到后來就把上面講過的疊加法改變?yōu)?ldquo;雙倍和折半法”。

　　假如我們還是以33乘以26，那么就可以連續(xù)地減半26，并對33連續(xù)加倍：

　　然后把倍列中的那些與半列中奇數(shù)相對應(yīng)的33倍數(shù)加起來，即 66＋264＋528，便得到乘積858。

　　這其中的道理其實只要把26化為二進制數(shù)，就能理解。

　　今天電腦中的乘法就是用這種方法進行的，因為電腦中數(shù)的表示都是二進制。相信朋友們自己能夠解決這個問題，我們就不多談了。

　　埃及人的分數(shù)記法也比較獨特，還比較復雜。比如在像形文字中：

　　大家可以看到這卯形（■）的下面是個整數(shù)，所以卯形■加在整數(shù)上就表示是一個幾分之一的分數(shù)，也就是單位分數(shù)。

　　其他的分數(shù)就用單位分為九的和來表示

　　在萊因德紙草文書中有個數(shù)表，把分子為2而分母為5到101的奇數(shù)的這樣一些分數(shù)，表達成單位分數(shù)的和：

　　利用這張數(shù)表，就能把其他一些分數(shù)寫成分子為1的單位分數(shù)之和，埃及人利用單位分數(shù)來進行分數(shù)四則運算。

　　這分數(shù)運算這么一來很繁瑣，恐怕這也是尼羅泥畔的算術(shù)和代數(shù)沒有達到更高水平的原因吧。

　　在萊因德紙草文書的85個問題中，許多都是用來計算面包的分法，啤酒的深度，牛和家禽的飼料混和比例，還有谷物貯藏等的。

　　對于其中出現(xiàn)的未知量，他們用純粹算術(shù)的方法，沒有解方程這種想法。

　　有些是用后來在歐洲稱為“試位法”的方法來解決的。

　　當然，埃及人當時并沒有用未知量、方程，而是用文字去敘述解的過程的。所以這基本上只能是算術(shù)。

　　在萊因德紙草卷中，有一個問題（第79號問題）很有趣，對它的解釋也五花八門。在這個問題中，出現(xiàn)了一組奇妙的數(shù)據(jù)。我們把這個問題寫在下面：

　　一個人的全部財產(chǎn)

　　房子  7

　　貓    49

　　老鼠  343

　　麥穗  2410

　　谷物  16807  19607

　　眼睛尖的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)是7的前5次冪，最后是它們的和。這樣，人們一開始就認為這不過是一張形象一點的7的乘方表。

　　然而有位歷史學家康托爾（不是那位數(shù)學家）在 1907年對此給了一個更精彩也更合理的說法。

　　他首先聯(lián)想到中世紀一位意大利數(shù)學家斐波那契在他的《算盤書》中談到的一個問題：“有七個老婦人走在去羅馬的路上，每人有七匹騾子；每匹騾子馱七條口袋；每只口袋裝七個大面包；每個面包帶七把小刀；每把小刀有七層刀鞘。在去羅馬的路上，婦人、騾子、口袋、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”

　　這個問題后來在英國還演變成了一首童謠：

　　我赴圣地愛弗西，

　　途遇婦女數(shù)有七，

　　一人七袋手中提一袋七貓數(shù)整齊，

　　一貓七子緊相依，

　　婦女、布袋、貓與子，

　　多少同時赴圣地？

　　這么簡單的一聯(lián)想，思維的火花頓時迸出光芒，康托爾很自然地把萊因德79號問題解釋成：“一份財產(chǎn)包括七間房子；每間房子有七只貓；每只貓吃七只老鼠；每只老鼠吃七個麥穗；每個麥穗產(chǎn)七克谷物。在這份財產(chǎn)中，房子、貓、老鼠、麥穗和谷物，總共有多少？”

　　當今天的孩子在唱英國人的那首有趣的繞口令時，不知是否知道，這也許還是三千七百年前埃及人留傳下來的呢！

　　埃及人的幾何又是怎樣呢？尼羅河畔自然不能缺少幾何；而談到幾何，自然又想到巍巍屹立的金字塔。

　　公元前2900年建造的胡夫金字塔最大，它原高為146．5米（現(xiàn)在還剩下137米），用 2000000塊石頭組成，每塊平均重2．5噸，非常仔細地砌在一起。正方形的底面每邊長233米（現(xiàn)在227米）。

　　此外金字塔的四個面正對著東南西北，與正北的偏差也只有3′左右。這么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有嘆服也！不過有人認為，莫斯科紙草文書的第14個問題，更是一座最偉大的金字塔。

　　在這個問題中，要你求一個截去了頂?shù)慕鹱炙�，也就是現(xiàn)在常說的棱臺的體積。當然，它接著就告訴你上、下兩個正方形的邊長，這個截頂金字塔的高。然后就教你怎么算了。

　　從這些埃及人的偉大教導中，我們竟得出了一個連現(xiàn)代人都感到困難的四梭臺計算公式：

　　這里當然是用了現(xiàn)代的記法，h代表高，a、b分別是上、下正方形的邊長。

　　這也許是埃及幾何里最了不起的一項成就了，因為它完全正確。

　　不過在計算比較簡單的四邊形的面積時，卻有一個明顯的，令人迷惑不解的錯誤。

　　在一個廟宇的墻上就刻有一張捐獻田地的表，這些田地一般都有四邊，我們用a、b、c、d表示它們的長。并且，a、b兩邊相對，C、d兩邊相望。

　　不過，這一次埃及人給我的教導令人失望，墻上刻出的這些田地的面積是：

　　這個公式用來計算長方形時是完全正確的，但用來計算一般的四邊形面積就不對了。如果這個四邊形的四角與直角相差太大，那誤差就非常明顯了。

　　有一個流傳很廣的說法；古埃及的拉繩人（測量員），在繩子上打結(jié)，把全長分成3比4比5的三段，然后用來構(gòu)成直角，或者構(gòu)成直角三角形。

　　這個美好傳說在紙草文卷和廟宇壁刻上都找不到痕跡。

　　但是找不到并不能說他們對勾股定理沒有認識。應(yīng)當相信，許多普遍性的東西在各個文明發(fā)源地都會有發(fā)現(xiàn)，有表現(xiàn)的。

　　所以有人建議，如果地球人發(fā)射宇宙飛船去尋找外星人的話，不妨用勾股定理去作勾通的名片，交流的話題。當然，這送去當禮物的勾股定理有什么文字書寫，用什么話去說都沒什么用，外星人誰懂得你地球上的一套信息符號呢？所以有人就又建議把這勾股定理畫成一幅一看就懂得的幾何圖，行不行就是兩說了。因為外星人有沒有更是兩說呢。

　　這d，自然是直徑。這就等于取圓周率為3．1605，夠精確的了。

　　尼羅河定期泛濫，這樣，觀察好天象，研究好歷法可是件大事，這可真正是關(guān)系到能不能得到食物的事情。古埃及靠觀察天狼星來算得一年的日子。他們把一年定為365天，分為12個月，每月30天，年末外加5天。不過他們的天文學比起巴比倫人來，要遜色多了。

　　不過，埃及人在天文和幾何方面有另一項好記錄，他們造的神廟，能使一年中白天最長的那一天（也就是夏至），陽光可以直照入廟宇，照亮祭壇上的神像。小民們不知事情緣故，自然是驚恐地或驚訝地伏在神像下多叩頭了。

　　兩邊文明一一敘，讓咱們再回到華夏古國。

　　卻說這周公、商高的一番對話，自然使我們好激動。不過大家對只有“勾三、股四、弦五”這點內(nèi)容當然不夠滿意。3、4、5 這一組數(shù)畢竟只是最好找的畢氏三數(shù)。

　　那么，商高們似乎并不僅僅停留在勾股定理的一些特殊情況。

　　《周髀算經(jīng)》中在擺談了一陣周公、商高的懇談后，又出現(xiàn)了一段榮方和陳子的問答。這榮方與陳子是何年何月何處人氏，典籍都沒有交代，想必不是名人，不像周公旦那樣名聲遠播。但陳子的一席話卻是有歷史紀念碑般的作用，不可小覷。

　　陳子曰：“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日。”

　　陳子是在說，你想求出“斜至日”（弦），只要把勾股分別平方（自乘），然后相加，再對其開平方，也就是說：

　　這樣，我們的勾股定理就不限于3、4、5這些具體情況，而是有著對任意直角三角形都適用的一般形式。因此，盡管我們古人對勾股定理并沒有像希臘的畢達哥拉斯那樣去證明，但卻要早幾百年發(fā)現(xiàn)。

　　這《周髀算經(jīng)》是中國最古老的算書，大約在2000多年前寫成，主要記述的是周代的一些數(shù)學、天文知識。

　　“髀”的原意是股或股骨，所謂“髀者，股也”，就是這個意思。這里是用來指測量太陽影子的“表”了，也就是標桿。想必當初一開始用的標桿就是動物的一段股骨。

　　“正晷者，勾也”，這是陳子對“勾”的說法，意思是影子的長。所以，這陳子得出勾股定理，是從測量太陽影子的工作中取得的。知道了標桿的長和影子的長，就能把“斜至日”，也就是影子的未端與標桿的頂端的那一段算出來。

　　陳子教導榮方說，夏至的時候到南面16000里的地方，冬至的時候南去135000里，正中午時候立一根桿子，就沒有影子了。

　　竹筒測日徑陳子的膽子倒確實不小，他居然測量起太陽的直徑！用的方法也很先進。“即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空”，就是說用根空心的竹桿，直徑一寸，長八十寸（八尺），朝太陽去看，竹筒的那個圓（“空”）正好把“日”滿滿地套住，不留一點空。這也許就是“管窺蠡測”中的管窺吧。

　　接下來是用比例來計算日徑。竹筒口徑與筒長之比是 1：80，當時認為觀察者至太陽是100000里，如果沒日徑為D，那么：

　　D：100000＝l：8，

　　這樣得到：D＝1250里。

　　由于日地距離取十萬里誤差太大，當然這里的日徑也與實際的相差太遠，不過我們更應(yīng)該為陳子的勇氣，陳子的觀測方法和計算方法而驚嘆不已。

　　用比例來計算，來測量，遠在三千年的中國就有這樣先進的方法，真是太了不起了。

　　當時在《淮南子》等書中也有這方面的內(nèi)容：“若使景（就是影子）與表相等，則高與遠等也。”這“表”也就是前面說過的標桿。

　　這可是個很有用的測量高度的方法。比如說我們現(xiàn)在想測量一下電視塔的高度，怎么辦呢？可以拿一根標桿，立在太陽底下，等影子和標桿的長度一樣了，趕緊再測量電視塔的影子，那么這電視塔影子的長度，就是它的高度了。

　　這里面用的就是相似三角形對應(yīng)線段成比例的知識。所以同學們自然會想到，倒不必一定要等到影子和標桿一樣長再動手，任何時候只要有影子就都可進行啦！

　　這影子的研究可是重要的很。在古代，沒有鐘，也沒有其他天文觀察儀器，全靠看太陽投射的影子來確定時間和節(jié)氣了。用來計算時間的，叫日晷，根據(jù)日晷的影子來確定一天的時間。用來定出節(jié)氣的，就是“髀”了，也就一根標桿，根據(jù)一年里這根標桿的影長，來定出二十四節(jié)氣。

　　《周髀算經(jīng)》中的“髀”是八尺長。這些古人首先測出影子最長的冬至和影子最短的夏至（當然是中午時分的影子），分別是一丈三尺五寸和一尺六寸。

　　以冬至到夏至共有12個節(jié)氣，用12去除冬至與夏至的影長的差：

　　這就得到了從冬至開始，每個節(jié)氣影長減少的長度，正所謂：“八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分、六分分之一。”

　　這樣，每個節(jié)氣逐次相減，到了夏至以后又每個節(jié)氣逐次相增，《周髀》中就列出了中午時分，八尺“表”（即標桿）的影長表。

　　同學們自不妨也弄個標桿樹在自家門口，具體地測一測冬、夏至和其他節(jié)氣的影子，倒是件增長學問的好事情。

　　《骨髀》中給出的這些節(jié)氣影子的長度，實際就是一個等差數(shù)列。更值得注意的是，這其中出現(xiàn)了分數(shù)。

　　您瞧，不但有分數(shù)，而且有角度，還出現(xiàn)了各種帶分數(shù)。從 3500年前的阿摩斯草紙卷到十五、六世紀的歐洲，西域之人一直可憐而不幸地用著古埃及人所用的分數(shù)，腦袋里弄得昏天黑地�？墒窃谌A夏古國，一開始就是先進的十進分數(shù)，確實是獨領(lǐng)風騷幾千年了。

　　《周髀》中周公、商高的交談中有“矩出于九九八十一”說法。說明“九九”表早已有之了。

　　說到“九九”表我們又想到了一件趣事。

　　春秋五霸之一的齊桓公想稱霸中華，開了個招賢館延聘賢才。但是招聘廣告貼出去多時了還未見有一個人上門，倒不是那時候各個單位卡住檔案不

　　放人，而是因為大家對齊桓公先生的誠意有點不相信。

　　話說有一天有一個人前來求見，齊桓公問道：“你有什么本領(lǐng)啊？”來人答曰“我會‘九九歌’”。

　　齊桓公撲哧一笑：“會背‘九九歌’也算是件本領(lǐng)嗎？”

　　這人不慌不忙地說：“這‘九九歌’確實不夠資格拿來作為見面禮，但是您對我這個只懂得“九九’的人都能重視重用的話，還愁比我高明的人不接踵而來嗎？”

　　齊桓公一聽精神一振，立即請講招賢館隆重招待。果然不出一個月，許多有識之士紛至沓來，投入“齊董事長”帳下效力。

　　這就告訴我們早在春秋時期，會背“九九歌”已經(jīng)很不稀奇，更不要說加、減、乘、除四則運算了。

　　再說這春秋戰(zhàn)國乃百家爭鳴、百“子”并立的熱鬧時期，內(nèi)中單道一位姓墨名翟人稱墨子的先生。墨子是主張“非攻”的，是當時“綠色和平組織的領(lǐng)導者”，他與咱中國工程技術(shù)的祖師爺魯班倒有過一段過節(jié)。

　　魯班是當時有名的能工巧匠，會造各種器械，后來楚王把他延攬了去，造了攻城的云梯，準備攻宋。

　　墨子一聽，立即從魯國出發(fā)，走了十天十夜，鞋都走沒了，就用破衣服裹一下腳。到得楚地，就給楚王做了番比喻，說了番道理。他說，你們楚國地方廣闊，宋國才一點點；楚國物產(chǎn)豐富，而宋國還比較貧困，何必去攻宋呢？不有點像一個富人去偷窮鄰居一樣可笑嗎？

　　楚王回答說，對是對，但現(xiàn)在魯班高級工程師已經(jīng)為寡人造了云梯了，一定要攻宋，沒辦法啦。

　　墨子笑道，那不要緊，我就和魯先生演練一下，來一次沙盤演習。咱要是斗敗了，掉臉就開路。

　　于是墨子解了衣帶做一個城的模樣，和魯班演習起攻守之策。魯工改變了9次攻城的戰(zhàn)術(shù)，墨子都把他擋了回去。魯班的攻城器械用完了，而墨老先生的守御辦法還富富有余。

　　魯班這時有些不起好心，對楚王說，我想還有最后一個辦法。誰知墨子微微一笑說，魯先生的意思是讓楚殺掉我，可惜遲了，我的弟子早已拿著守城器械在宋國恭候您的大駕呢。

　　這一場化干戈為玉帛的故事說明墨子和魯班都有相當豐富的幾何知識。試想想，沒有幾何方面的認識，城墻的建造，距離、高低、土方等測量，器械的修造，又怎么可能呢？要知道，當時建筑中已開始繪制平面圖，圖上有建筑物的墻線、名稱和墻之間的距離等等。

　　墨子他老人家不僅實踐上數(shù)得著，理論上也獨樹一幟，有相當水平�！赌�子》就是一本包含著邏輯學、力學、光學和幾何學等方面內(nèi)容的典籍。墨老先生用嚴格的邏輯方法來說明幾何概念，這種做法和古希臘亞里斯多德有些相似。而“亞先生”正是形式邏輯的鼻祖。

　　《墨子》中有19條數(shù)學方面的內(nèi)容，許多是與現(xiàn)代的觀念一致的。當然不可避免地要提到矩形和圓，我們曾說過這是人類最早認識的圖形。“方，柱隅四雜也”，墨子在這里所矩形說成是四條直邊、四個直角構(gòu)成的圖形，完全準確、嚴密。對于圓，他是這樣說的：“圓，一中同長也。”中，就是圓心。幾乎不要解釋大家都明白，它和我們現(xiàn)在圓的定義是多么的一致！不但有定義，而且有圓的作法，“圓，規(guī)寫文也”，就是說圓是用圓規(guī)畫出的，終點與起點相重合（“交”）的曲線。

　　《墨子》中還讀到了分割問題，把一個物體從中間分開棄去一半，從剩余的一半中再棄去一半，如此分割下去，最后剩下一個不能分割的“端”，也就是一點。

　　這使大家想到古希臘一個著名的故事：飛毛腿阿基里斯和烏龜賽跑。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。