第七回  刀光劍影  竟從方程求解引起

　　        沖天巨浪  卻由文藝復(fù)興開(kāi)辟

　　歐洲一覺(jué)睡醒，拼命地搞知識(shí)進(jìn)口。一位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家正為自家的發(fā)現(xiàn)洋洋得意，卻險(xiǎn)遭殺身之禍。使代數(shù)從幾何中獨(dú)立出來(lái)的韋達(dá)，不料還是破密碼的能手。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的帷幕正徐徐拉開(kāi)……

　　且說(shuō)上回書(shū)中所說(shuō)的那塊地域，即現(xiàn)如今之歐羅巴洲，歐洲是也。

　　這西歐一塊，現(xiàn)在是所謂“花柳繁華地，溫柔富貴鄉(xiāng)”了，算是個(gè)好去處。孰不知兩千年前，當(dāng)幾大文明盛極一時(shí)之際，今天的歐洲一帶只有原始的文明。住在那里的日耳曼人既沒(méi)有文字更沒(méi)有文化，是個(gè)“發(fā)展中國(guó)家”，“第三世界”。

　　后來(lái)發(fā)展了千把年，也還不能和咱中國(guó)一比。那時(shí)的大唐、大宋，早已是繁華昌盛，萬(wàn)邦來(lái)朝，儼然是世界文明的精華所在。

　　歐洲人自己說(shuō)的幽默：當(dāng)東方人穿錦戴銀的時(shí)候，咱們老祖宗還圍著樹(shù)葉在樹(shù)洞里呆著呢。

　　正所謂“三十年河?xùn)|，三十年河西”，滄海桑田，如此而已。

　　那英法一帶，雖早在羅馬新聞社國(guó)統(tǒng)轄時(shí)就獲得一些文化，但直到公元500年，新的文化影響才開(kāi)始在歐洲起點(diǎn)作用。

　　不過(guò)，這新的影響一開(kāi)始卻是不大妙。從公元5世紀(jì)中葉到11世紀(jì)，這六、七百年時(shí)間，是歐洲的黑暗時(shí)代，萬(wàn)惡的舊社會(huì)。那時(shí)，學(xué)校教育名存實(shí)亡，希臘學(xué)問(wèn)幾乎絕跡。

　　要說(shuō)有文化，也都在教會(huì)的修道院內(nèi)。大部分的文化人都在院墻內(nèi)研讀圣經(jīng)，侍奉上帝。就是墻外剩下的幾個(gè)，又怎敢大膽妄為，離經(jīng)叛道？大家都得統(tǒng)一在教會(huì)的權(quán)力下。

　　好像還是那么個(gè)理：圣經(jīng)以外的知識(shí)，如果是好的，早就在圣經(jīng)里；如果不合圣經(jīng)，當(dāng)然是壞的。好壞界限很明確，不由你分說(shuō)，一切以圣經(jīng)為準(zhǔn)。

　　那時(shí)的數(shù)學(xué)主要是為了有點(diǎn)基礎(chǔ)學(xué)學(xué)天文，好夜觀天象，用占星術(shù)來(lái)預(yù)測(cè)吉兇禍�！，F(xiàn)在有些人也喜歡看看自己、看看別人是屬于什么星座，趕個(gè)洋時(shí)髦，其源都出于此。

　　那時(shí)有點(diǎn)名氣的數(shù)學(xué)家中，有一位叫博埃齊（約475—524），他寫(xiě)了兩本教科書(shū)：《幾何學(xué)》和《算術(shù)》。

　　那《幾何學(xué)》也只是對(duì)歐幾里德的《原本》支離破碎地摘抄了一些，可能還有錯(cuò)誤，定理也沒(méi)給出證明。奇怪的是還在這本書(shū)里含有算盤(pán)和分?jǐn)?shù)的內(nèi)容，可能是算命看星座要用得著。

　　《算術(shù)》的內(nèi)容也是乏味枯燥，神秘兮兮的。就這么兩本書(shū)還被當(dāng)作寶貝，好幾百年里一直作為教會(huì)學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)課本，一直用到12世紀(jì)。

　　這位博埃齊出自名門(mén)，還寫(xiě)了一些哲學(xué)書(shū)，而他則成為了中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的奠基人。他理想高尚，又有點(diǎn)剛直不阿的味道，最后竟以叛國(guó)罪被斬。

　　后來(lái)還有一位熱爾拜爾（約 950—1003），法國(guó)人，教士。他幼年就聰明異常，到西班牙的穆斯林學(xué)校學(xué)習(xí)過(guò)，很可能隨之也把印度—阿拉伯?dāng)?shù)字帶回了歐洲。

　　他手藝倒也不賴，能做做風(fēng)琴，制制地球儀，造造鐘表，令同輩五體投地，認(rèn)為他是個(gè)鬼才。令人迷惑的是，這么一個(gè)有生氣的人，在公元999年竟被選為基督教的教皇。

　　就從這位教皇開(kāi)始，希臘的科學(xué)著作，自然也包括數(shù)學(xué)著作，開(kāi)始傳入西歐。一個(gè)途徑是通過(guò)貿(mào)易、旅游、留學(xué)，同地中海地區(qū)和阿拉伯人發(fā)生接觸，吸收他們沒(méi)見(jiàn)過(guò)的大量知識(shí)。

　　希臘文的、阿拉伯文的著作大量翻成拉丁文。那些當(dāng)權(quán)人物不知是什么原因，也支持學(xué)者們出國(guó)取經(jīng)。有一位老先生居然喬裝打扮，冒充回教徒，去阿拉人的地盤(pán)里偷學(xué)“真經(jīng)”。這要是現(xiàn)在，是要被當(dāng)作科技間諜的。還有一個(gè)途徑是戰(zhàn)爭(zhēng)。不過(guò)這場(chǎng)仗不是為數(shù)學(xué)去打的，那叫做十字軍東征。

　　1085年基督教徒攻占托里多城，那些基督教學(xué)者們立刻蜂涌而入，那里的阿拉伯著作可是多極了。又過(guò)了幾年，基督徒又從阿拉伯人那里奪取了西西里島。

　　那西西里島大家當(dāng)然都覺(jué)得耳熟。此處確實(shí)是個(gè)風(fēng)水寶地，是東西方的天然會(huì)合處，幾大文明的聚寶盆。希臘、羅馬、阿拉伯，反復(fù)爭(zhēng)奪，幾度易手。基督教的學(xué)者在這里如獲至寶，把大量的希臘和阿拉伯的手稿翻譯成拉丁文。

　　整個(gè) 12 世紀(jì)就是這么不停地翻，不停地學(xué)。歐洲人對(duì)這些著作如此欽佩，以至完全傾倒。他們見(jiàn)到了一片從未見(jiàn)過(guò)的綠洲，他們發(fā)現(xiàn)了真正的新大陸。這精神文明的大發(fā)現(xiàn)要比哥倫布的發(fā)現(xiàn)早上300多年呢。

　　這個(gè)時(shí)期就叫做大傳播時(shí)期。

　　火種已經(jīng)播下了，但要形成燎原之勢(shì)，還需時(shí)間老人起起作用。所以12、13 世紀(jì)那當(dāng)口，思想還是受著嚴(yán)重的束縛。不過(guò)由于有了那么多的希臘書(shū)、阿拉伯書(shū)，總歸有點(diǎn)生氣，有點(diǎn)起色。

　　這其中最值得一提的一位，是 13世紀(jì)初的斐波那契（約1170～1250），稱得上是歐洲中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家。

　　斐波那契也被稱為比隆的萊昂納多，1175年出生于比隆的商業(yè)中心，其父在那里經(jīng)商。那時(shí)，許多意大利大商行在地中海一帶的許多地方擁有倉(cāng)庫(kù)。就在他父親當(dāng)海關(guān)關(guān)員時(shí)，小小的年紀(jì)，他就隨父親到過(guò)非洲。做父親的天天要算帳，當(dāng)兒子的在旁邊看久了，當(dāng)然就有了興趣。

　　后來(lái)斐波那契又到埃及，西西里、希臘和敘利亞去游歷，當(dāng)然是長(zhǎng)了更多的見(jiàn)識(shí)，學(xué)了許多的數(shù)學(xué)，如果他要一直在歐洲，那肯定是沒(méi)那么大出息了。

　　回到比隆，受到當(dāng)局的重視。他確信印度——阿拉伯的那一套數(shù)學(xué)，是要比當(dāng)時(shí)的歐洲優(yōu)越。1202年，契先生寫(xiě)了他的名著《算盤(pán)書(shū)》，咱們?cè)谇懊嬉呀?jīng)見(jiàn)過(guò)一次面啦。

　　這本書(shū)雖然有許多是斐波那契的獨(dú)立成果，但也受了阿拉伯和希臘材料的不少影響，當(dāng)然這其中也有印度、中國(guó)的影響。阿拉伯所做的“金橋工程”，從歐洲文明的大傳播時(shí)期起，就發(fā)揮了巨大的效益。

　　斐先生之前，歐洲已多少知道一點(diǎn)印度一阿拉伯記數(shù)法，不過(guò)只在修道院的院墻內(nèi)，被教士們研究玩賞�？蓱z的老百姓依然在用繁雜的羅馬數(shù)字，用著巴比倫的60進(jìn)制分?jǐn)?shù)。

　　從斐先生的光輝著作產(chǎn)生巨大影響起，歐洲人這才撥云見(jiàn)日，慢慢用起印度—阿拉伯記數(shù)法，用起印度人對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根進(jìn)行計(jì)算的方法�！端惚P(pán)書(shū)》中的代數(shù)，他也照著阿拉伯人的樣子用文字講述，而不是用符號(hào)，比丟蕃都的立方程和中國(guó)的“天元術(shù)”都低了一截，未達(dá)水準(zhǔn)。

　　各位同學(xué)，對(duì)于咱們大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，了解得較多的，就是以他名字命名的斐波那契數(shù)列了。

　　那斐波那契數(shù)列確實(shí)很重要，流傳至今，中學(xué)的老師一講到數(shù)列，必提起它的大名，不過(guò)就很少講起這數(shù)列中的有趣故事啦。這故事可是斐先生自編的，用來(lái)引出問(wèn)題：

　　假定一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔。如果一切正常沒(méi)有死亡，公母兔也比例適調(diào)，那么一對(duì)剛出生的兔子，一年系繁殖成多少對(duì)兔子？

　　咱們自己拿著紙頭，或者就在書(shū)邊角上，簡(jiǎn)單推算一番．就可以知道，按月排下來(lái)，每月的兔子對(duì)數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

　　那233，就是一對(duì)剛出生的小兔，一年內(nèi)所能繁殖成的兔子的對(duì)數(shù)。咱們自然還能往下算。下一個(gè)數(shù)就是14＋233＝377。為什么呢？說(shuō)起來(lái)也挺簡(jiǎn)單：那233中包括兩部分兔子，一部分是剛生下一月的兔子，那么在下一個(gè)月中不能生；一部分是生下已超過(guò)一個(gè)月的兔子，這一部分在下一個(gè)月都要再生一對(duì)兔子。把這兩部分找出來(lái)，到底是多少，當(dāng)然就能算出 233后面應(yīng)該是多少只兔子了。

　　其實(shí)，那第二部分的兔子數(shù)已經(jīng)寫(xiě)在上面了，就是 144。從 144 增加到233，增加了89只新兔子，所以144對(duì)于233的下一個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，就是老兔子了。所以233的下一個(gè)月，應(yīng)新添144只兔子。共計(jì)有144＋233＝377只兔子。

　　這自然是游戲之作，數(shù)學(xué)家們的呆想，實(shí)際中那能保證不死亡，永遠(yuǎn)這么生下去呢？

　　那么這377算出來(lái)以后，再往下的各項(xiàng)大家當(dāng)然也能看出門(mén)道了。這個(gè)數(shù)列中，每一項(xiàng)總是前兩項(xiàng)之和！自然，除去第一、第二項(xiàng)以外。

　　所以這個(gè)數(shù)列就叫作“遞推數(shù)列”，也就是說(shuō)，知道了前兩項(xiàng)，就能推出后一項(xiàng)，能像滾雪球一樣，逐漸滾大、滾多。

　　遞推數(shù)列是種很重要的數(shù)列，斐波那契好像是頭一份。所以在中學(xué)里要講到遞推數(shù)列時(shí)，當(dāng)然首先要提到它。

　　那斐波那契數(shù)列，還有一奇妙之處，兩個(gè)相鄰項(xiàng)之比（小的比大的數(shù)），就與所謂“黃金分割”的0．618發(fā)生了絕妙的契合。請(qǐng)看：

　　這0．618，不但是“黃金分割”，很美，而且也很技術(shù)，很科學(xué)。此話怎講？原來(lái)后世有“優(yōu)選法”一說(shuō)，研究的就是如何從一大堆數(shù)據(jù)中，好中選好，優(yōu)中選優(yōu)。此是后話，暫且不提。

　　斐波那契數(shù)列被斐先生說(shuō)的生動(dòng)有趣，很吊胃口，這也是那時(shí)的數(shù)學(xué)書(shū)常用的手法�？峙履菚r(shí)的讀者水平初等，板起面孔來(lái)教，效果更差。

　　比如斐先生還給出這樣一題，咱們不妨放進(jìn)腦子里，茶余飯后也能助點(diǎn)談興：

　　一個(gè)人經(jīng)過(guò)七道門(mén)進(jìn)入果園，摘了許多蘋(píng)果。離開(kāi)果園時(shí)，給第一個(gè)守門(mén)人一半加一個(gè)；給第二個(gè)守門(mén)人，是余下的一半加一個(gè)；對(duì)其他五個(gè)守門(mén)人，也如此這般，最后帶著一個(gè)蘋(píng)果離開(kāi)果園。請(qǐng)問(wèn)當(dāng)初他一共摘了多少蘋(píng)果？

　　看來(lái)這些守門(mén)人也是亂設(shè)路卡亂收費(fèi)，雁過(guò)拔毛，非治理整頓不可。

　　斐波那契的才能受到皇上陛下弗里德里希二世的垂青，因此被邀請(qǐng)到宮廷參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽�；噬系乃钠穾У妒绦l(wèi)約翰閣下提出了三個(gè)問(wèn)題。所以認(rèn)真說(shuō)起來(lái)倒不是競(jìng)賽，而是想考考咱斐先生的學(xué)力功底。

　　13 世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，以斐波那契為代表，就這么慢慢地在巴黎、牛津、劍橋和那不勒斯等地的一些大學(xué)發(fā)展起來(lái)。星星之火，終于要成燎原之勢(shì)了。且說(shuō)從12世紀(jì)的大傳播開(kāi)始，歐洲文明的火種已經(jīng)播下了，文明之車也緩緩起動(dòng)。

　　但這沖天之火卻不能突然而起，黎明之前還真有一段黑暗呢。

　　首先是13世紀(jì)的基督教可真是不含糊，對(duì)異端邪說(shuō)保持高度的警惕。少數(shù)的幾所大學(xué)都受教會(huì)的控制，教授們不能自由地講授。特別是哪方面發(fā)現(xiàn)有和教義相抵觸的論調(diào)，那是立刻鎮(zhèn)壓，其殘酷與惡毒的程度在歷史上是空前的。臭名昭著的宗教裁判所直到現(xiàn)在被人們提起，還不寒而栗，萬(wàn)分憎惡。

　　還有那老天爺也和歐洲人過(guò)不去。14世紀(jì)的下半葉，黑死病流行，掃蕩了歐洲三分之一的人口。人們朝不保夕，哪還有心思去想問(wèn)題，研究學(xué)問(wèn)？再說(shuō)了，長(zhǎng)期在那種思想僵化的氣氛里生活，你給他思考的權(quán)利，他也展不開(kāi)想象的翅膀，何況還有宗教裁判那座大山壓在頭上。

　　人們迫切需要一場(chǎng)思想解放的運(yùn)動(dòng)，掙脫枷鎖，投入到生機(jī)勃勃的創(chuàng)造中去。

　　這場(chǎng)革命終于來(lái)到了，這就是從1400年到1600年左右的文藝復(fù)興。歐洲被深深地震撼，知識(shí)和知識(shí)界的面貌也大大地改變，數(shù)學(xué)活動(dòng)以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起。

　　這文藝復(fù)興的圣地和源頭自然是意大利。意大利能擔(dān)此歷史大任，當(dāng)然不是上帝隨便擲的骰子，而是有方方面面的條件。

　　意大利南臨地中海，生意做得很大，財(cái)富源源流入，還建立了不少大銀行，錢(qián)多了，搞學(xué)問(wèn)才有可能。再者，當(dāng)時(shí)的意大利被戰(zhàn)爭(zhēng)弄得支離破碎，正是促進(jìn)個(gè)性解放，反抗教皇統(tǒng)治的大機(jī)會(huì)。戰(zhàn)爭(zhēng)解放了人民，鼓勵(lì)知識(shí)分子造反。一場(chǎng)思想解放和文化啟蒙運(yùn)動(dòng)從這里開(kāi)始不是偶然的。

　　其他客觀也很好，希臘的大量文稿又一次大量涌入歐洲，這次是土耳其人占了君士坦丁堡（1453年），這些寶貴的手稿比十二、三世紀(jì)時(shí)得到的要好得多。

　　好事一樁連一樁。正當(dāng)其時(shí)，中國(guó)的造紙術(shù)、印刷術(shù)又通過(guò)阿拉伯傳入了歐洲。可憐的歐洲以前可是一直用的羊皮紙、草皮紙，這種紙可真是貴。

　　實(shí)在沒(méi)法想了，還要把寫(xiě)過(guò)字的羊皮紙擦掉重用�，F(xiàn)在可好了，能用上棉紙和麻紙了。

　　那印刷術(shù)的應(yīng)用更是一件了不得的大事，一點(diǎn)不比現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明遜色。試想想，不用印刷，光靠手抄，一本一本傳抄，那還了得！敢再過(guò)過(guò)這種日子嗎？

　　1482年，譯成拉丁文的《原本》第一次印刷出版了。

　　這么多條件湊在一塊，真是“天時(shí)、地利、人和”了，單等那偉大人物登高一呼。正像有人那么說(shuō)過(guò)的，這是一個(gè)需要巨人而又產(chǎn)生巨人的時(shí)代。果然，就有了所謂“文學(xué)三杰”——但丁、彼特拉克、卜伽丘，和“藝術(shù)三杰”的出現(xiàn)。那后面的三杰就是達(dá)·芬奇、米開(kāi)朗基羅、拉斐爾。

　　達(dá)·芬奇雖然是大畫(huà)家，但他的博學(xué)多才更是著名。他還設(shè)計(jì)過(guò)直升飛機(jī)！說(shuō)他是個(gè)科學(xué)家一點(diǎn)也不過(guò)份，他寫(xiě)過(guò)幾何方面的著作。

　　更偉大的科學(xué)家自然是哥白尼（1473—1543），伽利略（1564—1642）、開(kāi)卜勒（1571—1630），一時(shí)間群星薈萃，把舊世界的思想禁區(qū)掃蕩得人仰馬翻，一塌糊涂。

　　同學(xué)們也許會(huì)犯迷糊，咱們好好的數(shù)學(xué)演義，要談什么文藝復(fù)興、“日心說(shuō)”“地心說(shuō)”有什么用？其實(shí)咱們的數(shù)學(xué)，要發(fā)展要進(jìn)步，全要有個(gè)環(huán)境，有種氛圍作基礎(chǔ)，萬(wàn)事萬(wàn)物也都是這個(gè)理。咱們?cè)谶@多說(shuō)道一番，就是明白一下數(shù)學(xué)發(fā)展的道理和道路所在。

　　要知道，經(jīng)過(guò)文藝復(fù)興這么一解放，知識(shí)分子們可是大開(kāi)眼界。希臘知識(shí)體系里的那種崇尚自然，探討自然，追求完美和自由研討的作風(fēng)，成為新的價(jià)值觀，新的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)。

　　歐洲人這時(shí)感覺(jué)到，自然界是按照數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)得非常的和諧優(yōu)美。而這些正是希臘學(xué)者的主導(dǎo)思想。

　　再說(shuō)了，文藝復(fù)興的掃帚一到，中世紀(jì)的文化和文明自然被掃得支離破碎，各種教會(huì)建立的哲學(xué)、思想基礎(chǔ)上崩瓦解。人們迫切要一個(gè)新的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)是唯一被大家公認(rèn)的真理體系。

　　按照那時(shí)的普遍看法，上帝是按數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)了大自然，上帝是一位至高無(wú)上的數(shù)學(xué)家。文藝復(fù)興時(shí)許多科學(xué)家是神學(xué)家，用自然代替圣經(jīng)作為他們的研究對(duì)象。

　　“世界是按上帝的計(jì)算創(chuàng)造的”，這就是他們的新信仰。希臘思潮沖擊了愚昧的基督教世界，知識(shí)分子們既被希臘世界所深深吸引，又不敢（也許是舍不得）做基督世界的徹底叛臣，他們就把兩個(gè)世界的教義溶為一體了。

　　一出有聲有色的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大幕就要徐徐拉開(kāi)了。不過(guò)咱們先別忙看最精彩的部分，而是把目光轉(zhuǎn)向這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)初期的一些時(shí)期。

　　卻說(shuō)那文藝復(fù)興對(duì)歐洲文明、對(duì)數(shù)學(xué)的影響當(dāng)然是不言而喻，可是在初期，數(shù)學(xué)上卻并沒(méi)有什么輝煌的成就。輝煌的成就還需要人們?cè)诟鞣矫鏋樗�作好出現(xiàn)的準(zhǔn)備。

　　那初期一階段，對(duì)現(xiàn)在比較有意義的事情，就是各種代數(shù)符號(hào)的出現(xiàn)。符號(hào)的使用對(duì)代數(shù)來(lái)說(shuō)具有什么樣的意義，不說(shuō)大家也清楚。

　　首先咱們看一看等號(hào)的使用。發(fā)明現(xiàn)在這種等號(hào)的是英國(guó)人雷科德。雷先生（1510—1558）寫(xiě)出了16世紀(jì)最有影響的教科書(shū)，是用英文，而不是拉丁文寫(xiě)的，這可是一個(gè)進(jìn)步。

　　1551，他寫(xiě)了本《知識(shí)的城堡》，是介紹哥白尼的“日心說(shuō)”的。還有一本《知識(shí)的捷徑》，是《原本》的一個(gè)節(jié)略本。而現(xiàn)在等號(hào)的第一次使用，就是他在《智力的磨石》中的創(chuàng)造了。

　　對(duì)這個(gè)符號(hào)，雷科德說(shuō)的也很精彩：“再也沒(méi)有別的兩件東西比它們更相等了。”他所說(shuō)的兩件東西，就是指組成等號(hào)的兩條平行線。

　　加號(hào)和減號(hào)，一開(kāi)始是用 P 表示加，M 表示減，這是意大利人帕奇歐里在1494年的一本書(shū)里使用的。咱們現(xiàn)在用的“＋”和“-”，是一位捷克人維德曼。這是1489年出版的一本書(shū)里的記法。

　　此外，乘號(hào)是1631年由奧特雷德在他的著作《數(shù)學(xué)之鑰》中第一次使用的；除號(hào)是瑞士人雷恩在1659年首先用的。還有根號(hào)，如此等等。

　　這些符號(hào)一一地使用，就等著代數(shù)的徹底符號(hào)化了，而這已是不太遙遠(yuǎn)的事了。

　　在這偉大時(shí)刻到來(lái)的前夜，不想在三次方程問(wèn)題上卻發(fā)生了一場(chǎng)極具戲劇化的大風(fēng)波。兩位數(shù)學(xué)家變成了不共戴天之?dāng)�，到了�?dòng)刀動(dòng)槍玩命的程度，真正是數(shù)學(xué)史不多見(jiàn)的。

　　這兩位主角，究竟是哪里人氏？緣何成仇？請(qǐng)大家莫急，我給大家說(shuō)個(gè)他細(xì)。

　　話說(shuō)1512年，法國(guó)軍隊(duì)越過(guò)阿爾卑斯山，占領(lǐng)了意大利北部，征服者無(wú)情地?zé)龤�搶劫，離米蘭不遠(yuǎn)的布雷西亞城也遭到了攻擊。

　　雖然是英勇抵抗，結(jié)果還是被法國(guó)破城。不幸的居民們一起逃到大教堂避難，在神圣的教堂里是不能有暴力行為的，這是當(dāng)時(shí)的一般規(guī)矩。

　　婦女、兒童、傷員都聚集在一起，指望萬(wàn)能的主幫他們渡過(guò)這一關(guān)。在這擁擠的人群中，有一位十多歲的小男孩尼古拉，同他的當(dāng)郵差的父親在一起。教堂里的人，心中自然是七上八下。

　　沒(méi)想到，法國(guó)兵一擁而入，見(jiàn)人就砍，亂沖亂殺，香煙燎繞的大教堂頓時(shí)成為血肉翻花的屠宰場(chǎng)。后來(lái)，尼古拉的母親在她丈夫的尸體旁找到了這個(gè)氣息奄奄的男孩。

　　小尼古拉的頭蓋骨被劈，腭部和舌頭也被砍傷，離死是不遠(yuǎn)了。當(dāng)母親的也只得把他弄回家，心想就看這孩子的造化吧。

　　沒(méi)料想他居然活了下來(lái)，沒(méi)有錢(qián)醫(yī)傷，就用嘴舔舔傷口，也算是命大。但是舌頭上的傷使尼古拉一輩子咬字不清，大家給了他一個(gè)塔爾塔里亞（結(jié)巴子）的綽號(hào)，以后久而久之，就成了他的大號(hào)，真名反而沒(méi)人記得了。

　　塔爾塔里亞的媽窮得叮?響，砸鍋賣鐵攢了點(diǎn)錢(qián)，就送他進(jìn)了學(xué)校。他只學(xué)了15天，恐怕是沒(méi)錢(qián)交班費(fèi)了，只好打道回府。

　　臨走時(shí)順手牽羊帶了本字帖（他剛剛學(xué)到字母 K），就開(kāi)始了他的自學(xué)生涯。沒(méi)錢(qián)買(mǎi)紙筆，就在墓碑上畫(huà)畫(huà)寫(xiě)寫(xiě)。他不但學(xué)會(huì)了字母表中的其他字母，而且還學(xué)會(huì)了拉丁文和英文。

　　窮人的孩子懂事早，塔爾塔里亞明白，自己這傷殘之驅(qū)只怕是肩不能挑手不能提，只有靠腦瓜子掙碗飯吃了。所以他學(xué)得格外勤苦。

　　23歲那年，他開(kāi)始以教別人數(shù)學(xué)來(lái)謀生，并且還能貼補(bǔ)貼補(bǔ)他母親。也許那時(shí)搞“家教”，收入還不算低。

　　后來(lái)，他離開(kāi)老家，到意大利各地，最后還到過(guò)威尼斯。請(qǐng)他講課的倒不少，數(shù)學(xué)、技藝他都教，不過(guò)還是個(gè)窮教師，勉強(qiáng)度日。

　　但是這位大難不死的人總算有個(gè)機(jī)會(huì)揚(yáng)名天下了。數(shù)學(xué)家弗里奧要和塔爾塔里來(lái)次數(shù)學(xué)對(duì)抗賽。

　　那時(shí)的學(xué)者們往往一有發(fā)現(xiàn)便嚴(yán)守秘密，然后向?qū)κ痔魬?zhàn)，這是一個(gè)很好的顯示實(shí)力的機(jī)會(huì)。所以這種對(duì)抗賽進(jìn)行得不少了，很平常。

　　那么，弗里奧如何偏偏要找塔爾塔里亞過(guò)招呢？

　　原來(lái)，弗里奧是波洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)爾洛的得意門(mén)生。費(fèi)爾洛教授有一樣鎮(zhèn)山之寶，那就是一些三次方程的解法。費(fèi)爾格把他的心愛(ài)之物密傳給他的高足弗里奧和女婿。

　　那位弗里奧有此一寶，自然是萬(wàn)分珍視。誰(shuí)曾想在1535年，塔爾塔里亞宣布，他發(fā)現(xiàn)了三次方程的解法。弗里奧勃然大怒，他斷定這位自學(xué)起家的鄉(xiāng)巴佬是有意招搖撞騙，于是，立馬向塔爾塔里亞下了戰(zhàn)表，約定1535年2月22日舉行“對(duì)抗賽”，倒也挺有點(diǎn)像騎士的決斗，不過(guò)不是用劍，而是用筆。

　　“決斗”的這一天，雙方應(yīng)該到公證人面前，每個(gè)人交給對(duì)方30道題，規(guī)定在50天里解出這些題。誰(shuí)能解得多，解得快，誰(shuí)贏。而且，每解一題還能得到五個(gè)銅板。

　　比賽開(kāi)始前的幾天，塔爾塔里亞得到了消息，弗里奧的確知道x3十px=q這種方程的解法。

　　塔爾塔里亞不由得倒吸一口涼氣，心想，咱自己的底細(xì)自己明白，三次方程也只能解一些特殊情況。自己說(shuō)都能解，那也是“廣告做得好”，小吹了一次牛。

　　不過(guò)，塔爾塔里亞很快就鎮(zhèn)靜下來(lái)，閉門(mén)不出，獨(dú)練解題內(nèi)功。正如他自己所說(shuō)的：“我運(yùn)用了自己的一切努力，勤勉和技巧，以便得到解這些方程的法則。結(jié)果很好，我在規(guī)定的期限前十天，就是2月12日，就做到了這一點(diǎn)。”

　　“決斗”的這一天終于到來(lái)，雙方準(zhǔn)備停當(dāng)，披掛上陣，雖比不上臨潼斗寶，卻也正是華山論劍。公證人一聲令下，兩條好漢各自亮招。

　　果不其然，弗里奧出的30道題，全是x2＋px=q這種形式的方程。

　　塔爾塔里亞成竹在胸，身手不凡，兩個(gè)小時(shí)內(nèi)當(dāng)場(chǎng)做完，諸位看客驚得大跌眼鏡，感嘆之聲不斷。而那位弗里奧，在規(guī)定的50天里，對(duì)于對(duì)方給出的30道題，連一道也沒(méi)解出，全軍覆沒(méi)，大失水準(zhǔn)。

　　塔爾塔里亞一炮打紅，名噪意大利。登門(mén)者絡(luò)繹不絕，希望他公布秘密。

　　但塔先生自然是守口如瓶，只準(zhǔn)備以后發(fā)表在自己的大作里。

　　這時(shí)來(lái)了位波倫亞的人物卡當(dāng)，此人腦子絕對(duì)好使，多才多藝，但人品卻不敢恭維。

　　卡當(dāng)是那個(gè)時(shí)代最有才華的人物之一，但他那異常的性格更使人吃驚。1501年，他出生于帕維亞，是一位法官的私生子。他是個(gè)易動(dòng)感情的人，性格多變，職業(yè)也多變，還是位財(cái)徒。

　　他時(shí)而醉心于數(shù)學(xué)，時(shí)而又對(duì)占星術(shù)有濃厚興趣。他對(duì)占星術(shù)酷愛(ài)到編基督的星占表，被控為邪說(shuō)而監(jiān)禁起來(lái)。出獄后，丟了帕維亞和波洛尼亞大學(xué)的飯碗，遷到羅馬，成為有名的占星學(xué)家。

　　據(jù)說(shuō)，卡當(dāng)曾預(yù)言過(guò)自己要在某一天死亡。為了保持他這個(gè)星相家的榮譽(yù)，他在1576年的那一天自殺了。

　　公平點(diǎn)說(shuō)，卡當(dāng)是有大才之人，與中國(guó)的秦九韶差不多，才優(yōu)而品劣。他寫(xiě)了許多學(xué)科的著作，他的最大一部著作叫《大衍術(shù)》，是專講代數(shù)的第一部拉丁文巨著。這書(shū)里的方程有了負(fù)根，甚至還談到虛數(shù)的計(jì)算。

　　這位卡當(dāng)和秦九韶一樣，是位志大心大，心雄萬(wàn)夫的人物，恨不得天下學(xué)問(wèn)統(tǒng)通姓卡，所以卡當(dāng)很想獲取塔爾塔里亞的神來(lái)之筆，把三次方程的秘密收羅進(jìn)自己的《大衍術(shù)》。

　　他前往威尼斯，請(qǐng)求塔爾塔里亞告訴他這個(gè)秘密，并答應(yīng)不載入自己的著作，當(dāng)時(shí)自然是少不了拍馬諂媚，灌灌迷魂湯。

　　當(dāng)請(qǐng)求遭到拒絕，卡當(dāng)就從諂媚轉(zhuǎn)為猛烈的侮辱，大罵結(jié)巴子不夠意思，并又心生一計(jì)。

　　這一天，塔爾塔里亞收到了從米蘭來(lái)的信，信中說(shuō)：“一位高貴的先生聽(tīng)到了好多關(guān)于著名數(shù)學(xué)家的傳言，特請(qǐng)他前來(lái)會(huì)晤，以便當(dāng)面承教。”塔爾塔里亞對(duì)這頂高帽子非常的滿意，就動(dòng)身去了米蘭。哪知見(jiàn)到的不是“高貴的先生”，還是卡當(dāng)其人。卡當(dāng)再次做了拍馬屁的飽和密集轟炸，弄得塔先生暈乎乎的特舒服。

　　卡當(dāng)再一次莊嚴(yán)地起誓：我在任何時(shí)候?qū)θ魏稳艘膊还�開(kāi)這個(gè)由于塔先生的友愛(ài)，而傳給我的這些法則和秘密。

　　塔先生感動(dòng)得聲淚俱下：“如果我不信任這個(gè)誓言，那咱自己也是個(gè)不值得信任的人了。”沒(méi)說(shuō)的，塔老哥立刻讓卡當(dāng)老弟遂了心愿，口傳秘法。這是1539年的事。

　　過(guò)了幾年，卡當(dāng)?shù)淖吭街�作《大衍術(shù)》出版了，在這本書(shū)里他違背了自己的誓言，詳盡敘述了解三次方程的理論。這一招使兩位著名的數(shù)學(xué)家變成了不共戴天的仇人。

　　“我自己的代數(shù)著作中最好的裝飾品被這個(gè)賊子背信棄義地竊走了”，塔爾塔里亞氣得渾身打顫，于是向卡當(dāng)下一戰(zhàn)表，再用傳統(tǒng)的對(duì)抗賽決一雌雄，并建議互換31個(gè)題，在15天內(nèi)解出。

　　卡當(dāng)先生哪能在這種場(chǎng)面露怯，立馬表示沒(méi)問(wèn)題，賽就賽。塔爾塔里亞在七天里就解出對(duì)方提出的大部分題，并馬上把解法寄到米蘭。而卡當(dāng)和他的弟子費(fèi)爾拉里過(guò)了五個(gè)月才把他們的解送來(lái)，而且，按塔先生的看法，都是不正確的。

　　塔先生得手之后，決定再下一戰(zhàn)，和卡當(dāng)公開(kāi)辯論，以大白真相于天下。他宣布：“要求我的對(duì)手卡當(dāng)和費(fèi)爾拉里于1545年8月10日上午5時(shí)，在米蘭市圣瑪利亞教堂舉行公開(kāi)學(xué)術(shù)辯論。”

　　指定的時(shí)刻到來(lái)了，只有費(fèi)爾拉里一人出席。按塔先生的描繪，他是一個(gè)有著“優(yōu)美的聲音，招人喜歡的面孔，巨大的才能和魔鬼般性格的青年人”。

　　塔先生獨(dú)在異鄉(xiāng)為異客，只和他兄弟兩人單刀赴會(huì)，而那邊卻是戰(zhàn)將如云，氣勢(shì)上已是勝他一籌。辯論開(kāi)始了，塔爾塔里亞首先證明卡當(dāng)所解的一個(gè)題目不正確，并想轉(zhuǎn)入正確的解法，卻不料費(fèi)爾拉里那幫人立刻起哄。塔先生請(qǐng)求先讓他把話說(shuō)完，可是徒勞無(wú)益。

　　費(fèi)爾拉里馬上搶上講臺(tái)，在找出塔爾塔里亞的一個(gè)錯(cuò)誤之后，就開(kāi)始了冗長(zhǎng)的談?wù)�。他說(shuō)卡當(dāng)是從某種渠道從費(fèi)爾洛那里得知方法的，并反訴塔先生剽竊費(fèi)爾洛的成果。也難怪，當(dāng)時(shí)他們都是私相授受，誰(shuí)能弄得清這筆糊涂帳。

　　時(shí)間拖到了吃中飯，教堂也很快空無(wú)一人。辯論本當(dāng)在第二天繼續(xù)，可塔爾塔里亞看看勢(shì)頭不妙，卡當(dāng)很可能雇黑道人物對(duì)自己下毒手。

　　于是在夜里，塔爾塔里亞和他的兄弟用雨衣裹住身子，惶惶如喪家之犬，急急如漏網(wǎng)之魚(yú)，逃出米蘭了。

　　歷史對(duì)塔先生似乎也不太公平，那著名的解三次方程的公式長(zhǎng)久地叫做“卡當(dāng)公式”。歷史也有點(diǎn)欺負(fù)老實(shí)人。不過(guò)現(xiàn)在人們都稱為“塔爾塔里亞-卡當(dāng)公式”了。

　　塔爾塔里亞自己也不是無(wú)可非議、完全老實(shí)。他出版的阿基米德著作的一些譯本，實(shí)際上是抄別人的；他自稱發(fā)現(xiàn)了斜面上物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那也是掠人之美。

　　卡當(dāng)是這么想的，如果通過(guò)換元，把平方項(xiàng)消去，不就變成了塔爾塔里亞的形式了嗎？這樣一種化歸的思想，化未知為已知，是數(shù)學(xué)上常用的方法。

　　他的學(xué)生費(fèi)爾拉里，通過(guò)更復(fù)雜一點(diǎn)的變換，得到了四次方程的求根公式。

　　費(fèi)爾拉里的變換，可以把一個(gè)四次方程，變成三次方程，這樣就得到了答案。很自然地，大家都在想，那么用變換的方法，把五次方程化成四次，或者更高次的化成低次的，那么，所有高次方程的求根公式，不都是能得到嗎？

　　大數(shù)學(xué)家歐拉，在 1750 年作過(guò)這種嘗試，結(jié)果失敗了，30 年后，另一位數(shù)學(xué)家拉格朗日也嘗試了一下，也失敗了。

　　后來(lái)人們才發(fā)現(xiàn)，一般的五次或五次以上的方程，是求不出、給不出一個(gè)像二次、三次方程那樣的求根公式的。

　　大伙看到此處，不免有些疑問(wèn)，容我詳細(xì)說(shuō)明：

　　這求不出、給不出求根公式，并不是說(shuō)任一個(gè)五次以上的方程都是這樣，一些特殊的高次方程，比如說(shuō)大家就能給它一個(gè)求根公式。而對(duì)于一般的五次、六次等等，你可就做不到這一點(diǎn)啦。此其一也。

　　其二，沒(méi)有一個(gè)一般的求根公式，并不說(shuō)明方程沒(méi)有根，方程的根還是存在的。方程的根一定存在，這需要證明；而任一個(gè)幾次方程到底有多少根，也很值得研究。這兩個(gè)問(wèn)題以后都得到了完滿的解決，此是后話。

　　這第三點(diǎn)，大家不免會(huì)問(wèn)，前一回中不是說(shuō)過(guò)，中國(guó)的秦九韶、朱世杰，不都是解過(guò)五次以上的高次方程嗎？尤其是那秦先生，更解過(guò)一個(gè)高達(dá)十次的方程，令咱們吃驚。那么，中國(guó)當(dāng)時(shí)的解法，是不是僅僅對(duì)一些特殊的高次方程而言的，沒(méi)有一般性？

　　不是這樣。中國(guó)的解法能解出任何一個(gè)高次方程來(lái)（有實(shí)根的）。那么這與剛剛說(shuō)過(guò)的五次以上的高次方程沒(méi)有一個(gè)一般的求根公式，矛盾不矛盾呢？

　　一點(diǎn)不矛盾，兩者考慮問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法完全不一樣。

　　那西洋塔爾塔里亞、卡當(dāng)一路的方法，是先得出一個(gè)一般的求根公式，以后的使用和求解就方便了，把具體的方程的系數(shù)代入公式，一次性解決問(wèn)題。想法好是好，只不過(guò)碰到五次以上就卡了殼，得另想招了。

　　這中國(guó)的想法，從《九章》那兒開(kāi)始，就是所謂“開(kāi)方術(shù)”這三個(gè)字，開(kāi)平方、開(kāi)立方、開(kāi)四次方等等，咱們中國(guó)研究得都很透徹。而這種方法解高次方程的實(shí)質(zhì)，是一種所謂迭代的思想。也就是先估算出一個(gè)近似的根，而后根據(jù)給的方程和法則得一個(gè)迭代公式，將近似根代入公式而得出新的近似值，再代入，再得之，使得這個(gè)近似根一步比一步更精確。

　　有人說(shuō)，哪有公式法求根來(lái)得好。其實(shí)，真正實(shí)用的還是這種迭代法，何況五次以上的方程還根本沒(méi)有求根公式呢。

　　迭代法是現(xiàn)代計(jì)算方程根的一種主要方法，因?yàn)楦鶕?jù)迭代的公式，很容易編成程序，上計(jì)算機(jī)運(yùn)算。咱們中國(guó)用來(lái)解高次方程的那種“開(kāi)方術(shù)”，就和600年后牛頓迭代法是完全一樣的。

　　這解方程、討論方程的解，一直到19世紀(jì)，都是代數(shù)學(xué)的主要問(wèn)題，甚至變成了唯一的問(wèn)題。不過(guò)咱們都知道，代數(shù)要真正地從算術(shù)中獨(dú)立，要使人相信代數(shù)得出的結(jié)果也像幾何那樣可靠，要使代數(shù)也變得嚴(yán)密，變得有規(guī)律，那么，一套完整簡(jiǎn)單的符號(hào)，是非常重要的。

　　咱們都知道，這代數(shù)的符號(hào)系統(tǒng)，大致經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展階段。而那希臘亞歷山大時(shí)期的丟蕃都老先生，還有咱中國(guó)的秦九韶、朱世杰諸前輩，都把這符號(hào)發(fā)展到一定的高度，但是還不夠簡(jiǎn)潔，還沒(méi)有徹底符號(hào)化，所以只能算是第二個(gè)階段，初級(jí)階段。

　　而韋達(dá)（1540—1603），這個(gè)咱們每位中學(xué)生都熟悉的數(shù)學(xué)家，在這方面就做出了更大的貢獻(xiàn)。也許咱們能說(shuō)，是韋達(dá)才真正把代數(shù)從算術(shù)中分開(kāi)。

　　韋達(dá)先生是個(gè)專業(yè)律師，研究數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛(ài)好。早先，一開(kāi)始，韋達(dá)最大的興趣是從政，治國(guó)平天下。所以就在議會(huì)里工作過(guò)，還當(dāng)過(guò)一位親王的樞密顧問(wèn)官。

　　后來(lái)，在 1584年，韋達(dá)先生下了野，歸耕垅畝，就安心專門(mén)搞了五六年數(shù)學(xué)，還自費(fèi)出版了自己的著作，這也是顯示揚(yáng)名的好機(jī)會(huì)。

　　關(guān)于韋達(dá)，倒也有些趣事。有一位國(guó)家的大使向國(guó)王亨利四世夸口，說(shuō)法國(guó)沒(méi)有一位數(shù)學(xué)家能解決他的同國(guó)人提出的需要解45次方程的問(wèn)題。于是韋達(dá)被召入王宮，幾分鐘內(nèi)就給出了兩個(gè)根，后來(lái)又求出了21個(gè)根。他把負(fù)根漏掉了。

　　韋達(dá)大揚(yáng)國(guó)威，也使那位提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)家大為佩服，親自騎著牲口長(zhǎng)途跋涉拜訪韋達(dá)先生，兩人切磋學(xué)術(shù)，大有相見(jiàn)恨晚之慨。

　　韋達(dá)的才能在治國(guó)安邦上大展宏圖。那時(shí)法國(guó)和西班牙開(kāi)仗，韋達(dá)破譯了西班牙的密碼，使得法軍對(duì)西班牙的動(dòng)態(tài)了如指掌，不到兩年功夫就打敗了西班牙。

　　可憐的西班牙菲力普三世，敗了還不知道怎么敗的。弄得一頭霧水犯迷糊，還向教皇告御狀，說(shuō)法國(guó)在對(duì)付西班牙時(shí)用了魔法，與基督教的慣例不符合。

　　那么韋達(dá)在符號(hào)方面究竟有多大的貢獻(xiàn)呢？在韋達(dá)以前不也有不少人，比如丟蕃都、卡當(dāng)、秦九韶、朱世杰等等，不也用了符號(hào)表示嗎？

　　這話說(shuō)得也不錯(cuò)。但是韋達(dá)之前，一般用不同的字母，表示一個(gè)未知量的各次冪；而韋達(dá)用同一個(gè)字母，而把它的各次冪適當(dāng)用其他符號(hào)說(shuō)明一下。

　　更不一般的是，以前未知量的系數(shù)都只能是常數(shù)。比如咱們前面看到過(guò)

　　實(shí)際在塔爾塔里亞那會(huì)兒，系數(shù)和常數(shù)不是寫(xiě)成p和 q，而是一些具體的數(shù)字。咱們不過(guò)為了說(shuō)話的方便，反映反映塔爾塔里亞解法的實(shí)質(zhì)，把這些具體的數(shù)字寫(xiě)成字母p和q。

　　把系數(shù)用字母表示出來(lái)，就有了一般性，意義可就不一般了。

　　韋達(dá)充分體會(huì)到這一點(diǎn)，他充分認(rèn)識(shí)到，如果一元二次方程寫(xiě)成 ax2＋bx＋c=0，那么所處理的就不是一些單個(gè)的二次方程，而是整整一類，所有的一元二次方程！

　　他曾經(jīng)這么說(shuō)過(guò)，代數(shù)，是處理一類事物、一類形式的運(yùn)算方法；而算術(shù)，是同數(shù)字打交道的。這樣，代數(shù)就一下子成為研究一般類型的式子和方程的學(xué)問(wèn)啦！一般情形可就包括了無(wú)窮多的特殊情形，咱們的思維就真正能機(jī)械化了，而不是見(jiàn)一種特殊情況，想一種招術(shù)。

　　代數(shù)真正的獨(dú)立出來(lái)了。當(dāng)然，符號(hào)的完善和簡(jiǎn)化，還要進(jìn)一步的努力�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的帷幕已經(jīng)拉開(kāi)，序曲已經(jīng)奏響，波瀾壯闊千變?nèi)f化既廣泛又深入既抽象又生動(dòng)的數(shù)學(xué)大潮在向我們涌來(lái)。讓咱們迎接這個(gè)偉大時(shí)刻的到來(lái)吧。

　　欲知后事如何，且聽(tīng)下回分解。