第四回  東方中國  《九章算術(shù)》標青史

　　        西域雅典  《幾何原本》傳百世

　　《幾何原本》的版本竟育一千多個，在西方僅次于《圣經(jīng)》。對“輾轉(zhuǎn)相除”、“盈不足術(shù)”你一定感到很新奇，不過兩千年前的《九章》早就有了記載。畢氏定理意和“新娘的椅子”有關(guān)系。柏拉圖在門口掛了個牌牌：“不懂幾何的人不準入內(nèi)。”

　　同學(xué)們看完回目也許納悶：上一回中說得好好的要談?wù)劇稁缀卧�本》，如何又出來個《九章算術(shù)》？此兩書可否相提并論？

　　大家有這些問題倒也并不奇怪。歷來西方學(xué)界常常只提《原本》如何如何了得，忽略中國古代算術(shù)的獨特成就。大家學(xué)到初中，也往往只知有《原本》，不知有《九章》，都因為咱們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)體系，全以《原本》為藍本。

　　其實，兩篇巨著都是名標青史、流傳百世的大手筆，各有千秋，各領(lǐng)風(fēng)騷，各辟蹊徑，代表了數(shù)學(xué)發(fā)展的不同方向呢！

　　再說，雖然《九章》不知出自何人之手，而《原本》是由自歐幾里德著，但兩書成書的年代（那時不能叫出版，沒出版社，都是手抄本），大約都是公元前二三百年間，《幾何原本》要稍稍早一點。

　　花開兩朵，各表一枝，讓我分頭說起。

　　且說古華夏文明在開始的幾干年確實是燦爛，確實夠輝煌。就從數(shù)學(xué)這方面說，咱們在前面已經(jīng)看到，拿過好幾項世界冠軍：十進制位值記數(shù)法，最早的先進計算工具算籌，《周髀》中介紹的勾股定理、日影測量以及復(fù)雜的分數(shù)運算。

　　《周髀算經(jīng)》中分數(shù)運算已經(jīng)很令我們吃驚了，在那樣繁雜的分數(shù)除法中，很正確地使用了分數(shù)的基本性質(zhì)，達到了熟練運算而法則也了然于胸的程度，不簡單，堪稱世界第一。

　　不過，比起《九章》中的分數(shù)運算來，《周髀》就比較遜色了。《九章算術(shù)》中的分數(shù)運算法則系統(tǒng)明確，除了約分等的步驟與今略有不同外，其他運算法則與如今的完全一致。

　　那么《九章》又是一本什么樣的算書呢？起自何代？出自何人之手？內(nèi)容有哪些？下面我就——道來。

　　我國古代數(shù)學(xué)典籍，是十分的豐富。其中尤以“算經(jīng)十書”最為寶貴。這“算經(jīng)十書”是幾千年來，輾轉(zhuǎn)相傳的中國古代算術(shù)的精華本，使得中算傳統(tǒng)一脈相承，具有自己的特征和風(fēng)格。而《九章算術(shù)》正是《算經(jīng)十書》中的最重要一部！后世為《九章》作注解的，學(xué)習(xí)《九章》進而研究并成正果的，把自己作的書也稱為什么什么九章的，大有人在。

　　《九章》，標志著我們中國初等數(shù)學(xué)體系的建立，所以在隋唐那時候，國家當(dāng)時就在相當(dāng)于現(xiàn)在的國立大學(xué)里，設(shè)立算學(xué)專業(yè)，用的教材就是《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》。

　　說了半天，這《九章算術(shù)》到底是什么時候由什么人寫成的呢？由什么人寫成的，這已經(jīng)很難考證出來了，除非以后在地下挖到的什么“簡”上有另外的說法。不過從這本書的情況來看，很可能是經(jīng)過許多人輾轉(zhuǎn)傳抄，再加上批注一番，或者增加一些，才成了一本書。

　　那么這本大約又是什么時候?qū)懗傻�？這也好像不能完全肯定。有人認為是西漢時期；有人認為與《周髀》同時。不過成為我們現(xiàn)在看到的這種樣子

　　就比較晚了。

　　現(xiàn)在流傳的是劉徽加了批注的本子了。劉徽“幼習(xí)九章，長再詳覽”，也就是說小時候認真細致地學(xué)習(xí)《九章》，長大后更進一步詳加研究，于是成為名聞中外的數(shù)家大家。

　　那么《九章》究竟又有些什么內(nèi)容呢？

　　它是一本數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題集，一共收集了246個問題。

　　說到這兒，可能有些朋友會感到心煩，在學(xué)校、在家里被習(xí)題集折磨得已經(jīng)夠嗆，想弄本演義輕松一下，不想又碰響了地雷。

　　要我說那《九章》里面的246個問題不是什么題目，咱也不敢昧著心瞎蒙。不過，那古人的意思是借題說“法”，說算理，講述一般的原則，比如像約分通分啦，方程的解法啦等等。所以，這至多是一本通過例題來講解方法和原則的書籍，倒根本不是那些搞題海戰(zhàn)術(shù)的習(xí)題集。

　　《九章》采用的是“問——答——術(shù)”這樣一種編排的方法，就是先提出問題，再給出答案，最后得出一般的算法。

　　這算法咱們不要簡單地認為就是計算的方法，而應(yīng)當(dāng)把它看作是解決問題的方法來得更得當(dāng)。當(dāng)然，這解決方法可以是比較具體的，也可是解決一大類問題的一般方法，自然也可以包括計算的方法。

　　不過這算法不能是泛泛而談，而是要有具體的步驟，告訴人，一步一步該怎么做。

　　那《九章》里面的“術(shù)文”就是表示算法的，也就是一個程序，而且確實可以用計算機程序設(shè)計語言把這些程序?qū)懗鰜恚�上計算機運算。

　　現(xiàn)在還有人更想得深刻，也比喻得很生動。他們認為那在古中國時時在用的算籌就好像是計算機的硬件，而“術(shù)文”則是軟件。有軟有硬，形成了傳統(tǒng)中國算學(xué)的程序化計算的風(fēng)格。

　　這樣一種與電腦的使用相映成趣的古今局面，自然引起國內(nèi)外有關(guān)專家的興趣和注意。

　　從《九章算術(shù)》起，中國古代數(shù)學(xué)著作大多沿用了“問——答——術(shù)”這么一種形式，你看，影響多大！

　　在書中的這246個問題中，有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)，有的是一題多術(shù)。而且整本書都按實際應(yīng)用分為九部分，這就是“九章”的來歷了。

　　這九章分別是：方田、粟米、衰（cuī）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。

　　所謂方田章，主要就是計算各種形狀的田畝，有方形的，等腰三角形的（叫“圭”田），直角梯形（“邪田”），還有什么“箕田”（等腰梯形），圓田（圓形田地），弧田（弓形）等等。

　　方田章先明確方田的算法：“方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步。”又說“廣從里數(shù)相乘得積里”。方田，就是正形或長方形的田地。

　　這里的“廣”，就是寬。“從”就是“縱”，也就是長，“廣從步數(shù)相乘”所得到的就是面積的步了（平方步，那時還沒有這概念）。

　　對于圭四（等腰三角形）的面積，是這么求的（“術(shù)”）：“半廣以乘正從。”“正從”，就是等腰三角形的高。“半廣”，當(dāng)然是指“廣”的一半了。所以當(dāng)然有：

　　那么一般的三角形為什么就沒有招“術(shù)”了呢？可能是等腰三角形沿高對稱一裁，再移過去一拼，就是一個長方形了。而一般的不等腰三角形就不太好拼了。想想這些古人也真不容易，研究了半天，還只能得個等腰三角形的面積。

　　《九章》中對梯形的面積，給出的“術(shù)”也完全OK。而對圓型的面積計算，有的正確，有的就不對了。

　　咱們現(xiàn)在看看《九章》方田章第31問。原汁原味，抄錄如下：“今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？”“答曰：七十五步。”這里面“問”和“答”都有了。

　　“問”中是說，有一塊圓形的田，周長是三十步，而直徑是十步，請問這塊田面積多少呢？這里周長與直徑之比，也就是圓周率，是 3，自然很不精確。劉徽先生在幾百年后的三國時期（他是魏國人）看到這圓周率 3，自然覺得有補充、更改的必要，所以就很詳細認真地進行了研究，并發(fā)表了論文（他很謙虛地用給《九章》加注的形成公布了他的光輝論著），咱們在后面會慢慢談起他的這些偉大成就。

　　那么，計算圓的面積，為什么給了周長，又給直徑呢？那不是多給已知條件了嗎？

　　實際上并不是這樣，而是因為隨后給出的招“術(shù)”中，有四個計算公式，都是利用圓周、直徑表示的。

　　“術(shù)曰：半周半徑的相乘得積步。又術(shù)曰：周徑相乘，四而一。又術(shù)曰：徑自相乘，三之，四而一。又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。”

　　瞧瞧，一下子給出了四個“術(shù)”，或者說四個解題的程序：

　　圓面積＝半周×半徑，

　　這里，都是把圓周率取為3。你用圓周率3，可以很方便地在這四個公式之間互推。

　　平面圓形面積當(dāng)然好算一些。那么，體積在《九章》中又有什么“術(shù)”呢？

　　體積的算法集中在商功章里。商功章里首先就給出了城墻啦，堤壩啦，溝渠啦等等的體積，這些體積好算，大家在小學(xué)就學(xué)過，不外乎截面積乘以一個長度，而截面大多又是個等腰梯形。商功章中給出的術(shù)文是：

　　“并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。”那個“上、下廣”，就是截面等腰梯形的上、下底；而“高、深”，就是截面的高；而“袤”、就是城墻溝渠堤壩之類的長度了。很顯然，這個公式與現(xiàn)在的計算是分毫不差，值得贊嘆。也難怪，春秋戰(zhàn)國一直到秦始皇，修長城筑城墻挖溝渠都成了小小老百姓每年每日的功課了，再算不好體積，量不出土方就對不住偉大的秦始皇們的栽培了。

　　這個圓柱體呢，在那時叫“圓■■”（bǎodǎo），也就是一個土碉堡，土炮樓子。劉徽說：“■……謂以土擁木也。”也就是用木頭搭個架，然后用土擁上去，成一個小土堡。

　　可見那時候莊圓主們的土炮樓比比皆是，使得《九章》作者的腦子里的印像，圓柱體就是土堡子了。

　　圓■■的計算“術(shù)”是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是：

　　考慮到那時候3是圓周率，那么這個公式是一個精確的、正確的公式。

　　如果不準，那是因為圓周率。

　　《九章》中的“方亭”、“圓亭”也很有趣，大家想想，亭子這種建筑大體是什么形狀呢？大體上是上面小一些，下面大一些，也就是我們所謂的臺體。

　　所以“方亭”、“圓亭”，就是今天的正四棱臺和正圓臺。像這種臺體的體積，算起來是很復(fù)雜的，差不多要到高二才能學(xué)到。我們在前面提到過，古埃及曾正確地寫出它的公式，那可是古埃及數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠。

　　而在商功章中，對方亭、圓亭的“術(shù)文”分別是：

　　“上、下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。”

　　“上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。”

　　這其中所謂的“并之”，就是相加的意思。而上、下方指的是正四棱臺（就是一個正四棱錐截去一個尖頂）上、下底面的邊長；而上、下周是正圓臺上、下底面的周長。

　　瞧瞧，比古埃及的成就毫不遜色，而且還多一樣圓臺（下面我們會看到，還有多得多的在等著）。

　　許多西方的學(xué)者把埃及人的公式稱為“最偉大的金字塔”，“了不起的成就”。這些稱贊也許都還算恰如其分。不過，好像他們沒想到中國。

　　中華古算在體積、面積的計算方面是當(dāng)之無愧地領(lǐng)導(dǎo)世界新潮流。

　　在上面第二個式子中，分母為什么是36呢？這也是因為在分子中底面面積的計算是通過周長而來的，把周長用半徑換掉，并且圓周率取 3，那么就得出和現(xiàn)在任何一本教科書，任一本數(shù)學(xué)手冊上一模一樣的公式了。偉大！如果那些對古埃及的成就感到驚訝的西方學(xué)者，看到下面的公式，他們肯定會再一次對華夏文明產(chǎn)生深刻印象：

　　這兩個公式比臺體體積公式自然要簡單一些，但也是來之不易。不可能想象，我們的祖先都是一個一個公式通過大量的實例逐漸試出來的，肯定有某種推理和推導(dǎo)和過程，只不過他們認為不重要而省略了。從以上咱們可以看出，我國幾何偏重于實際運用，與希臘幾何編于證明推導(dǎo)完全不同。但到三國時代，趙爽、劉徽兩位大數(shù)學(xué)家對《周髀》和《九章》作了很多重要的補證，嚴密而又精巧，在我國數(shù)學(xué)的發(fā)展上起到極其輝煌的作用。

　　講了這么多的《九章》中的幾何，其實，《九章》中成就最輝煌的還是算術(shù)和代數(shù)，它遠遠超過公元270年左右的古希臘水平。

　　咱們現(xiàn)在學(xué)習(xí)分數(shù)，一般在小學(xué)就可以完成了，名副其實的“小兒科”。但現(xiàn)在這一套運算法則，性質(zhì)等等，歐洲的洋人們一直到15世紀以后才逐步形成。原因就是因為一開始，隨著巴比倫人走進那六十進分數(shù)的繁雜迷宮里去了。

　　咱們中國人可就幸福多了，《九章算術(shù)》是全世界系統(tǒng)地敘述和形成分數(shù)算法的最早著作，這個“早”還不是一般的早，而是整整早了1500多年！當(dāng)然，那時的分數(shù)理論和算法與現(xiàn)在的稍稍有些不同，但這種不同決不是本質(zhì)的。

　　《九章》中對分數(shù)是這么定義的：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”這里的“實”就是被除數(shù)，“法”呢，就是除數(shù)。上一句話也就是：“被除數(shù)除以除數(shù)，如果不能除盡，便可以用法定義一個分數(shù)。”

　　為什么那除數(shù)叫“法”呢？其實，“法”就法律規(guī)定下來的單位量度。除法，實際上就是看看被除數(shù)里面有多少除數(shù)，那除數(shù)不就相當(dāng)于比較、度量的單位嗎？

　　咱們在前面已經(jīng)看過了，“三十六之一”，“八分之四”，等等，都是書中的分數(shù)。

　　所以，以分母為“法”，為標準，分母相同的分數(shù)自然歸為一類；而不同的就不是一類。

　　異分母不能相加減，這在《九章》已有認識了。所以，要通分。當(dāng)然也要有約分，這都在《九章》有清楚明白的敘述。

　　約分術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”

　　其中所說的“等數(shù)”，就是最大公約數(shù)。求“等數(shù)”的辦法是“更相減損”法，實際上就是輾轉(zhuǎn)相除法。

　　輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)，是一種比較好的方法，比較快。

　　對于52317和75569兩個數(shù)，你能迅速地求出它們的最大公約數(shù)嗎？一般來說你會找一找公共的使因子，這題可麻煩了，不好找，質(zhì)因子大。現(xiàn)在教你用輾轉(zhuǎn)相除法來求最大公約數(shù)。

　　先用較大的 75569 除以 52317，得商 1，余數(shù) 23252，再以 52317 除以23252，得商2，余數(shù)是 5813，再用 23252 做被除數(shù)，5813 做除數(shù)，正好除盡得商數(shù)4。這樣5813就是75569和52317的最大公約數(shù)。你要是用分解使因數(shù)的辦法，肯定找不到。

　　那么，這輾轉(zhuǎn)相除法為什么能得到最大公約數(shù)呢？下面我就給大伙談?wù)劇?/p>

　　在這種方法里，先做除數(shù)的，后一步就成了被除數(shù)，這就是輾轉(zhuǎn)相除法名字的來歷吧。

　　一般用輾轉(zhuǎn)相除法，都列成下面的式子：

　　這就是一開始說的那題。

　　不過，《九章》中的輾轉(zhuǎn)相除法略有些不同，它叫“更相減損”，是輾轉(zhuǎn)相減的方法。這也很好理解，除法就是一種連續(xù)地減去除數(shù)的一種簡便運算，一直減到結(jié)果比除數(shù)小為止。

　　比如我們用“更相減損法”來求 91 和 49 的最大公約數(shù)，可以由 91 減49一次，得余42；再由49減42一次，余 7；更由42減7，這一回要減五次，余的還是7，再減，就是0了。那么這個7就是91和49的最大公約數(shù)。

　　這個7就是約分術(shù)中所謂的“等數(shù)”，因為減得結(jié)果和最后一次的減數(shù)相等了，就叫等數(shù)。

　　輾轉(zhuǎn)相除法在小學(xué)中學(xué)都沒教過，恐怕是有點難講清其中的道理。不過，兩千多年前的古人居然有此創(chuàng)造，咱們后人再學(xué)不會，可就慚愧了，何況這還是一種很實用的方法。

　　總而言之，分數(shù)的加、減、乘、除在《九章》已有完備的“術(shù)”了，咱們上面只不過說了比較精彩的一些罷了。中國的分數(shù)這一套東酉，是對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的重大貢獻。印度人后來學(xué)了去，把籌算改為筆算，再后來阿拉伯人又傳到歐洲，這才把歐洲從巴比倫六十進制分數(shù)的受苦受難中解放出來。不過那已經(jīng)是十五世紀了。

　　此外，《九章》中還提出了正、負數(shù)運算的法則，遠遠比其他國家為早。

　　且說《九章》中還有一樣十分有趣、十分精巧的解題方法，后來在歐洲被稱為“雙假位法”，特別受重視。在 16、17世紀，歐洲人的代數(shù)學(xué)還未發(fā)展的時候，竟稱霸數(shù)學(xué)王國，成了一種萬能算法。這就是所謂“盈不足術(shù)”。典型常見的有這么一題：

　　“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？”說的是許多人合買一件東西，每人出錢八，多出了錢三（即“盈”）；每人出錢七呢，又少錢四。那么人數(shù)和物價各是多少呢？

　　《九章》中給出的算法程序（“術(shù)”）確實很巧妙，而又科學(xué)精煉。兩千多年前能達如此成就只能說是奇跡。它給出的方法是這樣的：

　　首先，人數(shù)的計算很簡單，每個人兩次出錢，相差為 8—7＝1；這是所謂“一人之差”。而“盈不足為眾人之差”，也就是說由于每個人兩次出錢都差一點，導(dǎo)致了最后有3個“眾人之差”，大家相差的就是“盈”的三塊錢和“不足”的四塊錢之和，“眾人之差”是七塊錢。“以一人之差約眾人之差，故得人數(shù)也”。咱們現(xiàn)在以7 除以 1，就得到了人數(shù)是 7 人。下面再來算算買一件東西，不多不少錢正好的話，每人應(yīng)該出多少錢。

　　古人是用比例來想這個問題的。這可以這么想，很巧妙：

　　如果每人出8塊錢，買一樣?xùn)|西，就多出3塊錢，那要乘以4倍呢？不就是出8×4＝32塊錢，買到4樣?xùn)|西，多3×4＝12塊錢了嗎？為什么要乘以4呢？這4不就是那不足之?dāng)?shù)4嗎？

　　所以對每人出七塊錢買一件東西從而不足了4塊，咱們當(dāng)然可以讓它擴大3倍，變成每人出7×3＝21塊錢，買3樣?xùn)|西，就少了4×3＝12塊錢。

　　這么一處理，就讓兩次多的和少的錢相同了。于是通通相加，也就是每人出8×4＋7×3＝53塊錢，買 4＋3樣?xùn)|西，第一次多的12塊與第二次少的12塊相抵、變成不多不少正好。

　　那“盈不足術(shù)”中的物價是如何推得的，相信大家不會使古人失望的。令人感到有趣的是，用這種方法還可以解一些看起來根本就不是盈不足的問題：

　　“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸。瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日相逢？瓜瓠各長幾何？”

　　說的是一堵墻高九尺，墻上是瓜蔓，墻下有瓠蔓，各向中間長，速度都是已知的，何時相逢。

　　《九章》中是這么做的，你看絕不絕：

　　如果長了五天，那瓜蔓長3．5尺，瓠蔓長5尺，還不足0．5尺。如果六日之后呢，瓜蔓長4．2尺，瓠蔓長6尺，又多出1尺2寸。這樣就轉(zhuǎn)化成了盈不足問題了，再用“盈不足術(shù)”來解就會有：

　　這“盈不足術(shù)”在那時的作用可真是算得上萬能的了。后來這方程術(shù)就進一步發(fā)展了演算程序化的傳統(tǒng)，使古代籌算進一步達到完善的水平。

　　《九章》中的方程都是多元的一次方程組。這樣的方程組又叫線性方程組，因為每個未知元都是一次，方程表示的曲線都是直線（或平面），所以叫線性方程。下面就是用今天的符號給出的一個線性方程組：

　　解這個方程組不是什么難事，常用的是加減消元法。在解的過程中大家都會覺察到，對于一個線性方程組來講，它的解是多少，有解沒有解，起關(guān)鍵作用的，是各變元的系數(shù)和常數(shù)項，所以人們往往把這些系數(shù)、常數(shù)項按順序排成一個“陣”——叫矩陣：

　　只要對這個矩陣進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，就能知道有沒有解，解是多少等等。比如說對矩陣的任意一行，都可以乘以一個不為零的數(shù)，進行變換，因為相應(yīng)的方程也可以進行這樣的變換。

　　人們利用矩陣來討論線性方程組，可就方便多了。而且矩陣的提出使得人們能在更高更抽象的層次上研究問題，也就使得問題的解決更深刻更一般。可以說，數(shù)學(xué)概念的每一次提高和抽象，都會帶給我們豐碩的果實。

　　不過，大家享受到矩陣帶來的成果，那可是十八世紀的事了，那時才解決了線性方程組的一般理論。

　　但是，在《九章》中，就已經(jīng)出現(xiàn)了矩陣的運算，矩陣的變換�！毒耪隆分薪饩�性方程組的“術(shù)”，就是利用矩陣的各種變換完美解決的。

　　當(dāng)然，當(dāng)時的矩陣是算籌提出來的。通過對這樣一個算籌提出的矩陣進行“遍乘”、“直除”這些變換，解出線性方程組。這和現(xiàn)在的思想是完全一致的。

　　可以說，這在世界上是最早的先進數(shù)字方法。

　　《九章》中的第九章，就叫勾股，專門討論勾股定理的各種應(yīng)用。從此，“勾股術(shù)”成了中國數(shù)字中一個傳統(tǒng)保留項目了。

　　《九章》中的勾股應(yīng)用，已經(jīng)相當(dāng)深入了。比如有這樣影響后世的趣味題：

　　“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”

　　說的是有一個邊長為一丈的方形池子，正中央長著一棵“葭”（jiā，初生的蘆葦），水面以上部分是一尺�，F(xiàn)在把這棵“葭”拉斜到岸邊，頂正合與岸齊平。問水有多深，蘆葦有多長。

　　《九章》中是這么教你解題的招“術(shù)”的：

　　“半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，余，倍出水除之，即得水深。加出水?dāng)?shù)，得葭長。”

　　咱們要是用今天的符號來說的話，比如設(shè)池的半個邊長為a，池深b，葭長為c，那么按“術(shù)”則有：

　　給了個公式，請你證一證、推一推對不對，也許比較容易；沒有公式要尋找出來，可就有難度了。

　　這么個有趣的題目自然引起大家的胃口，據(jù)說好像還出口過，外匯自然是沒賺著了，也就是增進各國人民的友誼吧。

　　這出口的國家似乎是印度。印度有本古算書上寫著這么一首詩：

　　“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊。漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”

　　這本印度古算書遲于《九章算術(shù)》，所以有人估計是從中國傳抄過去的。

　　這是完全可能的。說不定玄奘大和尚用它換回了兩冊經(jīng)書也未可知。

　　《九章》中還有其他一些勾股互求的公式，如：

　　這里a、b、c分別是勾、股、弦。此外還有計算直角三角形內(nèi)切圓直徑、內(nèi)接正方形邊長的公式。對于這些正確無誤的公式，我們只能除了表示佩服以后，再也不能有其他更好的評論了。兩千多年前的中國人能把學(xué)問做到這份上，真能算得上超一流水平。

　　咱們中國古算歷史上的明珠，就大致地說這么一些，現(xiàn)在也該欣賞一番西方數(shù)學(xué)的明珠——《幾何原本》了。

　　且說這《幾何原本》四字，現(xiàn)如今人人皆習(xí)以為常。而“幾何”，也已成為現(xiàn)在研究空間形式這一重要數(shù)學(xué)分支的名稱了。

　　豈不知那歐氏的傳世之作，原只叫《原本》（Elements），“幾何”原意是多少，利瑪竇等在翻譯《原本》的時候，認為這本書是所謂“度數(shù)之宗”，也就是數(shù)學(xué)的老祖宗了，所以取名為《幾何原本》。要說這《原本》，雖然作者是歐幾里德無疑，但他老先生的原著已經(jīng)找不到。不要說原著，就是那個時代的手抄本也絕了跡。《原本》現(xiàn)在的版本，都是以亞歷山大里亞的泰奧恩的修訂本為依據(jù)。泰奧恩，公元四世紀末人，離歐幾里德的時代有700多年了。泰奧恩修訂本的抄本，再加上他講課的記錄，以及后來十八世紀在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)的一本希臘手稿，這些就成為研究《原本》的珍貴資料了。

　　那歐幾里德把這本書起名叫《原本》，他的本意就是寫一本數(shù)學(xué)中一般原理和定理的書籍。“elements”這個詞，古希臘就是指的最基礎(chǔ)的，最重要的，就像字母是構(gòu)成語言的基石那樣。事實上希臘文中的“字母”，就是這個詞。

　　所以，和平常的想法不一樣，歐幾里德的《原本》不是單講幾何的，它還包括相當(dāng)?shù)臄?shù)論和初等代數(shù)，可以說是對希臘數(shù)學(xué)的古典時期的一個系統(tǒng)整理。

　　其實在歐幾里德之前，古希臘已經(jīng)有不少人寫了一些數(shù)學(xué)原理之類的書�？墒恰对�本》一出現(xiàn)，立即就受到最大的重視，而那些以前類似的書根本就沒有流傳下來。好像是大樹之下的小草，那個叫做歷史的老頭，根本就沒把它們放在眼里。

　　從1482年的第一個版本出版到現(xiàn)在，已出現(xiàn)了一千多個版本。兩千多年來，它對整個數(shù)學(xué)的影響是無與倫比的。在西方，除了圣經(jīng)以外，沒有任何著作能像《原本》那樣被廣泛引用、認真研究、奉為至理。

　　那么這本書到底成功在什么地方呢？是不是因為包括了許許多復(fù)雜的知識，精巧的問題，從而使它有了不朽的聲名呢？當(dāng)然不是。要是編編習(xí)題集或是什么大全能來個流芳百世，那也太容易了點。

　　歐幾里德的主要功績，倒不是發(fā)現(xiàn)了多少定理，而是把多少世紀以來積累下來的所有幾何知識組成一個體系，一個由邏輯規(guī)律排列整理得井井有條、從簡到繁的定理系列。命題和定理在《原本》里，不是沒有聯(lián)系地雜亂地堆在一起，而是有一種前后的邏輯順序，清晰而又嚴謹。

　　好在咱們都學(xué)過平面幾何，都熟悉這么一種井然有序、前后一致的風(fēng)格。當(dāng)然，某條定理是怎么證出來的，根據(jù)是什么，一般都可以追溯到；但是這么一直地往前頭追源頭，追到最后必定有一些“根據(jù)”，有一些理由是不能再往前追了，或者說，我們追到源頭、起源了。

　　這些不用再證明的東西就把它們作為不成問題的真理接受下來，就叫做公理。

　　由幾條不多的公理出發(fā)，就可以推出許許多多的定理，構(gòu)筑起幾何的宏偉而又嚴謹?shù)拇髲B，歐幾里德是這么做的第一個人。

　　把思想用公理形式確立起來，表達出來，就叫做公理化的方法。也許，它是古希臘數(shù)學(xué)的最偉大的成就。所以有人說了，《原本》的內(nèi)容固然重要，但那些內(nèi)容借以表現(xiàn)的形式更為重要。“公理的方法”在今天已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的每個領(lǐng)域了，而世界上第一個公理體系，當(dāng)然就是《原本》了。

　　歐幾里德作為公理化的老祖宗，自然也是著作頗豐，起碼寫了十部書，而且保留下來的也不下五部。比如說，他寫過《二次曲線》，是講橢圓、拋物線等圓錐曲線的；還有兩本，一本叫《辨?zhèn)涡g(shù)》，包括一些正確的和錯誤的證明；還有一本《數(shù)據(jù)》。這兩本可能都是練習(xí)題和訓(xùn)練手冊，是教育學(xué)生用的。也有人說，《原本》也是一本最早的教科書。但是歐幾里德的《原本》真有點太那個了，太有點光芒四射了，不但使得周圍的人相形失色，也使得他自己的其他成就被掩藏得看不清楚。其實，他的其他著作，如果是別人寫的，也足夠輝煌和炫耀一番的。他甚至還寫了《光學(xué)》和《鏡面反射》這樣的物理著作呢！

　　已經(jīng)數(shù)不清有多少人從《原本》中接受到教益，接受到偉大的啟示，或者很可能改變了他人生的道路。不過我們可以肯定，沒有一位自然科學(xué)家沒學(xué)習(xí)過《原本》，沒有為《原本》那嚴密的邏輯體系，那邏輯美所陶醉。就是個社會科學(xué)家吧，如果沒有學(xué)過那《原本》，甚至中學(xué)時對幾何就厭惡，看見幾何證明就想吐，恐怕絕對成不了大哲學(xué)家，或者咱們可以直截了當(dāng)?shù)卣f，他簡直不夠一個家，即便是什么研究社會科學(xué)的。看看那二十世紀有名的英國哲學(xué)家羅素，他不但是一位大哲學(xué)家，簡直還是一位大數(shù)學(xué)家呢！恐怕正因為有后者，才成就了前者。

　　要說對《原本》佩服得五體投地的，恐怕還得算愛因斯坦了。他老人家小時候八九歲時看到了《原本》，被它那邏輯體系鎮(zhèn)得直吐舌頭，一直到老都難以忘懷。他是一位被《原本》深深震撼，深深影響的人物。

　　他多次贊嘆過這本著作，他老人家說過這樣一段話：

　　“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡，這個邏輯體系如此精密地一步一步推進，以致它的每一個命題都是絕對不容置疑的——我這里說的是歐幾里德幾何。推理的這種可贊嘆的勝利，使人類理智獲得了為取得以后的成就所必需的信心。”

　　愛因斯坦老先生的這番話，自然是把評價推到了高峰。不過，這樣一種嚴格的一步一步推導(dǎo)的數(shù)學(xué)書，使人感到好像數(shù)學(xué)是從天上掉下來的，感到似乎數(shù)學(xué)家僅僅用用演繹推理就能搞出發(fā)明創(chuàng)造。

　　其實，證明之前必先有猜想，綜合之前必先有分析。希臘人堅持要有準確的概念和證明，這個美德從數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明來說卻是一個缺點。說起來也挺有趣，希臘人自己把從定理直接推出的結(jié)果稱作系，不是很看得起的，他們甚至把這些結(jié)果叫做橫財或紅利。

　　當(dāng)然啦，建立一個公理體系畢竟是一項創(chuàng)世紀的偉大成就，但不能把它絕對化。

　　咱們在這說了半天，還不知道歐幾里德是何許人也。

　　這歐幾里德，約為公元前330年到公元前275年人，籍貫古希臘，職業(yè)數(shù)學(xué)家兼教育家。在古埃及托勒密王時代，曾到亞歷山大城（即亞歷山大里亞）辦學(xué)，好像是當(dāng)過亞歷山大大學(xué)的數(shù)學(xué)系主任，在那里建立了以他為首的數(shù)學(xué)學(xué)派。

　　話說到這，可能有朋友發(fā)話了，那歐幾里德乃希臘人氏，他到古埃及去走的是哪門子親戚？要么是托勒密大王引進外國人才，請他去湊一份？實際并非如此，其中原委還容一一細說。

　　歐幾里德和以后要提到的另一位大數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（能和歐氏相提并論的不多），都屬于希臘歷史上第二個大分期，即亞歷山大時期。第一個時期就是畢達哥拉斯們生活過的希臘古典時期。

　　且說公元前400年左右，那希臘的北鄰馬其頓王國漸漸壯大，經(jīng)過改革，兵多將廣。國王腓力普自然想把南面的鄰居吃進來。到了公元前337年，腓力普征服了希臘。過不了幾年，他的兒子亞歷山大（公元前336——323年）繼位，發(fā)動了空前的侵略戰(zhàn)爭，把巴比倫、埃及等等統(tǒng)通收入名下，形成了一個橫跨歐、亞、非洲的大帝國。他就是歷史上有名的亞歷山大大帝。

　　那馬其頓深受希臘文化之影響，大量的希臘人移居到埃及和東方。希臘的經(jīng)濟文化在這些地方產(chǎn)生了較大影響。所以希臘文明就進入了亞歷山大時期。

　　亞歷山大大帝在埃及得手后，就在那里建筑了亞歷山大城。在極短的時間里，亞歷山大城便奇跡般地成為富有壯麗的世界性大都市。

　　到了公元前323年，那個有點像成吉思汗的大帝死了，他的大帝國就分裂成了三個，但仍然在希臘文的籠罩之下。

　　那埃及這一塊，就由托協(xié)密統(tǒng)治。他把亞歷山大城定為首都，便立即建立了著名的亞歷山大大學(xué)。那規(guī)模，那建筑，不但當(dāng)時首屈一指，就是現(xiàn)代大學(xué)也敢比試比試，不相上下。教室、實驗室、花園、博物館應(yīng)有盡有。尤其是那大圖書館，號稱擁有六十萬卷紙草書。在很長時間內(nèi)被當(dāng)作是世界各地學(xué)術(shù)著作最多的寶庫。

　　這么個名牌大學(xué)，使亞歷山大城成了希臘文明的首府，并且足足延續(xù)了一千年。

　　那么好的條件，自然是飽學(xué)人士心心向往的地方，于是歐幾里德也從雅典來到了這里，主持數(shù)學(xué)系。

　　歐幾里德曾經(jīng)師從柏拉圖。這柏拉圖可是個不同凡響的人物，他寫過一本著名的書《理想國》。

　　柏拉圖（公元前427—347）出生名門，少有壯志。后來他在雅典開辦了著名的柏拉圖學(xué)園，實際上是有史以來第一座大學(xué)。

　　柏拉圖是那時代最有學(xué)問的人，雖然不是數(shù)學(xué)家，但他深信其對哲學(xué)和了解宇宙的作用。在他的學(xué)園門口掛著這么個牌子：不懂幾何學(xué)的人不準入內(nèi)。

　　有位仁兄很想研究研究哲學(xué)，可是數(shù)學(xué)卻是不咋的。柏拉圖毫不客氣地說：走開！你沒有哲學(xué)工具。

　　在這么一位老師的教導(dǎo)下，再加上他大師兄亞里士多德創(chuàng)立的邏輯學(xué)，給歐幾里德寫《原本》準備了沃土。

　　那亞里士多德也是個赫赫有名名垂青史的大學(xué)者，是柏拉圖的弟子，后來自己另立門戶，叫呂園學(xué)派。呂園里有個花園，一個課堂和藝術(shù)之神謬斯的祭壇。柏拉圖對他這位高足那是大加贊賞；什么“學(xué)園的精英”，“智慧的化身”，等等。

　　亞里士多德自己也收了一位高徒。這位徒弟是高得不能再高了，就是亞歷山大大帝。所以“亞先生”曾貴為帝師。雖然是伴君如伴虎，不過也得了不少利，建立了最大的動物園和最大的圖書館。

　　且不說這位歐幾里德的大師兄如何博學(xué)——確實是博古通今，集諸子百家于一身——單道他創(chuàng)立的邏輯學(xué)，就是學(xué)術(shù)界了不起的大事。

　　從亞里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是從數(shù)學(xué)得出邏輯來的。他的基本邏輯原理——矛盾律，就是說的一個命題不能既是真的又是假的；排中律，它指出一個命題必然是真的或者是假的。而這，就是數(shù)學(xué)間接證法的根據(jù)呢！亞里士多德用當(dāng)時課本中的數(shù)學(xué)例子來說明他的邏輯推理。

　　亞里士多德的邏輯一直到19世紀還沒有能挑出它的毛病。就是今天，也是我們一直使用著的規(guī)律。

　　有了這么些準備，有了這么一種創(chuàng)造的氛圍，那《原本》當(dāng)然應(yīng)該是呼之欲出，沒有歐幾里德，也會有其他里德把它寫出來，傳下去。這《原本》共分13篇，共包含467個命題。

　　第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)；第五篇是比例論；第六篇是相似形；第七、八、九篇是數(shù)論；第十篇是不可度量的分類；第 11 到第 13篇是立體幾何和窮竭法。

　　那第一篇自然從必要的初步的定義和公理開始，逐步展開完整的體系。

　　它包括48個命題。第47年命題就是畢氏定理，不過給出了一個一直到現(xiàn)在都經(jīng)常在引用的巧妙證明：

　　這個圖不知為什么在西方叫新娘的椅子。主要是通過等積來證明。比如，

　　第一篇里的兩個命題 12 和 13，合起來就是我們今天的余弦定理，那余弦定理也就是勾股定理的推廣。

　　至于第七、八、九三篇，共有102個命題，主要是初等數(shù)論。其中亦有大名鼎鼎的輾轉(zhuǎn)相除法，所以在西方，它又被叫作歐幾里德算法。

　　第九篇的第14個命題是所謂算術(shù)基本定理。既然稱為基本，當(dāng)然價值連城。它是說任何大于1的整數(shù)都唯一地表示成質(zhì)數(shù)的連乘積。

　　那第20個命題的證明，更被數(shù)學(xué)家們津津樂道，公認為數(shù)學(xué)的典范，證明的楷模。

　　這條命題是說，質(zhì)數(shù)有無限多個，歐老先生是用間接證明即歸謬法得出的：

　　假設(shè)只有有限個質(zhì)數(shù)，不好用 a、b、……、k 表示之。再設(shè) p＝ab…k，也就是這若干個有限質(zhì)數(shù)的乘積。則 p＋1要么是質(zhì)數(shù)，要么是合數(shù)。倘若是質(zhì)數(shù)，那 a、b、……、k已經(jīng)是全部質(zhì)數(shù)了，而 p＋l比它們都大，所以，依假設(shè)不是質(zhì)數(shù)；如果 p＋1 是合數(shù)，那么必有質(zhì)因數(shù)，而這質(zhì)因數(shù)必不是 a、b、……、k中的一個，因為這些數(shù)除 p＋1，都得余數(shù) 1。而 p＋l 既有不同于a、b、……、k的質(zhì)因數(shù)，與假設(shè)又生矛盾。種種矛盾都是因為假設(shè)的不對，假設(shè)的錯誤，所以必有無限個質(zhì)數(shù)。

　　要是說到第五篇比例理論的話，那就一定要提到另一位大家——歐多克斯。這位歐先生自然也是學(xué)富五車，才高八斗，比例理論全是他精彩而嚴密的創(chuàng)造。歐幾里德老兄看到了當(dāng)然是愛不釋手，立馬收入自己的著作。事關(guān)知識產(chǎn)權(quán)問題，在下不得不絮叨清楚。

　　那歐多克斯的比例理論深刻在什么地方？為何被各路神仙紛紛看中？卻原來畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了這樣的無理數(shù)后，立刻給比例理論帶來很大麻煩。

　　原來的比例理論是建立在整數(shù)之比這個基礎(chǔ)上的。比如A、B、C、D四個同類型的量，如果A：B＝m：n，而 C：D亦有m∶n，那么A∶B＝C∶D�，F(xiàn)在A 與 B 之比很可能不是個整數(shù)之比了，這比例就遇到了麻煩。緊接著，相似形理論也會遇到大麻煩。

　　歐多克斯敏銳地覺察到問題，用巧妙的方法提出了兩個比相等的新的定義。他的比例理論和定義，為以后實數(shù)系統(tǒng)的理論提供了發(fā)展的基礎(chǔ)。有人認為，在 17世紀中葉以前，數(shù)學(xué)上再也沒有出現(xiàn)可以和歐老先生（歐多克斯）所具有的洞察力相提并論的事了。

　　“窮竭法”也是歐多克斯的一項創(chuàng)造。在《原本》的最后一篇有著這種方法的應(yīng)用。

　　其實“窮竭法”計算面積，和中國大數(shù)學(xué)家劉徽用的“割圓術(shù)”差不多。比如說要算圓面積，就先用內(nèi)接正方形面積近似；再在內(nèi)接正方形的基礎(chǔ)上改成內(nèi)接八邊形；接著再改為內(nèi)接正十六邊形，等等。這樣，就越來越逼近了圓的面積。這實際上是一種極限的思想。

　　《原本》曾用這種方法和反證法，得出了兩個圓面積的比等于它們的半徑平方之比。就是用今天的眼光來看這些證明，也是非常的優(yōu)美、嚴格，超過了牛頓、萊布尼茲在微積分初創(chuàng)階段所做的同樣工作。

　　《原本》的高妙之處自然還有不少，但是我們也該提一提歐幾里德同時代的另一位大師，著名的阿波羅尼斯了。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。