第三回  邏輯朗朗  數學首次輝煌

　        　思維清清  運算同步燦爛

　　人們把“黃金比”看作美的密碼。無理數的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數學危機。在一條小舟上，希帕索斯被憤怒的畢氏門徒扔入水中。芝諾說：神跑手絕對追不上烏龜。

　　說這古希臘位于愛琴海周圍，不但包括希臘半島，而且也包括愛琴海中各島嶼、克里特島和與希臘半島隔海相望的小亞細亞半島的西海岸一帶。荷馬史詩中所講到的特洛伊城，就位于小亞細亞半島的西海岸。

　　史詩的作者是一位盲人——荷馬，他把希臘文明的發(fā)生推到遙遠的公元前2800年。

　　希臘人創(chuàng)造的燦爛文明，那可是現(xiàn)代西方文化的源頭，對現(xiàn)代文明起了奠基的作用。才華橫溢的古希臘學者們，在建筑、雕塑、天文、數學許多方面都做了大量開創(chuàng)性的工作，對世界許多國家的文化產生了深遠的影響。就連現(xiàn)代的奧林匹克運動會，不也可以追根尋源到古希臘嗎？

　　這愛琴海附近與大河流域的各文明發(fā)祥地大大不同。這塊地方倒是不大，但海陸交錯，山巒重疊，所以這地方以一個一個城邦為主。再說這塊地方處處離海都很近，幾乎沒有一個地方離海岸有五十公里以上的。那愛琴海里的島嶼可是星羅棋布，有480多個，就像一個個跳石密布在海面上。航海的人就是船不太好也不要太擔心，到哪都能看到島，看到陸地。還有，那些大城邦如雅典，城里的人口多了，這糧食供應就要到外面去買。而尼羅河古埃及正與他們隔地中海相望，所以這筆外貿生意就做到了埃及。

　　古希臘和巴比倫兩河流域也不遠，陸路海路都可以走。所以這古希臘“對外開放”做得很好。那時候不但有很多人到尼羅河、巴比倫去做生意，還有不少有名的學者去訪問、游歷，他們好像應當是世界上最早的“訪問學者”了。

　　所以這古希臘雖不能說是物華天寶，卻倒也是人杰地靈。吸納了兩大文明，地處愛琴海之邊，不創(chuàng)造出優(yōu)秀的文化，那就真有點對不起世界人民了。那么這古希臘的數學為何也往往被認為是現(xiàn)代數學的奠基石呢？

　　關鍵就在這“為何”二字。

　　原來這古希臘的仁人智士往往不但問“如何”，而且也經常問“為何”，即不但要知其然，而且還要知其所以然。

　　比如，對等腰三角形，不少古代人都知道兩底角相等；對于圓呢，也都知道被直徑兩等分，這就是所謂“如何”了。那么，為什么兩底角相等呢？

　　為什么圓被直徑兩等分呢？這“為何”的問題不是人人都想到做、都樂意做的事。而在當時古希臘，就彌漫著這么一種氣氛，凡事講究為何，講究推理，講究證明。也許，現(xiàn)代意義上的數學就誕生于這么一種氣氛之中。

　　比方說這古希臘數學第一個學派的祖師爺泰勒斯先生，他就有這種凡事講證明的癮頭。

　　那泰先生乃小亞細亞西岸富裕之城米利都人氏，是希臘古代七賢之一，生活于公元前六世紀。這泰賢人多才多藝，哲學家、律師、工程師、天文學家、數學家，各種職稱都取得過。不僅如此，他還經過商，“下過海”。

　　話說泰勒斯有一年預見到橄欖油必定豐收，就把附近地區(qū)的所有榨油設備都買到手，然后在大家都要用的時候再租出去，當然是狠賺一把。

　　當大家紛紛祝賀時，泰勒斯先生微微一笑：“我只不過想證明賺錢是很容易的。”

　　泰勒斯先生活得很瀟灑，是個獨身主義者。另一位七賢、古希臘著名改革家梭倫問他為什么不結婚，他第二天讓人給梭倫送去個謊信，說梭倫心愛的兒子突然被殺身亡。然后他又到這位異常傷心的父親面前，拍拍他的肩膀說：“我只不過想告訴你，我‘為何’一輩子不結婚。”有一次他夜觀天象時失足掉在溝里，一位多事的老太太笑話他：“你連自己腳邊的東西都看不見，還能指望看見天上的東西。”不知道泰勒斯有沒有說“燕雀安知鴻鵠之志”，不過相信泰先生一定是很瀟灑地笑笑。

　　當然我們不能把泰勒斯看成是只知插科打渾的東方朔。他可是一位很有學問的一代宗師。泰勒斯賺了不少錢后，就專心研究并到處旅游。

　　有一個時期他住在埃及，搞搞學術交流活動。埃及的法老想知道自己死后睡的那所“大房子”有多高。找了很久也沒有人敢來測量這很高很高的金字塔。后來法老就請外國專家泰勒斯解決這個問題，他很愉快地接受了邀請。

　　雖然泰勒斯根本不可能到過中華大地，但是地測量的方法也是利用太陽的影子，和上回書里說的方法是一模一樣。看樣子咱們又要說那句老話了：英雄所見略同。不過當時他這么一手，倒真是把周圍的人都鎮(zhèn)住了，佩服得了不得。

　　泰勒斯當時還發(fā)現(xiàn)了不少幾何定理，比如圓被任一直徑二等分；等腰三角形兩底角相等；對頂角相等；半圓上的圓周角是直角等等。

　　這些發(fā)現(xiàn)的意義倒不在這些定理本身，而是泰勒斯運用了邏輯推理，進行了證明。

　　海邊的人對測量船與岸的距離自然很有興趣，也很實用。泰勒斯就想了個絕妙的辦法，進行測量。

　　首先他做了個兩根桿的儀器，這兩根桿子的夾角可以變化轉動，我們把它們叫做AC，AD。然后他站在岸上一個高處，讓 AD桿垂直指向地面的B點，再調整兩桿的夾角，使得沿著AC桿子看過去，正好指向船P。最后，不改變角DAC，讓儀器繞 AD轉，再把 AC桿指向地面上的那一點 Q 記下來。這樣，只要測出B到Q的距離就可以了，也就是岸上B點到船P的距離。

　　這里面用的是兩個三角形全等的定理。

　　看，△ ABP和△ABQ，不就是兩個“兩角和一條也對應相等”的三角形嗎？

　　泰勒斯正是發(fā)現(xiàn)而且證明了這么條三角形全等的定理，而且用得也很靈活。我們的孔夫子當年曾授徒講學，得弟子3000、72賢人。泰勒斯當年在希臘也收了不少徒弟，創(chuàng)立了愛奧厄亞學派。其中有位高足，比他大約小 50歲，是愛琴海的薩摩斯島人，住在離泰勒斯的故鄉(xiāng)利都城不遠，出師后更樹立起自己的學派，以至聲名都大大超過其師。

　　他就是下面即將登場的赫赫的有名之人——畢達哥拉斯。畢達哥拉斯在米利都泰勒斯那里學了一段時期之后，就到處游歷，當然是出洋考察，到埃及和巴比倫一帶學數學，長見識，當然還有哲學和宗教等等。據說，他的數學是在埃及學的，而在巴比倫樹立了他的宗教信仰，不過好像也受巴比倫數學的影響更大一些，熏陶更深一些。

　　這畢達哥拉斯學成歸來，到老家薩摩斯島一瞧，發(fā)現(xiàn)此地在波斯暴政之下不是個好去處，便打點行裝又到得南意大利的克洛喬，這是個希臘的移民城市，從希臘本土跨海即到。

　　在克洛喬，他開始獨樹一幟，授徒講學，開辦學校。這學校不但研究數學、哲學和其他自然科學，而且是個組織嚴密的學術團體和政治團體。入這個團體挺嚴格，有一套秘密儀式，還有一套盟約，組織內講授討論的知識不能外泄，有些神秘兮兮的。而且這組織的人員還控制發(fā)展，大概是考慮其思想和組織的純度吧。

　　這形成的畢達哥拉斯學派在學術上倒確實不錯，但他們也太關心政治了，和貴族黨派結了盟，以致當地的民主力量摧毀了學校，把他們的團體也弄得七零八落。畢達哥拉斯亡命鄰近的米太旁登，公元前497年，也許是他七八十歲的時候，被害于此處。

　　這畢達哥拉斯有句著名的話：“萬物皆數。”那意思是說，這整數是人和物質的各種各樣性質的起因，是宇宙的要素，就像咱們心目中的原子一樣。雖然這在現(xiàn)在看起來有些荒唐，但咱們也不必太苛求他們啦。

　　你想，當時對自然的了解都很欠缺，所以當這些古人們看到“數”在自然界中無處不在，很覺有些神秘。他老人家教導大家說：“看看你自己的周圍，世界上各處的秩序都得服從于和諧和度量，甚至是聲音也得服從于數，天上的星宿，地上的萬物都得服從于它。”

　　確實，有些現(xiàn)象表面上看來完全不同，卻表現(xiàn)出完全相同的數學性質，給他們留下了深刻的印象。想給井然有序和諧地運動著的自然界一個完美統(tǒng)一的解釋，這在今天看來也值得咱們稱贊一聲，相信自然規(guī)律嘛。

　　整數在畢達哥拉斯學派的心目中有如此崇高的地位，所以一區(qū)有新的數發(fā)現(xiàn)，那可是大大動搖軍心的信仰危機，足足會使他們驚恐不已。此是后話，暫且按下不提。

　　畢達哥拉斯對數學的看法，是認為數學上的東西，比如數和圖形，都是一種思維的抽象，同實際的事物是截然不同的。咱們大家都學過幾何上的“直線”，這種數學中規(guī)定的“直線”，您在實際中見過嗎？肯定沒有，現(xiàn)實中到哪去找沒有粗細、只有長度的直線？哪里有什么無限長的線？也從來不存在直而又直的直線！

　　數學中的“直線”，只能是現(xiàn)實中那些“很直”（而不是直而又直）的東西，那些看起來沒有粗細的“線”，所提煉出來的一個高度概括、高度抽象的概念！

　　咱們把這些抽象的概念歸攏到一塊，再用邏輯推理的方法讓它們運動起來，就能產生許許多多新的概念，還有定理，建立起新的數學大廈。

　　就像在幾何的學習中咱們看到的那樣，從不多的一些概念和公理，能推出一系列新東西，這種推理方法就叫演繹推理，演繹證明。

　　使數學成為抽象性的科學，建立了演繹證明，這確實是了不起的一步。

　　“邏輯朗朗，數學首次輝煌”，這首功當歸于畢達哥拉斯學派，當然還有他的老師泰勒斯先生。畢達哥拉斯赫赫有名的幾何發(fā)現(xiàn)，當然是西方人所說的畢達哥拉斯定理了。當然，咱們把它叫做勾股定理也決沒有損害到他的知識產權。在我看來，這個定理兩種名稱都能叫，都是咱地球村的寶貴遺產。當然，咱中國的勾股定理畢竟要早500年發(fā)現(xiàn)。

　　據說畢達哥拉斯在得出這條著名定理，興奮得了不得，認為這是上天的賜予，曾向神供獻顧一百頭牛。所以這個定理在中世紀也叫做“百牛大祭”。殺一百頭牛這未免殘忍了些，違反牛道主義，但也說明了這條定理在古人心目中的地位。那么究竟畢達哥拉斯是用什么方法去證明的呢？一般認為可能是下面這種面積割補的方法。

　　在下面的圖形中，可看到兩個一樣大小的正方形，邊長都是a＋b。

　　第一個正方形分成六塊，即兩個以直角邊為邊的正方形和四個與給定的直角三角形全等的三角形。從第一個正方形中減掉四個三角形，剩下的面積就是。

　　第二個正方形被分成五塊，是一個以斜邊c為邊的正方形和四個與給定直角三角形全等的三角形。同樣，從第二個正方形中還是去掉四個三角形，就留下了那個以c為邊的小正方形，所以剩余的面積是。

　　兩次剩余的面積應該相等（等量減等量嘛），所以當然就應該是＝了。

　　當然這里還要說明，第二個正方形中間的那一塊，確實是邊長為c的正方形。邊長是c不成問題，關鍵是要看四個角是不是直角了。換句話講也就是要用到“直角三角形的三角和等于兩個直角”這個定理。

　　一千五百年前的一位歷史學家認為，畢達哥拉斯學派確定證明過三角形內角和等于 180°，初中的朋友們都知道，要證明三角形內角和，就要用到平行線的性質，所以呢，平等線方面的理論也就歸功于畢氏學派啦。

　　著名的畢氏三數，在上回已經提過。這次回到了畢氏的領地了，自然也要道個分明。

　　畢氏學派用來計算這三個數的公式是：

　　當然這里m必須是奇數，要不然后面兩個式子可就算不出整數了。

　　這三項雖然可以構成畢氏三數，但卻不是全部的數組。各位同學可以和上一回用的公式對照一下，動手試試，便知結果。

　　畢達哥拉斯們用幾何圖形的變換和分割得出了勾股定理，自然是心情振奮，所以就用幾何圖形這種好武器到處開拓，許多代數問題也因此而得到解決。

　　在他們那兒，完全用長度來表示數，根本沒有適當的代數符號，用靈巧的幾何程序去解決代數問題，也許咱們可以把這叫做“幾何的代數”吧�？纯醋竺娴膱D形，大家都會發(fā)現(xiàn)是初中代數課本封面所畫的一個圖形。

　　同學們都知道，給了你兩條已知線段a、b，要求作出一條新的線段x，使得a：x＝x；b，我們可以用a＋b為直徑作一個半圓，然后從a、b接頭的地方作一條垂直線段就是x啦！

　　所以，這線段x的長，就是＝ab的解了。

　　畢氏學派的幾何式代數倒是挺巧妙，但哪里比得上用代數符號，既簡單又方便。

　　說白了吧，他們那種方法是“手工業(yè)作坊”，做出的東西倒很精致，也許還能算藝術品，但效率可差多了，要一題一法；我們用代數符號，那可是“大工業(yè)機械化生產”，一種方法就能處理一大批問題。

　　畢老先生對幾何的這種偏愛，恐怕是內心里面那種追求和諧、追求完美的心理在起作用。而幾何圖形的美更能直接傳達給每一個人。畢達哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的東西都具有共同的特性，這就是部分與部分以及部分與整體之間的協(xié)調一致。”

　　其實咱們每個人都在實踐著畢老前輩的教導，比如說到哪一處名勝攝影留念，很多時候我們都是把自己放在畫面的一側，放在中間就不太好看了。

　　當然也不能太靠邊了，“過猶不及”嘛。一般來說大約站在畫面的 0．618處比較多，比較合適。

　　世界上絕大部分國旗都是矩形。大伙把這百多面國旗拿出來看看，勻稱好看的也大多是那些邊長之比接近0．618的。從古代起人們就似乎有這種感覺，這種矩形特別令人賞心悅目。

　　這樣一個比就叫做黃金比，而一條線段分成這么兩段的話，就叫黃金分割。瞧，多值錢！多被人們看重！

　　那么這0．618黃金之比倒是如何發(fā)現(xiàn)的呢？這就要想到畢達哥拉斯的那段名言了：

　　假如C是線段AB的一個分點。

　　為了使C滿足畢達哥拉斯所講的“部分與部分以及部分與整體之間的協(xié)調一致”，顯然應該有：

　　AB：AC＝AC：CB如果AB＝1，咱們看看AC應該是多少。設 AC＝x，那么

　　就有：

　　1：x＝x：（1－x）

　　人們把它稱之為“美的密碼”，二千多年來如癡如醉。畢氏團體更是把含有這黃金分割點的五角星作為他們的徽記。五角星中的黃金分割點究竟有幾個？其中的黃金分割究竟在哪里？好好的畫上一個五角星，就立即會發(fā)現(xiàn)了。

　　這畢氏門徒們對幾何形體之美是如此神魂顛倒，弄得對什么樣的幾何體都要給個“說法”，以符合宇宙的和諧之美。

　　比如像正多邊體，它們確實對稱，均勻，所有的面都是正多邊形，而且還是都一樣的多邊形，有著一種均衡、對稱的韻律美。像立方體（也就是正六面體），有四個三角形面的正四面體，有八個三角形面的八面體，都是咱們平常經�？匆姷�。

　　畢老先生們就把它們和古代人認為的四種原始“元素”神秘地聯(lián)系在一起：四面體代表火；二十面體代表水；八面體代表氣：六面體能很穩(wěn)地放在地上，就讓它代表地了。

　　怪不得他們的學派弄得神秘兮兮的，原來做學問的時候就有著這毛病。追求美、追求和諧自然不錯，不過一旦“唯美”了就過了“度”，反而把本來是美的弄成不美了。

　　畢氏學派也很崇尚數字之美。他們把 6 叫做完全數，因為 6＝1＋2＋3，而1、2、3是6的全部真因子。

　　28的全部真因子是1，2，4，7，14，而28＝l＋2＋4＋7＋14，所以28也是個完全數。

　　人類對完全數的尋找可真是費了勁。直到1952年，才知道12個完全數，它們都是偶數，其中頭三個就是6，28和496。

　　那么奇完全數是否存在呢？這就成了數論中一個著名的還沒有解決的問題。

　　現(xiàn)如今咱們有不少人，要電話號碼拿汽車牌照，以至于結婚、開張，都想弄個吉利的數碼討個口彩，什么“168”啦，“1898”啦，為弄個數碼花錢托人。要是攤上個“184”，定有幾天幾夜睡不著。

　　不過喀們這些個可愛的土迷信要是到了畢達哥拉斯那兒，可真算得上粗俗不堪土得掉渣，連講究個迷信都沒那份水平。那么畢達哥拉斯們又把什么數看成是大吉大利的呢？這就是親和數。親和數總是成對的，畢達哥拉斯提出的一對親和數是284和220。

　　為什么稱它們?yōu)橛H和數呢？因為，220的真因子是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，l10，其和為284；而284的真因子是1，2，4，71，142，其和為220。

　　你瞧，這兩數倒親親密密，關系不淺，所以那時就把這兩個數分別寫在兩個護身符上，兩個佩帶護身符的人一定能平平安安萬事順利友誼地久天長。這洋迷信還真上點檔次，有點學術水平。

　　奇怪的是，從畢老前輩以后，很長一段時間都沒有發(fā)現(xiàn)新親和數。直到136年，法國數論大家費馬才宣布 17926 和 18416 是另一對親和數。又過了兩年，法國數學家笛卡兒我到了第三對。

　　瑞士數學家歐拉其志不小，他想一勞永逸地解決這個問題，雖然不太成功，但他仍然才氣非凡地在1747年給出了一個30對親和數的表，后來又擴展到超過60對！

　　在這漫漫的尋寶歷史中，還有一件趣事，一個十六歲的意大利男孩帕加尼尼，居然在 1886 年發(fā)現(xiàn)了被人們忽視的、比較小的一對親和數：1184 和1210�，F(xiàn)在，已經知道的親和數有1000對以上。

　　盡管親和數、完全數被畢氏派籠罩了一層神秘迷信的色彩，可這畢竟開拓了數論——這門古老而又年輕的數學學科的道路。

　　畢氏數學“學會”不但從真因子這方面去研究數，而且他們把整數看成是一些幾何圖形的排列。他們常把數在沙灘上用小石子排成某個圖形。

　　1，3，6，10．……這些數叫三角形數，因為相應的點子能擺成正三角形。這第四個三角形數特別使他們神往，因為這 10 等于 l＋2＋3＋4，而這四個數更是神秘地被認為是構成宇宙的基礎呢！

　　在沙灘上不斷地擺弄這些三角形，時間久了當然看出門道來了，三角形數不就能寫成1，l＋2，l＋2＋3，l＋2＋3＋4嗎？

　　這從圖形上來看是很清楚的呀！慢慢地又得出了一般情況

　　得出這樣一個數列的和已經相當不容易了，但畢氏門人更有絕招，正方形、正五邊形，他們都用石子來擺弄一番，得出了更多數列方面的發(fā)現(xiàn)。瞧瞧下面的一些正方形，就是2500年前愛琴海灘上的杰作，數一數就能知道，分別是 1，4，9，16……這些數當然就叫正方形數了。用咱們現(xiàn)在的話來說，就是自然數的平方項：

　　在某一個正方形中（比如說第三個）打上一條斜杠，正方形不就變成兩個三角形了？所以，兩個相鄰的三角形數的和，就是個正方形數，用現(xiàn)在的記法就是：

　　這正方形數的花樣他們還能變出更多。比如說把這正方形的點陣分割成一把一把曲尺，就像我們在圖里看到的那樣，您再仔細看看，每一把曲尺里都是多大的數？從里向外一數就可以明白了，不就是1，3，5，7，……，奇數數列！

　　再把它們加起來，不就是個正方形嗎？于是有：1＋3＋5＋7＋…＋（2n—l）＝n2

　　且說畢氏學派把學問發(fā)展到這份上，就覺著相當滿意了。很對得起自己，也很對得住和諧完美的宇宙了。

　　“萬物皆數”，在他們看來確實是顛撲不破的真理了。當然，他們心目中的“數”，是完美、和諧、有著種種美妙表現(xiàn)的整數。

　　那么當時難道就沒有分數？當然不會。做買賣，搞貿易，測天量地，不可避免會出現(xiàn)“零頭”，要把一個單位，比如說一塊錢啦一尺長啦，分成幾分之幾。就是日常生活，拿了一塊面包分給幾個孩子吃，也要平均分一下，這樣久而久之，當然會有分數的概念了。

　　但是畢氏學派并不把這些分數看作是一類新的數，而是把分數看成兩個整數的比：

　　這么一來，一切都還是整數的天下，完美無缺的世界當然會永遠繼去。畢氏學派把分數看成是倒也很對，我們現(xiàn)在也還是這么看的。

　　而且這么一來，也沒有古埃及人和巴比倫人那一套繁雜的表示了，當然是一大進步。

　　把數和圖形聯(lián)系起來是華達哥拉斯們的一大愛好，什么三角形數啦，正方形數啦等等，從中還發(fā)現(xiàn)了不少美妙的性質。那么這整數之比又用什么圖形呢！當然也有辦法。

　　要表示的話，就把0到1那段線段等分成q份，再取其中的p份，不就成了？這樣，每個分數（按照畢老的意見，是“整數之比”），都對應著直線上的一個點。在這些老前輩看來，直線上的點就這么用完了，不是整數點，就是分數的點。所以，像這樣的無理數居然能在直線上表示出來，對他們來說，簡直是不能忍受的大打擊。

　　這的發(fā)現(xiàn)很可能也是在研究直角三角形時產生的。等腰直角三角形是一個常見的三角形了，如果兩條直角邊都等于 1 的話，那么用畢達哥拉斯定理，當然能得出斜邊應該是的平方根，也就是 。

　　當然那時候這也不是咱們現(xiàn)在這種表示，大家也都把它當成是一個有限的小數，那里想到會出什么事呢？比如巴比倫人，就是用一串六十進制的分數來表示的：

　　想法大家都差不多，但是用畢氏學派的慣用語言來說，那就是肯定也是兩個整數之比，絕對錯不了，否則宇宙不亂了套？

　　這畢氏一派畢竟是講究推理，講究證明，開平方到底是個什么樣“整數之比”，總想問個明白。這種正面尋找的工作究竟做了多少時候，想了些什么辦法，有哪些人從事這項課題，又拔了多少科研經費，咱們現(xiàn)在都不清楚了。不過雖然一直都沒找到這“整數之比”，也都覺得不會有多大的問題。

　　如此一來產生矛盾，那的地位就十分清楚了：根本不可能是兩個整數之比，不可能是分數。

　　一個新的數發(fā)現(xiàn)了。一種新的證明方法也從此得到了運用，這就是上面所用的反證法。不過希帕索斯并沒有因為這兩項成果得到什么科學獎，卻被他的同伴們引到了茫茫的大海上。

　　話說這希帕索斯的發(fā)現(xiàn)在學術討論會上一公布，頓時是議論紛紛，那驚愕的程度不亞于原子彈爆炸。

　　其實咱們細想一下也并不奇怪。實際生活中誰會用到？分數足矣！如果你去買 斤糖，售貨員小姐不給你一個“衛(wèi)生球”才怪呢！說不定還要喊保安。再說了，她也沒法稱��！就是拿最精密的天平，也絕對稱不出來。

　　人們的直覺中，根本沒有無理數的地位，只有當演繹推理的方法一應用，大家這才張開吃驚的嘴巴。在這里，我們看到了另外一種數學之美：邏輯美。

　　再說這畢氏門中之人自然都不是無能之輩，一開始當然是不相信，都想找找希帕索斯的發(fā)現(xiàn)是不是有些毛病，挑出點錯。可日子一久，在那鐵的邏輯推理面前，都只能啞口無言。

　　一邊是苦心經營多年的和諧完美的數的大廈，一邊是不容懷疑、被他們的當作銳利武器的邏輯推理，這真叫“以子之矛，攻子之盾”，學派陷入了兩難境地，思想混亂，信仰危機。

　　這就是歷史上常常說起的“第一次數學危機”。

　　痛苦萬狀的畢氏學者們真不知怎么辦是好。照理來說，痛痛快快地承認，向真理投降，不失為大丈夫氣概，學者風范。但細細一想，卻萬萬不可。且不說心目中那神圣和諧的宇宙秩序傾刻瓦解，就連學派的地位也岌岌可危，鬧不好會全盤崩潰、樹倒猢猻散。

　　于是這幫有著責任感的弟兄們決定再做努力，邀請那位闖禍的哥們作最后的談判。

　　會談是在平靜海面的一條小舟上進行的。希帕索斯真理在握，自然力圖再一次說服大家，但船里的諸位哪能不明白。

　　不明白的是那位希帕索斯先生，大伙的目的是要他放棄“邪說”，以后少說廢話。希先生還想辯個究竟，但見七八只手一起伸過來，來了“一、二、三”，聽“撲嗵”一下，請他一了百了。

　　數學史上一位悲壯的殉道者就這樣產生了。

　　崇尚“美”的畢氏門徒，就這樣否認了“真”，違背了“善”。

　　看來不管什么改革運動，有些人不是不明白要改革，但他更明白改革要改到自己頭上。所以反對起來最起勁。

　　不過也有人說，希帕索斯的那幫弟兄看在多年的情份上，饒他一死，但立即革出教門，請他馬上離開家鄉(xiāng)，自我流放。然后就造了一座假墳，斷了其他人的是非之心。這畢達哥拉斯學派的功功過過咱們已經明明白白，成敗是非咱們也已一清二楚。

　　真可謂：偉哉畢氏學派！創(chuàng)千年數學之基業(yè)，開邏輯證明之先河！悲哉，畢達哥拉斯學派！置偉大發(fā)現(xiàn)于不顧，入“唯美”迷途而不返。由于他們不承認無理數，所以他們認為，結構嚴密的數學大廈只能是幾何。是啊，正方形的對角線在幾何圖形中一點沒困難，一點沒毛病，但是一到了代數、算術中，要用一個他們認為不可能存在的數去表示，確實使這些老先生既頭痛，又迷糊。

　　于是，幾何在希臘數學中占有特殊地位。代數和幾何分成了截然不同的兩部分。

　　一邊是遭到他們冷落的代數和算術，許多方面的問題在那會兒都用幾何方法去解決。古希臘的學者們對“算”沒什么興趣，認為那不過是商人們關心的事，哪能進入神圣的數學殿堂！

　　一邊是備受青睞的幾何。用嚴密的邏輯，嚴格的推理，把它構筑成一座令人贊嘆的宏偉建筑。一直到歐幾里德，集希臘數學之大成，以不朽名著《幾何原本》登上了當時的最高峰，我會在第四回中詳細介紹。

　　上回書中說到中國的墨子談到的分割問題，與古希臘倒也有一段瓜葛。這也并非說有什么產權官司好打，只不過是異曲同工而已罷。

　　那墨老先生是說，把一個物體從中間分開，丟掉一半；再從中間分開，再棄去一半；如此這般分下去，最后剩的就是一點了。墨老先生是公元前五世紀人，和希臘的學者們完全是同時代。那么他的希臘同行們是如何看待這個問題的呢？

　　話說到這兒，也該講個故事給大伙聽聽了。不過，這次的故事還是個進口的，雖然都是些洋名號，聊起來倒是挺有趣。

　　那希臘雅典，本是神話的沃土，什么太陽神阿波羅，戰(zhàn)神阿雷斯，雅典守護神雅典娜，如此等等，真是豐富多彩，琳瑯滿目。

　　內中單道一位善跑之神阿基里斯，雖然沒有與咱中國追太陽的夸父在什么運動會上一決雌雄，相信他倆恐怕也是不分伯仲，一天之內繞地球幾圈沒問題。

　　這一天，不知為的是啥，阿基里斯居然要與烏龜比一比高低。為了表示大度，決定先讓烏龜跑上一百里。

　　比賽尚未開始，有一位智叟在旁放了話。他說阿基里斯永遠追不上烏龜！各位觀眾一聽愣了神，紛紛請智叟說個明白。

　　這位智叟不慌不忙說了一番話：“咱們現(xiàn)在就比方阿基里斯跑的速度是烏龜的十倍。那么當阿基里斯跑完開始的一百里的時候，烏龜又向前爬了10里，等阿基里斯追上這10里，烏龜又向前爬了1里；等冠軍阿基里斯再追上這 1 里，烏龜又走了 1/10 里……，如此一來，你們說阿基里斯能追上烏龜嗎？”

　　眾人想想這道理還真對。后仔細一想，與真實的情況又大不一樣��！被智叟弄得一頭霧水，腦門子想疼了也得不出個所以然，只有作鳥獸散回家睡覺。

　　這種似是而非、充滿著矛盾的問題，就叫“悖論”。“悖”，就是有悖常理的意思。這就是歷史上有名的“芝諾悖論”。

　　提出這悖論的芝諾是公元前495年到公元前480年間的數學家，也是位哲學家。他和他的老師都是畢達哥拉斯派的學者。

　　芝諾先生是位大學問家，當然不會不明白阿基里斯實際上一會兒功夫就能上烏龜。他提出這么個問題，正說明他想得深刻，問得高明，把人們原來模糊的東西，很清楚很尖銳地展現(xiàn)出來。

　　那人們又模糊在什么地方呢？這就是無限與有限的關系。

　　阿基里斯要追上烏龜，就要不停地跑下去。在這不停地跑（也就是“追”）

　　的過程中，他追的路程依次是：

　　100，10，1，0．1，0．01，0．001，……

　　這是無限多個距離，越到后面越小。

　　有人說了，后面數字哪怕再小，總是個有大小的數，那阿基里斯和烏龜不就還是存在距離嗎？比方說，從頭數第10000個數，是 　　不有大小嗎？

　　不錯，你說的有幾分對。如果阿基里斯走到這時停下來了，那兩者之間確實從理論上說有這么點點小距離。

　　但是現(xiàn)在阿基里斯是繼續(xù)地往下追！所以兩者的差距肯定比這要�。“⒒�里斯不停地這么追下去（就像我們在前面所說過的那樣），無限地追下去，那兩者之間的距離可就比你給的任一個很小很小的差距還要小。比方說，你說現(xiàn)在阿基里斯和烏龜相差，那么因為繼續(xù)無限地在追，兩者之差肯定比它小。

　　如果你還有興趣舉一些很小的數的話，回答還是一樣。這樣一來，兩者之間的距離就只能是零了，也就是神跑手追上了烏龜。

　　這里的關鍵就是“無限”，無限地在追！中途停下來可就不成了。

　　通過無限的過程，一直往小里變化的正數可就變成一個固定的常數了。

　　在古代華夏，差不多與芝諾同時，也有對無限的思考。

　　一位是咱們前面提過的墨子。

　　另一位是莊子。老莊先生有句名言：

　　“一尺之棰，日取其半，萬世不竭！”意思是把長一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，一萬年也取不完。

　　這墨子說的也是把東西一分為二，不過他是說，老這么分，無限地分，分到最后就沒有了，變成一點（“零”）。

　　通過芝諾悖論的分析，當然大家知道墨子的話是對的。

　　那莊先生呢？他的話對嗎？

　　如果真是只取一萬年，停下來不取了，那自然是還有這么一小段（不是一點），倒也真是沒取完。

　　不過古代這“萬世”，意思也就永遠不停地取下去。這么一來，莊先生可就要“夢蝶一場空”了，說的就不對了。

　　這無限與有限還真是不一樣。所以就像咱們的圓腦袋不能往方帽子里套一樣，那無限的問題也不能用有限的框框去套。

　　話是這么說，可事到臨頭又會不自主去套以前現(xiàn)成的框框。

　　比如說，那阿基里斯追上烏龜的距離之和應該是：

　　100＋10＋1＋0．l＋0．01＋0．001＋……

　　這么多個有限的數！無限多個！加起來照咱們以前的框框，應當是無限大了！但答案自然不是無限大。

　　瞧，那后面的小數之和：

　　0．1＋0．01＋0．001＋…＝0．1 就是循環(huán)小數 0．l，而 0．1＝1/9，

　　是個有限數！

　　當然，并不是所有無限個數的和都是一個有限數：

　　l＋10＋100＋1000＋……

　　這就是無限大了。

　　所以，無限的世界與有限的世界不一樣，具體問題要具體分析。

　　奇妙的無限世界并不神秘，而徹底揭開這神秘的面紗，已經是離古希臘2000多年后的19世紀了。

　　讓咱們回過頭來再談一番古希臘，然后聊19世紀不遲。

　　再說這古希臘數學，從公元前600年泰勒斯首開證明先河，到公元前300年，著名的歐幾里得《幾何原本》的問世，可謂是成就輝煌的300年，英雄輩出的300年。

　　在這300年中，有三個不同的發(fā)展方向，我們已經談了其中的兩個。其一，是泰勒斯開頭，畢氏學派高擎大旗，后經希波克拉底、歐多克斯等人不斷努力，形成一股講求嚴密和邏輯推理的主流。最后匯入到歐幾里德的《幾何原本》中去，使其成為傲視千年的經典。

　　其二，以芝諾悖論為開篇，有關無窮小、無限以及求和過程的各種概念的萌發(fā)，代表了古代對極限思想的認識，其中又以歐多克斯的窮竭法最合理，最先進。而其余的學者，往往只能用迷朦的眼光看著自己的問題。一直到現(xiàn)代，微積分發(fā)明之后，才得最后的解決。那么，這第三個方向又為如何呢？這倒可以從古希臘幾何中的三大難題或說趣題談起。這三大難題也許大家都知道一些，因為它們很有名，而且有名有了幾千年。

　　這是三個著名的作圖問題：

　　化圓為方問題。就是作一個正方形，讓它與一個給定的圓面積相等。三等分角問題。就是給你一個任意角，把它分為三等分。倍立方體問題。給你一個立方體，讓你作一個新的立方體，體積是原來的兩倍。

　　這三個問題名氣之大，可以說是上下幾千年，縱橫幾萬里。它的有名居然是因為統(tǒng)統(tǒng)作不出圖！是古希臘所謂幾何三大作圖不可能問題。

　　不過，咱們要說得周全一些的話，是尺規(guī)作圖不可能問題。

　　這尺和規(guī)是人類老祖宗最早的作圖工具。

　　所謂大禹治水，是“左準繩，右規(guī)矩”，這是前面說過的老話了。不知古希臘人讓哪一位神靈執(zhí)規(guī)拿矩的，反正不會沒有。

　　在古代，這國家元首級的人物才拿有規(guī)矩，可見這尺規(guī)在古人心目中神圣的地位。“規(guī)矩”一詞在以后更轉化或規(guī)則、準則的意思，也可知用尺規(guī)作圖是當時作圖的主要手段。

　　尺規(guī)的作用這么一神化，立即變得崇高偉大。喜歡事事講理由、處處要嚴格的希臘人又給自己作圖立了個“規(guī)矩”：只準用直尺和圓規(guī)去做幾何中的作圖題。

　　而且這直尺是沒有刻度的，直尺和圓規(guī)也不能使用無限多次。實際上作圖，誰又能用無限次尺規(guī)去畫圖呢？但是希臘人做這么個限制，說明他們考慮得周密：不但實際上不允許你無限次地使用作圖工具，而且想象中的無限次使用也不允許。

　　用尺和規(guī)確實能作出許多的幾何圖。也許是太多了，古希臘人認為它們簡直是無所不能了。所以對于尺規(guī)不能作的圖，自然吃驚。

　　比如說等分一個角。兩等分，也就是平分，是很容易用尺規(guī)辦到的事。所以大家很自然地想到將角三等分。再說了，將一條線段任意等分，是件再簡單不過的事了，為什么對角要說“不”呢？

　　但是，用直尺和圓規(guī)確實不能三等分角，這是早已得證的了�，F(xiàn)在還有許多人在撞運氣，試圖想各種辦法，用尺規(guī)作出來，那真是所謂“癡心妄想”。奉勸諸位不要虛耗精力在這類不可能問題上。

　　對一些特殊的角，比如90°角，用尺規(guī)那是可以三等分的。但對60°角就不行了。不過我們要用一把有尺度的直尺，那任意角都可以三等分。

　　一半圓。在直尺上刻A、B兩點，使得AB＝r。然后呢，就保持B點在半圓上，滑動直尺，使A點在角x的延長線上，

　　同此，直尺還要通過x角的終邊與半圓的交點。最后按住直尺，畫一直線，那么角 就是。yx三分之一

　　有興趣的朋友可以自己證明這一點。

　　這種方法古希臘人也早就知道了（多聰明），但他們的游戲規(guī)則卻宣布這么做不算。

　　巧妙的方法還有的是。古希臘的尼哥梅德斯（約公元前240年），設計了一種工具，可以畫出一種叫蚌線的圖形來。用這個“蚌”，就能三等分一個任意角。

　　什么叫蚌線呢？大家看一看圖就可以明白，就是從直線一點 O，畫出無數射線，與直線RS相交。在這些射線上都從交點起，截取相同長度的線段a，那么這些線段端點的幾何軌跡就是蚌線。

　　下面我們就可以享受一下發(fā)明的成果了。

　　從∠AOB的OB邊上取一點K，作KL⊥OA。再按點O，直線KL作出蚌線，并且線段a＝ZOK。過K作KN∥OA，交蚌線于N，再連結ON，就大功告成了：

　　如果咱們作出MN的中點P，連結PK，就能很輕松地證出結論。

　　關于三等分角，從古到今想的辦法真叫“不計其數”。古希臘的人在想，近現(xiàn)代的人也在想。不過不是用尺規(guī)作圖，而是發(fā)明一些工具，或者突破對尺規(guī)作圖的限制。

　　比如說在上世紀（對數學來說這并不是個古老的年代，我們大部分人只有在大學才學到一點點本世紀的數學），有位叫斐耳科斯基的先生給出了一種“漸近”的方法，按照他的方法，你作圖的次數越多越準確。如果無限多次作下去（這自然是不可能的），就可以精確地得到所求等分線�；仡^再說說化圓為方。

　　在三大不可能作圖問題中，最具傳奇和文學色彩的要算倍立方體問題。據說在公元前五世紀的雅典，原本歡樂活躍的都市突然變得死氣沉沉。卻道為何？原來此地正受瘟疫襲擊，千樹薛荔，萬戶蕭疏。

　　幸存下來的人用虛弱的身體匍匐在太陽神的神殿下，祈求阿波羅高抬貴手，放咱們下界百姓一碼。

　　一片哀告聲上達天廷，阿波羅終于有了憐憫之心，傳下神諭：“只要諸位把神殿的立方體祭壇擴大一倍，那么悲傷和憂愁將一去不回，歌舞升平的日子就會到來。下界的愚民們，好好干吧。”

　　雅典人聽了以后自然很高興，立刻重新做了個立方體祭臺，邊長是原來的兩倍。認為這滿足了阿波羅的要求。

　　誰知瘟疫仍然瘋狂肆虐，大家似乎覺察到太陽神的震怒。是不是沒給他老人家把事辦好？于是，立刻再請各方高士到祭壇前緊急研究，這才發(fā)現(xiàn)體積竟然是原來的八倍，而不是兩倍！

　　后來這個問題就成了文人雅士們津津樂道的話題了，自然也發(fā)明了不少工具，想了不少不用尺規(guī)的辦法。

　　這三大問題好像談不上有什么實際意義。但是，數學的難題往往有這樣的特點，它們能激發(fā)起研究的興趣。有時雖然問題本身并未解決，但是卻發(fā)展了豐富了其他一系列問題，甚至于能啟動一門新學科！大數學家們都把這樣的難題叫做“能下金蛋的母雞”。

　　這三大不可能問題雖然最終證明是不可能的，但卻引發(fā)了對圓和直線以外的曲線進行研究的興趣。而卓有成就蔚然而集大成者，就是后面與各位見面的阿波羅尼斯！

　　希臘人在古代就對這些復雜的曲線有那么多深刻的認識，廣博的知識，與那只能下金蛋的母雞大有關系！

　　與同學們談了多時希臘數學，當然要攀登一下它的高峰《幾何原本》。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。