第三回  邏輯朗朗  數(shù)學(xué)首次輝煌

　        　思維清清  運(yùn)算同步燦爛

　　人們把“黃金比”看作美的密碼。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。在一條小舟上，希帕索斯被憤怒的畢氏門徒扔入水中。芝諾說：神跑手絕對(duì)追不上烏龜。

　　說這古希臘位于愛琴海周圍，不但包括希臘半島，而且也包括愛琴海中各島嶼、克里特島和與希臘半島隔海相望的小亞細(xì)亞半島的西海岸一帶。荷馬史詩中所講到的特洛伊城，就位于小亞細(xì)亞半島的西海岸。

　　史詩的作者是一位盲人——荷馬，他把希臘文明的發(fā)生推到遙遠(yuǎn)的公元前2800年。

　　希臘人創(chuàng)造的燦爛文明，那可是現(xiàn)代西方文化的源頭，對(duì)現(xiàn)代文明起了奠基的作用。才華橫溢的古希臘學(xué)者們，在建筑、雕塑、天文、數(shù)學(xué)許多方面都做了大量開創(chuàng)性的工作，對(duì)世界許多國(guó)家的文化產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。就連現(xiàn)代的奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，不也可以追根尋源到古希臘嗎？

　　這愛琴海附近與大河流域的各文明發(fā)祥地大大不同。這塊地方倒是不大，但海陸交錯(cuò)，山巒重疊，所以這地方以一個(gè)一個(gè)城邦為主。再說這塊地方處處離海都很近，幾乎沒有一個(gè)地方離海岸有五十公里以上的。那愛琴海里的島嶼可是星羅棋布，有480多個(gè)，就像一個(gè)個(gè)跳石密布在海面上。航海的人就是船不太好也不要太擔(dān)心，到哪都能看到島，看到陸地。還有，那些大城邦如雅典，城里的人口多了，這糧食供應(yīng)就要到外面去買。而尼羅河古埃及正與他們隔地中海相望，所以這筆外貿(mào)生意就做到了埃及。

　　古希臘和巴比倫兩河流域也不遠(yuǎn)，陸路海路都可以走。所以這古希臘“對(duì)外開放”做得很好。那時(shí)候不但有很多人到尼羅河、巴比倫去做生意，還有不少有名的學(xué)者去訪問、游歷，他們好像應(yīng)當(dāng)是世界上最早的“訪問學(xué)者”了。

　　所以這古希臘雖不能說是物華天寶，卻倒也是人杰地靈。吸納了兩大文明，地處愛琴海之邊，不創(chuàng)造出優(yōu)秀的文化，那就真有點(diǎn)對(duì)不起世界人民了。那么這古希臘的數(shù)學(xué)為何也往往被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基石呢？

　　關(guān)鍵就在這“為何”二字。

　　原來這古希臘的仁人智士往往不但問“如何”，而且也經(jīng)常問“為何”，即不但要知其然，而且還要知其所以然。

　　比如，對(duì)等腰三角形，不少古代人都知道兩底角相等；對(duì)于圓呢，也都知道被直徑兩等分，這就是所謂“如何”了。那么，為什么兩底角相等呢？

　　為什么圓被直徑兩等分呢？這“為何”的問題不是人人都想到做、都樂意做的事。而在當(dāng)時(shí)古希臘，就彌漫著這么一種氣氛，凡事講究為何，講究推理，講究證明。也許，現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)就誕生于這么一種氣氛之中。

　　比方說這古希臘數(shù)學(xué)第一個(gè)學(xué)派的祖師爺泰勒斯先生，他就有這種凡事講證明的癮頭。

　　那泰先生乃小亞細(xì)亞西岸富裕之城米利都人氏，是希臘古代七賢之一，生活于公元前六世紀(jì)。這泰賢人多才多藝，哲學(xué)家、律師、工程師、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，各種職稱都取得過。不僅如此，他還經(jīng)過商，“下過海”。

　　話說泰勒斯有一年預(yù)見到橄欖油必定豐收，就把附近地區(qū)的所有榨油設(shè)備都買到手，然后在大家都要用的時(shí)候再租出去，當(dāng)然是狠賺一把。

　　當(dāng)大家紛紛祝賀時(shí)，泰勒斯先生微微一笑：“我只不過想證明賺錢是很容易的。”

　　泰勒斯先生活得很瀟灑，是個(gè)獨(dú)身主義者。另一位七賢、古希臘著名改革家梭倫問他為什么不結(jié)婚，他第二天讓人給梭倫送去個(gè)謊信，說梭倫心愛的兒子突然被殺身亡。然后他又到這位異常傷心的父親面前，拍拍他的肩膀說：“我只不過想告訴你，我‘為何’一輩子不結(jié)婚。”有一次他夜觀天象時(shí)失足掉在溝里，一位多事的老太太笑話他：“你連自己腳邊的東西都看不見，還能指望看見天上的東西。”不知道泰勒斯有沒有說“燕雀安知鴻鵠之志”，不過相信泰先生一定是很瀟灑地笑笑。

　　當(dāng)然我們不能把泰勒斯看成是只知插科打渾的東方朔。他可是一位很有學(xué)問的一代宗師。泰勒斯賺了不少錢后，就專心研究并到處旅游。

　　有一個(gè)時(shí)期他住在埃及，搞搞學(xué)術(shù)交流活動(dòng)。埃及的法老想知道自己死后睡的那所“大房子”有多高。找了很久也沒有人敢來測(cè)量這很高很高的金字塔。后來法老就請(qǐng)外國(guó)專家泰勒斯解決這個(gè)問題，他很愉快地接受了邀請(qǐng)。

　　雖然泰勒斯根本不可能到過中華大地，但是地測(cè)量的方法也是利用太陽的影子，和上回書里說的方法是一模一樣�？礃幼釉蹅冇忠�說那句老話了：英雄所見略同。不過當(dāng)時(shí)他這么一手，倒真是把周圍的人都鎮(zhèn)住了，佩服得了不得。

　　泰勒斯當(dāng)時(shí)還發(fā)現(xiàn)了不少幾何定理，比如圓被任一直徑二等分；等腰三角形兩底角相等；對(duì)頂角相等；半圓上的圓周角是直角等等。

　　這些發(fā)現(xiàn)的意義倒不在這些定理本身，而是泰勒斯運(yùn)用了邏輯推理，進(jìn)行了證明。

　　海邊的人對(duì)測(cè)量船與岸的距離自然很有興趣，也很實(shí)用。泰勒斯就想了個(gè)絕妙的辦法，進(jìn)行測(cè)量。

　　首先他做了個(gè)兩根桿的儀器，這兩根桿子的夾角可以變化轉(zhuǎn)動(dòng)，我們把它們叫做AC，AD。然后他站在岸上一個(gè)高處，讓 AD桿垂直指向地面的B點(diǎn)，再調(diào)整兩桿的夾角，使得沿著AC桿子看過去，正好指向船P。最后，不改變角DAC，讓儀器繞 AD轉(zhuǎn)，再把 AC桿指向地面上的那一點(diǎn) Q 記下來。這樣，只要測(cè)出B到Q的距離就可以了，也就是岸上B點(diǎn)到船P的距離。

　　這里面用的是兩個(gè)三角形全等的定理。

　　看，△ ABP和△ABQ，不就是兩個(gè)“兩角和一條也對(duì)應(yīng)相等”的三角形嗎？

　　泰勒斯正是發(fā)現(xiàn)而且證明了這么條三角形全等的定理，而且用得也很靈活。我們的孔夫子當(dāng)年曾授徒講學(xué)，得弟子3000、72賢人。泰勒斯當(dāng)年在希臘也收了不少徒弟，創(chuàng)立了愛奧厄亞學(xué)派。其中有位高足，比他大約小 50歲，是愛琴海的薩摩斯島人，住在離泰勒斯的故鄉(xiāng)利都城不遠(yuǎn)，出師后更樹立起自己的學(xué)派，以至聲名都大大超過其師。

　　他就是下面即將登場(chǎng)的赫赫的有名之人——畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯在米利都泰勒斯那里學(xué)了一段時(shí)期之后，就到處游歷，當(dāng)然是出洋考察，到埃及和巴比倫一帶學(xué)數(shù)學(xué)，長(zhǎng)見識(shí)，當(dāng)然還有哲學(xué)和宗教等等。據(jù)說，他的數(shù)學(xué)是在埃及學(xué)的，而在巴比倫樹立了他的宗教信仰，不過好像也受巴比倫數(shù)學(xué)的影響更大一些，熏陶更深一些。

　　這畢達(dá)哥拉斯學(xué)成歸來，到老家薩摩斯島一瞧，發(fā)現(xiàn)此地在波斯暴政之下不是個(gè)好去處，便打點(diǎn)行裝又到得南意大利的克洛喬，這是個(gè)希臘的移民城市，從希臘本土跨海即到。

　　在克洛喬，他開始獨(dú)樹一幟，授徒講學(xué)，開辦學(xué)校。這學(xué)校不但研究數(shù)學(xué)、哲學(xué)和其他自然科學(xué)，而且是個(gè)組織嚴(yán)密的學(xué)術(shù)團(tuán)體和政治團(tuán)體。入這個(gè)團(tuán)體挺嚴(yán)格，有一套秘密儀式，還有一套盟約，組織內(nèi)講授討論的知識(shí)不能外泄，有些神秘兮兮的。而且這組織的人員還控制發(fā)展，大概是考慮其思想和組織的純度吧。

　　這形成的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在學(xué)術(shù)上倒確實(shí)不錯(cuò)，但他們也太關(guān)心政治了，和貴族黨派結(jié)了盟，以致當(dāng)?shù)氐拿裰髁α看輾Я藢W(xué)校，把他們的團(tuán)體也弄得七零八落。畢達(dá)哥拉斯亡命鄰近的米太旁登，公元前497年，也許是他七八十歲的時(shí)候，被害于此處。

　　這畢達(dá)哥拉斯有句著名的話：“萬物皆數(shù)。”那意思是說，這整數(shù)是人和物質(zhì)的各種各樣性質(zhì)的起因，是宇宙的要素，就像咱們心目中的原子一樣。雖然這在現(xiàn)在看起來有些荒唐，但咱們也不必太苛求他們啦。

　　你想，當(dāng)時(shí)對(duì)自然的了解都很欠缺，所以當(dāng)這些古人們看到“數(shù)”在自然界中無處不在，很覺有些神秘。他老人家教導(dǎo)大家說：“看看你自己的周圍，世界上各處的秩序都得服從于和諧和度量，甚至是聲音也得服從于數(shù)，天上的星宿，地上的萬物都得服從于它。”

　　確實(shí)，有些現(xiàn)象表面上看來完全不同，卻表現(xiàn)出完全相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，給他們留下了深刻的印象。想給井然有序和諧地運(yùn)動(dòng)著的自然界一個(gè)完美統(tǒng)一的解釋，這在今天看來也值得咱們稱贊一聲，相信自然規(guī)律嘛。

　　整數(shù)在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的心目中有如此崇高的地位，所以一區(qū)有新的數(shù)發(fā)現(xiàn)，那可是大大動(dòng)搖軍心的信仰危機(jī)，足足會(huì)使他們驚恐不已。此是后話，暫且按下不提。

　　畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)學(xué)的看法，是認(rèn)為數(shù)學(xué)上的東西，比如數(shù)和圖形，都是一種思維的抽象，同實(shí)際的事物是截然不同的。咱們大家都學(xué)過幾何上的“直線”，這種數(shù)學(xué)中規(guī)定的“直線”，您在實(shí)際中見過嗎？肯定沒有，現(xiàn)實(shí)中到哪去找沒有粗細(xì)、只有長(zhǎng)度的直線？哪里有什么無限長(zhǎng)的線？也從來不存在直而又直的直線！

　　數(shù)學(xué)中的“直線”，只能是現(xiàn)實(shí)中那些“很直”（而不是直而又直）的東西，那些看起來沒有粗細(xì)的“線”，所提煉出來的一個(gè)高度概括、高度抽象的概念！

　　咱們把這些抽象的概念歸攏到一塊，再用邏輯推理的方法讓它們運(yùn)動(dòng)起來，就能產(chǎn)生許許多多新的概念，還有定理，建立起新的數(shù)學(xué)大廈。

　　就像在幾何的學(xué)習(xí)中咱們看到的那樣，從不多的一些概念和公理，能推出一系列新東西，這種推理方法就叫演繹推理，演繹證明。

　　使數(shù)學(xué)成為抽象性的科學(xué)，建立了演繹證明，這確實(shí)是了不起的一步。

　　“邏輯朗朗，數(shù)學(xué)首次輝煌”，這首功當(dāng)歸于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，當(dāng)然還有他的老師泰勒斯先生。畢達(dá)哥拉斯赫赫有名的幾何發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然是西方人所說的畢達(dá)哥拉斯定理了。當(dāng)然，咱們把它叫做勾股定理也決沒有損害到他的知識(shí)產(chǎn)權(quán)。在我看來，這個(gè)定理兩種名稱都能叫，都是咱地球村的寶貴遺產(chǎn)。當(dāng)然，咱中國(guó)的勾股定理畢竟要早500年發(fā)現(xiàn)。

　　據(jù)說畢達(dá)哥拉斯在得出這條著名定理，興奮得了不得，認(rèn)為這是上天的賜予，曾向神供獻(xiàn)顧一百頭牛。所以這個(gè)定理在中世紀(jì)也叫做“百牛大祭”。殺一百頭牛這未免殘忍了些，違反牛道主義，但也說明了這條定理在古人心目中的地位。那么究竟畢達(dá)哥拉斯是用什么方法去證明的呢？一般認(rèn)為可能是下面這種面積割補(bǔ)的方法。

　　在下面的圖形中，可看到兩個(gè)一樣大小的正方形，邊長(zhǎng)都是a＋b。

　　第一個(gè)正方形分成六塊，即兩個(gè)以直角邊為邊的正方形和四個(gè)與給定的直角三角形全等的三角形。從第一個(gè)正方形中減掉四個(gè)三角形，剩下的面積就是。

　　第二個(gè)正方形被分成五塊，是一個(gè)以斜邊c為邊的正方形和四個(gè)與給定直角三角形全等的三角形。同樣，從第二個(gè)正方形中還是去掉四個(gè)三角形，就留下了那個(gè)以c為邊的小正方形，所以剩余的面積是。

　　兩次剩余的面積應(yīng)該相等（等量減等量嘛），所以當(dāng)然就應(yīng)該是＝了。

　　當(dāng)然這里還要說明，第二個(gè)正方形中間的那一塊，確實(shí)是邊長(zhǎng)為c的正方形。邊長(zhǎng)是c不成問題，關(guān)鍵是要看四個(gè)角是不是直角了。換句話講也就是要用到“直角三角形的三角和等于兩個(gè)直角”這個(gè)定理。

　　一千五百年前的一位歷史學(xué)家認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派確定證明過三角形內(nèi)角和等于 180°，初中的朋友們都知道，要證明三角形內(nèi)角和，就要用到平行線的性質(zhì)，所以呢，平等線方面的理論也就歸功于畢氏學(xué)派啦。

　　著名的畢氏三數(shù)，在上回已經(jīng)提過。這次回到了畢氏的領(lǐng)地了，自然也要道個(gè)分明。

　　畢氏學(xué)派用來計(jì)算這三個(gè)數(shù)的公式是：

　　當(dāng)然這里m必須是奇數(shù)，要不然后面兩個(gè)式子可就算不出整數(shù)了。

　　這三項(xiàng)雖然可以構(gòu)成畢氏三數(shù)，但卻不是全部的數(shù)組。各位同學(xué)可以和上一回用的公式對(duì)照一下，動(dòng)手試試，便知結(jié)果。

　　畢達(dá)哥拉斯們用幾何圖形的變換和分割得出了勾股定理，自然是心情振奮，所以就用幾何圖形這種好武器到處開拓，許多代數(shù)問題也因此而得到解決。

　　在他們那兒，完全用長(zhǎng)度來表示數(shù)，根本沒有適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)符號(hào)，用靈巧的幾何程序去解決代數(shù)問題，也許咱們可以把這叫做“幾何的代數(shù)”吧�？纯醋竺娴膱D形，大家都會(huì)發(fā)現(xiàn)是初中代數(shù)課本封面所畫的一個(gè)圖形。

　　同學(xué)們都知道，給了你兩條已知線段a、b，要求作出一條新的線段x，使得a：x＝x；b，我們可以用a＋b為直徑作一個(gè)半圓，然后從a、b接頭的地方作一條垂直線段就是x啦！

　　所以，這線段x的長(zhǎng)，就是＝ab的解了。

　　畢氏學(xué)派的幾何式代數(shù)倒是挺巧妙，但哪里比得上用代數(shù)符號(hào)，既簡(jiǎn)單又方便。

　　說白了吧，他們那種方法是“手工業(yè)作坊”，做出的東西倒很精致，也許還能算藝術(shù)品，但效率可差多了，要一題一法；我們用代數(shù)符號(hào)，那可是“大工業(yè)機(jī)械化生產(chǎn)”，一種方法就能處理一大批問題。

　　畢老先生對(duì)幾何的這種偏愛，恐怕是內(nèi)心里面那種追求和諧、追求完美的心理在起作用。而幾何圖形的美更能直接傳達(dá)給每一個(gè)人。畢達(dá)哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的東西都具有共同的特性，這就是部分與部分以及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致。”

　　其實(shí)咱們每個(gè)人都在實(shí)踐著畢老前輩的教導(dǎo)，比如說到哪一處名勝攝影留念，很多時(shí)候我們都是把自己放在畫面的一側(cè)，放在中間就不太好看了。

　　當(dāng)然也不能太靠邊了，“過猶不及”嘛。一般來說大約站在畫面的 0．618處比較多，比較合適。

　　世界上絕大部分國(guó)旗都是矩形。大伙把這百多面國(guó)旗拿出來看看，勻稱好看的也大多是那些邊長(zhǎng)之比接近0．618的。從古代起人們就似乎有這種感覺，這種矩形特別令人賞心悅目。

　　這樣一個(gè)比就叫做黃金比，而一條線段分成這么兩段的話，就叫黃金分割。瞧，多值錢！多被人們看重！

　　那么這0．618黃金之比倒是如何發(fā)現(xiàn)的呢？這就要想到畢達(dá)哥拉斯的那段名言了：

　　假如C是線段AB的一個(gè)分點(diǎn)。

　　為了使C滿足畢達(dá)哥拉斯所講的“部分與部分以及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致”，顯然應(yīng)該有：

　　AB：AC＝AC：CB如果AB＝1，咱們看看AC應(yīng)該是多少。設(shè) AC＝x，那么

　　就有：

　　1：x＝x：（1－x）

　　人們把它稱之為“美的密碼”，二千多年來如癡如醉。畢氏團(tuán)體更是把含有這黃金分割點(diǎn)的五角星作為他們的徽記。五角星中的黃金分割點(diǎn)究竟有幾個(gè)？其中的黃金分割究竟在哪里？好好的畫上一個(gè)五角星，就立即會(huì)發(fā)現(xiàn)了。

　　這畢氏門徒們對(duì)幾何形體之美是如此神魂顛倒，弄得對(duì)什么樣的幾何體都要給個(gè)“說法”，以符合宇宙的和諧之美。

　　比如像正多邊體，它們確實(shí)對(duì)稱，均勻，所有的面都是正多邊形，而且還是都一樣的多邊形，有著一種均衡、對(duì)稱的韻律美。像立方體（也就是正六面體），有四個(gè)三角形面的正四面體，有八個(gè)三角形面的八面體，都是咱們平常經(jīng)�？匆姷�。

　　畢老先生們就把它們和古代人認(rèn)為的四種原始“元素”神秘地聯(lián)系在一起：四面體代表火；二十面體代表水；八面體代表氣：六面體能很穩(wěn)地放在地上，就讓它代表地了。

　　怪不得他們的學(xué)派弄得神秘兮兮的，原來做學(xué)問的時(shí)候就有著這毛病。追求美、追求和諧自然不錯(cuò)，不過一旦“唯美”了就過了“度”，反而把本來是美的弄成不美了。

　　畢氏學(xué)派也很崇尚數(shù)字之美。他們把 6 叫做完全數(shù)，因?yàn)?6＝1＋2＋3，而1、2、3是6的全部真因子。

　　28的全部真因子是1，2，4，7，14，而28＝l＋2＋4＋7＋14，所以28也是個(gè)完全數(shù)。

　　人類對(duì)完全數(shù)的尋找可真是費(fèi)了勁。直到1952年，才知道12個(gè)完全數(shù)，它們都是偶數(shù)，其中頭三個(gè)就是6，28和496。

　　那么奇完全數(shù)是否存在呢？這就成了數(shù)論中一個(gè)著名的還沒有解決的問題。

　　現(xiàn)如今咱們有不少人，要電話號(hào)碼拿汽車牌照，以至于結(jié)婚、開張，都想弄個(gè)吉利的數(shù)碼討個(gè)口彩，什么“168”啦，“1898”啦，為弄個(gè)數(shù)碼花錢托人。要是攤上個(gè)“184”，定有幾天幾夜睡不著。

　　不過喀們這些個(gè)可愛的土迷信要是到了畢達(dá)哥拉斯那兒，可真算得上粗俗不堪土得掉渣，連講究個(gè)迷信都沒那份水平。那么畢達(dá)哥拉斯們又把什么數(shù)看成是大吉大利的呢？這就是親和數(shù)。親和數(shù)總是成對(duì)的，畢達(dá)哥拉斯提出的一對(duì)親和數(shù)是284和220。

　　為什么稱它們?yōu)橛H和數(shù)呢？因?yàn)椋?20的真因子是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，l10，其和為284；而284的真因子是1，2，4，71，142，其和為220。

　　你瞧，這兩數(shù)倒親親密密，關(guān)系不淺，所以那時(shí)就把這兩個(gè)數(shù)分別寫在兩個(gè)護(hù)身符上，兩個(gè)佩帶護(hù)身符的人一定能平平安安萬事順利友誼地久天長(zhǎng)。這洋迷信還真上點(diǎn)檔次，有點(diǎn)學(xué)術(shù)水平。

　　奇怪的是，從畢老前輩以后，很長(zhǎng)一段時(shí)間都沒有發(fā)現(xiàn)新親和數(shù)。直到136年，法國(guó)數(shù)論大家費(fèi)馬才宣布 17926 和 18416 是另一對(duì)親和數(shù)。又過了兩年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒我到了第三對(duì)。

　　瑞士數(shù)學(xué)家歐拉其志不小，他想一勞永逸地解決這個(gè)問題，雖然不太成功，但他仍然才氣非凡地在1747年給出了一個(gè)30對(duì)親和數(shù)的表，后來又?jǐn)U展到超過60對(duì)！

　　在這漫漫的尋寶歷史中，還有一件趣事，一個(gè)十六歲的意大利男孩帕加尼尼，居然在 1886 年發(fā)現(xiàn)了被人們忽視的、比較小的一對(duì)親和數(shù)：1184 和1210�，F(xiàn)在，已經(jīng)知道的親和數(shù)有1000對(duì)以上。

　　盡管親和數(shù)、完全數(shù)被畢氏派籠罩了一層神秘迷信的色彩，可這畢竟開拓了數(shù)論——這門古老而又年輕的數(shù)學(xué)學(xué)科的道路。

　　畢氏數(shù)學(xué)“學(xué)會(huì)”不但從真因子這方面去研究數(shù)，而且他們把整數(shù)看成是一些幾何圖形的排列。他們常把數(shù)在沙灘上用小石子排成某個(gè)圖形。

　　1，3，6，10．……這些數(shù)叫三角形數(shù)，因?yàn)橄鄳?yīng)的點(diǎn)子能擺成正三角形。這第四個(gè)三角形數(shù)特別使他們神往，因?yàn)檫@ 10 等于 l＋2＋3＋4，而這四個(gè)數(shù)更是神秘地被認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基礎(chǔ)呢！

　　在沙灘上不斷地?cái)[弄這些三角形，時(shí)間久了當(dāng)然看出門道來了，三角形數(shù)不就能寫成1，l＋2，l＋2＋3，l＋2＋3＋4嗎？

　　這從圖形上來看是很清楚的呀！慢慢地又得出了一般情況

　　得出這樣一個(gè)數(shù)列的和已經(jīng)相當(dāng)不容易了，但畢氏門人更有絕招，正方形、正五邊形，他們都用石子來擺弄一番，得出了更多數(shù)列方面的發(fā)現(xiàn)。瞧瞧下面的一些正方形，就是2500年前愛琴海灘上的杰作，數(shù)一數(shù)就能知道，分別是 1，4，9，16……這些數(shù)當(dāng)然就叫正方形數(shù)了。用咱們現(xiàn)在的話來說，就是自然數(shù)的平方項(xiàng)：

　　在某一個(gè)正方形中（比如說第三個(gè)）打上一條斜杠，正方形不就變成兩個(gè)三角形了？所以，兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)的和，就是個(gè)正方形數(shù)，用現(xiàn)在的記法就是：

　　這正方形數(shù)的花樣他們還能變出更多。比如說把這正方形的點(diǎn)陣分割成一把一把曲尺，就像我們?cè)趫D里看到的那樣，您再仔細(xì)看看，每一把曲尺里都是多大的數(shù)？從里向外一數(shù)就可以明白了，不就是1，3，5，7，……，奇數(shù)數(shù)列！

　　再把它們加起來，不就是個(gè)正方形嗎？于是有：1＋3＋5＋7＋…＋（2n—l）＝n2

　　且說畢氏學(xué)派把學(xué)問發(fā)展到這份上，就覺著相當(dāng)滿意了。很對(duì)得起自己，也很對(duì)得住和諧完美的宇宙了。

　　“萬物皆數(shù)”，在他們看來確實(shí)是顛撲不破的真理了。當(dāng)然，他們心目中的“數(shù)”，是完美、和諧、有著種種美妙表現(xiàn)的整數(shù)。

　　那么當(dāng)時(shí)難道就沒有分?jǐn)?shù)？當(dāng)然不會(huì)。做買賣，搞貿(mào)易，測(cè)天量地，不可避免會(huì)出現(xiàn)“零頭”，要把一個(gè)單位，比如說一塊錢啦一尺長(zhǎng)啦，分成幾分之幾。就是日常生活，拿了一塊面包分給幾個(gè)孩子吃，也要平均分一下，這樣久而久之，當(dāng)然會(huì)有分?jǐn)?shù)的概念了。

　　但是畢氏學(xué)派并不把這些分?jǐn)?shù)看作是一類新的數(shù)，而是把分?jǐn)?shù)看成兩個(gè)整數(shù)的比：

　　這么一來，一切都還是整數(shù)的天下，完美無缺的世界當(dāng)然會(huì)永遠(yuǎn)繼去。畢氏學(xué)派把分?jǐn)?shù)看成是倒也很對(duì)，我們現(xiàn)在也還是這么看的。

　　而且這么一來，也沒有古埃及人和巴比倫人那一套繁雜的表示了，當(dāng)然是一大進(jìn)步。

　　把數(shù)和圖形聯(lián)系起來是華達(dá)哥拉斯們的一大愛好，什么三角形數(shù)啦，正方形數(shù)啦等等，從中還發(fā)現(xiàn)了不少美妙的性質(zhì)。那么這整數(shù)之比又用什么圖形呢！當(dāng)然也有辦法。

　　要表示的話，就把0到1那段線段等分成q份，再取其中的p份，不就成了？這樣，每個(gè)分?jǐn)?shù)（按照畢老的意見，是“整數(shù)之比”），都對(duì)應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。在這些老前輩看來，直線上的點(diǎn)就這么用完了，不是整數(shù)點(diǎn)，就是分?jǐn)?shù)的點(diǎn)。所以，像這樣的無理數(shù)居然能在直線上表示出來，對(duì)他們來說，簡(jiǎn)直是不能忍受的大打擊。

　　這的發(fā)現(xiàn)很可能也是在研究直角三角形時(shí)產(chǎn)生的。等腰直角三角形是一個(gè)常見的三角形了，如果兩條直角邊都等于 1 的話，那么用畢達(dá)哥拉斯定理，當(dāng)然能得出斜邊應(yīng)該是的平方根，也就是 。

　　當(dāng)然那時(shí)候這也不是咱們現(xiàn)在這種表示，大家也都把它當(dāng)成是一個(gè)有限的小數(shù)，那里想到會(huì)出什么事呢？比如巴比倫人，就是用一串六十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)來表示的：

　　想法大家都差不多，但是用畢氏學(xué)派的慣用語言來說，那就是肯定也是兩個(gè)整數(shù)之比，絕對(duì)錯(cuò)不了，否則宇宙不亂了套？

　　這畢氏一派畢竟是講究推理，講究證明，開平方到底是個(gè)什么樣“整數(shù)之比”，總想問個(gè)明白。這種正面尋找的工作究竟做了多少時(shí)候，想了些什么辦法，有哪些人從事這項(xiàng)課題，又拔了多少科研經(jīng)費(fèi)，咱們現(xiàn)在都不清楚了。不過雖然一直都沒找到這“整數(shù)之比”，也都覺得不會(huì)有多大的問題。

　　如此一來產(chǎn)生矛盾，那的地位就十分清楚了：根本不可能是兩個(gè)整數(shù)之比，不可能是分?jǐn)?shù)。

　　一個(gè)新的數(shù)發(fā)現(xiàn)了。一種新的證明方法也從此得到了運(yùn)用，這就是上面所用的反證法。不過希帕索斯并沒有因?yàn)檫@兩項(xiàng)成果得到什么科學(xué)獎(jiǎng)，卻被他的同伴們引到了茫茫的大海上。

　　話說這希帕索斯的發(fā)現(xiàn)在學(xué)術(shù)討論會(huì)上一公布，頓時(shí)是議論紛紛，那驚愕的程度不亞于原子彈爆炸。

　　其實(shí)咱們細(xì)想一下也并不奇怪。實(shí)際生活中誰會(huì)用到？分?jǐn)?shù)足矣！如果你去買 斤糖，售貨員小姐不給你一個(gè)“衛(wèi)生球”才怪呢！說不定還要喊保安。再說了，她也沒法稱��！就是拿最精密的天平，也絕對(duì)稱不出來。

　　人們的直覺中，根本沒有無理數(shù)的地位，只有當(dāng)演繹推理的方法一應(yīng)用，大家這才張開吃驚的嘴巴。在這里，我們看到了另外一種數(shù)學(xué)之美：邏輯美。

　　再說這畢氏門中之人自然都不是無能之輩，一開始當(dāng)然是不相信，都想找找希帕索斯的發(fā)現(xiàn)是不是有些毛病，挑出點(diǎn)錯(cuò)�？扇兆右痪�，在那鐵的邏輯推理面前，都只能啞口無言。

　　一邊是苦心經(jīng)營(yíng)多年的和諧完美的數(shù)的大廈，一邊是不容懷疑、被他們的當(dāng)作銳利武器的邏輯推理，這真叫“以子之矛，攻子之盾”，學(xué)派陷入了兩難境地，思想混亂，信仰危機(jī)。

　　這就是歷史上常常說起的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

　　痛苦萬狀的畢氏學(xué)者們真不知怎么辦是好。照理來說，痛痛快快地承認(rèn)，向真理投降，不失為大丈夫氣概，學(xué)者風(fēng)范。但細(xì)細(xì)一想，卻萬萬不可。且不說心目中那神圣和諧的宇宙秩序傾刻瓦解，就連學(xué)派的地位也岌岌可危，鬧不好會(huì)全盤崩潰、樹倒猢猻散。

　　于是這幫有著責(zé)任感的弟兄們決定再做努力，邀請(qǐng)那位闖禍的哥們作最后的談判。

　　會(huì)談是在平靜海面的一條小舟上進(jìn)行的。希帕索斯真理在握，自然力圖再一次說服大家，但船里的諸位哪能不明白。

　　不明白的是那位希帕索斯先生，大伙的目的是要他放棄“邪說”，以后少說廢話。希先生還想辯個(gè)究竟，但見七八只手一起伸過來，來了“一、二、三”，聽“撲嗵”一下，請(qǐng)他一了百了。

　　數(shù)學(xué)史上一位悲壯的殉道者就這樣產(chǎn)生了。

　　崇尚“美”的畢氏門徒，就這樣否認(rèn)了“真”，違背了“善”。

　　看來不管什么改革運(yùn)動(dòng)，有些人不是不明白要改革，但他更明白改革要改到自己頭上。所以反對(duì)起來最起勁。

　　不過也有人說，希帕索斯的那幫弟兄看在多年的情份上，饒他一死，但立即革出教門，請(qǐng)他馬上離開家鄉(xiāng)，自我流放。然后就造了一座假墳，斷了其他人的是非之心。這畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的功功過過咱們已經(jīng)明明白白，成敗是非咱們也已一清二楚。

　　真可謂：偉哉畢氏學(xué)派！創(chuàng)千年數(shù)學(xué)之基業(yè)，開邏輯證明之先河！悲哉，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派！置偉大發(fā)現(xiàn)于不顧，入“唯美”迷途而不返。由于他們不承認(rèn)無理數(shù)，所以他們認(rèn)為，結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)大廈只能是幾何。是啊，正方形的對(duì)角線在幾何圖形中一點(diǎn)沒困難，一點(diǎn)沒毛病，但是一到了代數(shù)、算術(shù)中，要用一個(gè)他們認(rèn)為不可能存在的數(shù)去表示，確實(shí)使這些老先生既頭痛，又迷糊。

　　于是，幾何在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。代數(shù)和幾何分成了截然不同的兩部分。

　　一邊是遭到他們冷落的代數(shù)和算術(shù)，許多方面的問題在那會(huì)兒都用幾何方法去解決。古希臘的學(xué)者們對(duì)“算”沒什么興趣，認(rèn)為那不過是商人們關(guān)心的事，哪能進(jìn)入神圣的數(shù)學(xué)殿堂！

　　一邊是備受青睞的幾何。用嚴(yán)密的邏輯，嚴(yán)格的推理，把它構(gòu)筑成一座令人贊嘆的宏偉建筑。一直到歐幾里德，集希臘數(shù)學(xué)之大成，以不朽名著《幾何原本》登上了當(dāng)時(shí)的最高峰，我會(huì)在第四回中詳細(xì)介紹。

　　上回書中說到中國(guó)的墨子談到的分割問題，與古希臘倒也有一段瓜葛。這也并非說有什么產(chǎn)權(quán)官司好打，只不過是異曲同工而已罷。

　　那墨老先生是說，把一個(gè)物體從中間分開，丟掉一半；再?gòu)闹虚g分開，再棄去一半；如此這般分下去，最后剩的就是一點(diǎn)了。墨老先生是公元前五世紀(jì)人，和希臘的學(xué)者們完全是同時(shí)代。那么他的希臘同行們是如何看待這個(gè)問題的呢？

　　話說到這兒，也該講個(gè)故事給大伙聽聽了。不過，這次的故事還是個(gè)進(jìn)口的，雖然都是些洋名號(hào)，聊起來倒是挺有趣。

　　那希臘雅典，本是神話的沃土，什么太陽神阿波羅，戰(zhàn)神阿雷斯，雅典守護(hù)神雅典娜，如此等等，真是豐富多彩，琳瑯滿目。

　　內(nèi)中單道一位善跑之神阿基里斯，雖然沒有與咱中國(guó)追太陽的夸父在什么運(yùn)動(dòng)會(huì)上一決雌雄，相信他倆恐怕也是不分伯仲，一天之內(nèi)繞地球幾圈沒問題。

　　這一天，不知為的是啥，阿基里斯居然要與烏龜比一比高低。為了表示大度，決定先讓烏龜跑上一百里。

　　比賽尚未開始，有一位智叟在旁放了話。他說阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜！各位觀眾一聽愣了神，紛紛請(qǐng)智叟說個(gè)明白。

　　這位智叟不慌不忙說了一番話：“咱們現(xiàn)在就比方阿基里斯跑的速度是烏龜?shù)氖�倍。那么�?dāng)阿基里斯跑完開始的一百里的時(shí)候，烏龜又向前爬了10里，等阿基里斯追上這10里，烏龜又向前爬了1里；等冠軍阿基里斯再追上這 1 里，烏龜又走了 1/10 里……，如此一來，你們說阿基里斯能追上烏龜嗎？”

　　眾人想想這道理還真對(duì)。后仔細(xì)一想，與真實(shí)的情況又大不一樣啊！被智叟弄得一頭霧水，腦門子想疼了也得不出個(gè)所以然，只有作鳥獸散回家睡覺。

　　這種似是而非、充滿著矛盾的問題，就叫“悖論”。“悖”，就是有悖常理的意思。這就是歷史上有名的“芝諾悖論”。

　　提出這悖論的芝諾是公元前495年到公元前480年間的數(shù)學(xué)家，也是位哲學(xué)家。他和他的老師都是畢達(dá)哥拉斯派的學(xué)者。

　　芝諾先生是位大學(xué)問家，當(dāng)然不會(huì)不明白阿基里斯實(shí)際上一會(huì)兒功夫就能上烏龜。他提出這么個(gè)問題，正說明他想得深刻，問得高明，把人們?cè)瓉砟：�的東西，很清楚很尖銳地展現(xiàn)出來。

　　那人們又模糊在什么地方呢？這就是無限與有限的關(guān)系。

　　阿基里斯要追上烏龜，就要不停地跑下去。在這不停地跑（也就是“追”）

　　的過程中，他追的路程依次是：

　　100，10，1，0．1，0．01，0．001，……

　　這是無限多個(gè)距離，越到后面越小。

　　有人說了，后面數(shù)字哪怕再小，總是個(gè)有大小的數(shù)，那阿基里斯和烏龜不就還是存在距離嗎？比方說，從頭數(shù)第10000個(gè)數(shù)，是 　　不有大小嗎？

　　不錯(cuò)，你說的有幾分對(duì)。如果阿基里斯走到這時(shí)停下來了，那兩者之間確實(shí)從理論上說有這么點(diǎn)點(diǎn)小距離。

　　但是現(xiàn)在阿基里斯是繼續(xù)地往下追！所以兩者的差距肯定比這要�。“⒒�里斯不停地這么追下去（就像我們?cè)谇懊嫠�說過的那樣），無限地追下去，那兩者之間的距離可就比你給的任一個(gè)很小很小的差距還要小。比方說，你說現(xiàn)在阿基里斯和烏龜相差，那么因?yàn)槔^續(xù)無限地在追，兩者之差肯定比它小。

　　如果你還有興趣舉一些很小的數(shù)的話，回答還是一樣。這樣一來，兩者之間的距離就只能是零了，也就是神跑手追上了烏龜。

　　這里的關(guān)鍵就是“無限”，無限地在追！中途停下來可就不成了。

　　通過無限的過程，一直往小里變化的正數(shù)可就變成一個(gè)固定的常數(shù)了。

　　在古代華夏，差不多與芝諾同時(shí)，也有對(duì)無限的思考。

　　一位是咱們前面提過的墨子。

　　另一位是莊子。老莊先生有句名言：

　　“一尺之棰，日取其半，萬世不竭！”意思是把長(zhǎng)一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，一萬年也取不完。

　　這墨子說的也是把東西一分為二，不過他是說，老這么分，無限地分，分到最后就沒有了，變成一點(diǎn)（“零”）。

　　通過芝諾悖論的分析，當(dāng)然大家知道墨子的話是對(duì)的。

　　那莊先生呢？他的話對(duì)嗎？

　　如果真是只取一萬年，停下來不取了，那自然是還有這么一小段（不是一點(diǎn)），倒也真是沒取完。

　　不過古代這“萬世”，意思也就永遠(yuǎn)不停地取下去。這么一來，莊先生可就要“夢(mèng)蝶一場(chǎng)空”了，說的就不對(duì)了。

　　這無限與有限還真是不一樣。所以就像咱們的圓腦袋不能往方帽子里套一樣，那無限的問題也不能用有限的框框去套。

　　話是這么說，可事到臨頭又會(huì)不自主去套以前現(xiàn)成的框框。

　　比如說，那阿基里斯追上烏龜?shù)木嚯x之和應(yīng)該是：

　　100＋10＋1＋0．l＋0．01＋0．001＋……

　　這么多個(gè)有限的數(shù)！無限多個(gè)！加起來照咱們以前的框框，應(yīng)當(dāng)是無限大了！但答案自然不是無限大。

　　瞧，那后面的小數(shù)之和：

　　0．1＋0．01＋0．001＋…＝0．1 就是循環(huán)小數(shù) 0．l，而 0．1＝1/9，

　　是個(gè)有限數(shù)！

　　當(dāng)然，并不是所有無限個(gè)數(shù)的和都是一個(gè)有限數(shù)：

　　l＋10＋100＋1000＋……

　　這就是無限大了。

　　所以，無限的世界與有限的世界不一樣，具體問題要具體分析。

　　奇妙的無限世界并不神秘，而徹底揭開這神秘的面紗，已經(jīng)是離古希臘2000多年后的19世紀(jì)了。

　　讓咱們回過頭來再談一番古希臘，然后聊19世紀(jì)不遲。

　　再說這古希臘數(shù)學(xué)，從公元前600年泰勒斯首開證明先河，到公元前300年，著名的歐幾里得《幾何原本》的問世，可謂是成就輝煌的300年，英雄輩出的300年。

　　在這300年中，有三個(gè)不同的發(fā)展方向，我們已經(jīng)談了其中的兩個(gè)。其一，是泰勒斯開頭，畢氏學(xué)派高擎大旗，后經(jīng)希波克拉底、歐多克斯等人不斷努力，形成一股講求嚴(yán)密和邏輯推理的主流。最后匯入到歐幾里德的《幾何原本》中去，使其成為傲視千年的經(jīng)典。

　　其二，以芝諾悖論為開篇，有關(guān)無窮小、無限以及求和過程的各種概念的萌發(fā)，代表了古代對(duì)極限思想的認(rèn)識(shí)，其中又以歐多克斯的窮竭法最合理，最先進(jìn)。而其余的學(xué)者，往往只能用迷朦的眼光看著自己的問題。一直到現(xiàn)代，微積分發(fā)明之后，才得最后的解決。那么，這第三個(gè)方向又為如何呢？這倒可以從古希臘幾何中的三大難題或說趣題談起。這三大難題也許大家都知道一些，因?yàn)樗鼈兒苡忻�，而且有名有了幾千年�?/p>

　　這是三個(gè)著名的作圖問題：

　　化圓為方問題。就是作一個(gè)正方形，讓它與一個(gè)給定的圓面積相等。三等分角問題。就是給你一個(gè)任意角，把它分為三等分。倍立方體問題。給你一個(gè)立方體，讓你作一個(gè)新的立方體，體積是原來的兩倍。

　　這三個(gè)問題名氣之大，可以說是上下幾千年，縱橫幾萬里。它的有名居然是因?yàn)榻y(tǒng)統(tǒng)作不出圖！是古希臘所謂幾何三大作圖不可能問題。

　　不過，咱們要說得周全一些的話，是尺規(guī)作圖不可能問題。

　　這尺和規(guī)是人類老祖宗最早的作圖工具。

　　所謂大禹治水，是“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”，這是前面說過的老話了。不知古希臘人讓哪一位神靈執(zhí)規(guī)拿矩的，反正不會(huì)沒有。

　　在古代，這國(guó)家元首級(jí)的人物才拿有規(guī)矩，可見這尺規(guī)在古人心目中神圣的地位。“規(guī)矩”一詞在以后更轉(zhuǎn)化或規(guī)則、準(zhǔn)則的意思，也可知用尺規(guī)作圖是當(dāng)時(shí)作圖的主要手段。

　　尺規(guī)的作用這么一神化，立即變得崇高偉大。喜歡事事講理由、處處要嚴(yán)格的希臘人又給自己作圖立了個(gè)“規(guī)矩”：只準(zhǔn)用直尺和圓規(guī)去做幾何中的作圖題。

　　而且這直尺是沒有刻度的，直尺和圓規(guī)也不能使用無限多次。實(shí)際上作圖，誰又能用無限次尺規(guī)去畫圖呢？但是希臘人做這么個(gè)限制，說明他們考慮得周密：不但實(shí)際上不允許你無限次地使用作圖工具，而且想象中的無限次使用也不允許。

　　用尺和規(guī)確實(shí)能作出許多的幾何圖。也許是太多了，古希臘人認(rèn)為它們簡(jiǎn)直是無所不能了。所以對(duì)于尺規(guī)不能作的圖，自然吃驚。

　　比如說等分一個(gè)角。兩等分，也就是平分，是很容易用尺規(guī)辦到的事。所以大家很自然地想到將角三等分。再說了，將一條線段任意等分，是件再簡(jiǎn)單不過的事了，為什么對(duì)角要說“不”呢？

　　但是，用直尺和圓規(guī)確實(shí)不能三等分角，這是早已得證的了�，F(xiàn)在還有許多人在撞運(yùn)氣，試圖想各種辦法，用尺規(guī)作出來，那真是所謂“癡心妄想”。奉勸諸位不要虛耗精力在這類不可能問題上。

　　對(duì)一些特殊的角，比如90°角，用尺規(guī)那是可以三等分的。但對(duì)60°角就不行了。不過我們要用一把有尺度的直尺，那任意角都可以三等分。

　　一半圓。在直尺上刻A、B兩點(diǎn)，使得AB＝r。然后呢，就保持B點(diǎn)在半圓上，滑動(dòng)直尺，使A點(diǎn)在角x的延長(zhǎng)線上，

　　同此，直尺還要通過x角的終邊與半圓的交點(diǎn)。最后按住直尺，畫一直線，那么角 就是。yx三分之一

　　有興趣的朋友可以自己證明這一點(diǎn)。

　　這種方法古希臘人也早就知道了（多聰明），但他們的游戲規(guī)則卻宣布這么做不算。

　　巧妙的方法還有的是。古希臘的尼哥梅德斯（約公元前240年），設(shè)計(jì)了一種工具，可以畫出一種叫蚌線的圖形來。用這個(gè)“蚌”，就能三等分一個(gè)任意角。

　　什么叫蚌線呢？大家看一看圖就可以明白，就是從直線一點(diǎn) O，畫出無數(shù)射線，與直線RS相交。在這些射線上都從交點(diǎn)起，截取相同長(zhǎng)度的線段a，那么這些線段端點(diǎn)的幾何軌跡就是蚌線。

　　下面我們就可以享受一下發(fā)明的成果了。

　　從∠AOB的OB邊上取一點(diǎn)K，作KL⊥OA。再按點(diǎn)O，直線KL作出蚌線，并且線段a＝ZOK。過K作KN∥OA，交蚌線于N，再連結(jié)ON，就大功告成了：

　　如果咱們作出MN的中點(diǎn)P，連結(jié)PK，就能很輕松地證出結(jié)論。

　　關(guān)于三等分角，從古到今想的辦法真叫“不計(jì)其數(shù)”。古希臘的人在想，近現(xiàn)代的人也在想。不過不是用尺規(guī)作圖，而是發(fā)明一些工具，或者突破對(duì)尺規(guī)作圖的限制。

　　比如說在上世紀(jì)（對(duì)數(shù)學(xué)來說這并不是個(gè)古老的年代，我們大部分人只有在大學(xué)才學(xué)到一點(diǎn)點(diǎn)本世紀(jì)的數(shù)學(xué)），有位叫斐耳科斯基的先生給出了一種“漸近”的方法，按照他的方法，你作圖的次數(shù)越多越準(zhǔn)確。如果無限多次作下去（這自然是不可能的），就可以精確地得到所求等分線。回頭再說說化圓為方。

　　在三大不可能作圖問題中，最具傳奇和文學(xué)色彩的要算倍立方體問題。據(jù)說在公元前五世紀(jì)的雅典，原本歡樂活躍的都市突然變得死氣沉沉。卻道為何？原來此地正受瘟疫襲擊，千樹薛荔，萬戶蕭疏。

　　幸存下來的人用虛弱的身體匍匐在太陽神的神殿下，祈求阿波羅高抬貴手，放咱們下界百姓一碼。

　　一片哀告聲上達(dá)天廷，阿波羅終于有了憐憫之心，傳下神諭：“只要諸位把神殿的立方體祭壇擴(kuò)大一倍，那么悲傷和憂愁將一去不回，歌舞升平的日子就會(huì)到來。下界的愚民們，好好干吧。”

　　雅典人聽了以后自然很高興，立刻重新做了個(gè)立方體祭臺(tái)，邊長(zhǎng)是原來的兩倍。認(rèn)為這滿足了阿波羅的要求。

　　誰知瘟疫仍然瘋狂肆虐，大家似乎覺察到太陽神的震怒。是不是沒給他老人家把事辦好？于是，立刻再請(qǐng)各方高士到祭壇前緊急研究，這才發(fā)現(xiàn)體積竟然是原來的八倍，而不是兩倍！

　　后來這個(gè)問題就成了文人雅士們津津樂道的話題了，自然也發(fā)明了不少工具，想了不少不用尺規(guī)的辦法。

　　這三大問題好像談不上有什么實(shí)際意義。但是，數(shù)學(xué)的難題往往有這樣的特點(diǎn)，它們能激發(fā)起研究的興趣。有時(shí)雖然問題本身并未解決，但是卻發(fā)展了豐富了其他一系列問題，甚至于能啟動(dòng)一門新學(xué)科！大數(shù)學(xué)家們都把這樣的難題叫做“能下金蛋的母雞”。

　　這三大不可能問題雖然最終證明是不可能的，但卻引發(fā)了對(duì)圓和直線以外的曲線進(jìn)行研究的興趣。而卓有成就蔚然而集大成者，就是后面與各位見面的阿波羅尼斯！

　　希臘人在古代就對(duì)這些復(fù)雜的曲線有那么多深刻的認(rèn)識(shí)，廣博的知識(shí)，與那只能下金蛋的母雞大有關(guān)系！

　　與同學(xué)們談了多時(shí)希臘數(shù)學(xué)，當(dāng)然要攀登一下它的高峰《幾何原本》。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。