人類是動物進化的產(chǎn)物，最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達的大腦對客觀世界的認(rèn)識已經(jīng)達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結(jié)繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經(jīng)》中有"結(jié)繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結(jié)來計算天數(shù)。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號。 數(shù)的概念最初不論在哪個地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號卻大小相同。 古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。 實際上，羅馬數(shù)字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)： 1．重復(fù)次數(shù)：一個羅馬數(shù)字符號重復(fù)幾次，就表示這個數(shù)的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左減：一個代表大數(shù)字的符號右邊附一個代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數(shù)字的符號左邊附一個代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個數(shù)字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我國古代也很重視記數(shù)符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號，不過難寫難認(rèn)，后人沒有沿用。到春秋戰(zhàn)國時期，生產(chǎn)迅速發(fā)展，適應(yīng)這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數(shù)和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。 從算籌數(shù)碼中沒有"10"這個數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進制。9位以上的數(shù)就要進一位。同一個數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計算法在當(dāng)時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數(shù)字中沒有"零"，是很容易發(fā)生錯誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現(xiàn)有關(guān)。不過多數(shù)人認(rèn)為，"0"這一數(shù)學(xué)符號的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，后來逐漸變成了"0"。 說起"0"的出現(xiàn)，應(yīng)該指出，我國古代文字中，"零"字出現(xiàn)很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應(yīng)，"零"也就具有了"0"的含義。 如果你細(xì)心觀察的話，會發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有"0"。其實在公元5世紀(jì)時，"0"已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 但"0"的出現(xiàn)，誰也阻擋不住�，F(xiàn)在，"0"已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，并不是說沒有氣溫；"0"是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）。 除了十進制以外，在數(shù)學(xué)萌芽的早期，還出現(xiàn)過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數(shù)字進制法。在長期實際生活的應(yīng)用中，十進制最終占了上風(fēng)。 現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進了自己的數(shù)學(xué)中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。 數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結(jié)果。 隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示自然數(shù)是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國對分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零，通稱為算術(shù)數(shù)。自然數(shù)也稱為正整數(shù)。 隨著社會的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計算起來感到方便多了。 但是，在數(shù)字的發(fā)展過程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘，那里有一個畢達哥拉斯學(xué)派，是一個研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團體。他們認(rèn)為"數(shù)"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使"數(shù)"不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學(xué)派中一個叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項時，發(fā)現(xiàn)沒有一個能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個數(shù)為X，既然，推導(dǎo)的結(jié)果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設(shè)對角線為x ，根據(jù)勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數(shù)，這個數(shù)肯定是存在的�？伤嵌嗌�？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后認(rèn)定這是一個從未見過的新數(shù)。這個新數(shù)的出現(xiàn)使畢達哥拉斯學(xué)派感到震驚，動搖了他們哲學(xué)思想的核心。為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌，他們規(guī)定對新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據(jù)說他后來被扔進大海喂了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們后來又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們?yōu)闊o理數(shù)。 有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)范圍內(nèi)對各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論達到了相當(dāng)高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀(jì)。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極，數(shù)字的形式也不會有什么新的發(fā)現(xiàn)了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數(shù)負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數(shù)學(xué)運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數(shù)就這樣誕生了。"i "成了虛數(shù)的單位。后人將實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數(shù)），這就是復(fù)數(shù)。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量，所以虛數(shù)總讓人感到虛無縹緲。隨著科學(xué)的發(fā)展，虛數(shù)現(xiàn)在在水力學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，在掌握和會使用虛數(shù)的科學(xué)家眼中，虛數(shù)一點也不"虛"了。 數(shù)的概念發(fā)展到虛和復(fù)數(shù)以后，在很長一段時間內(nèi)，連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了，數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了�？墒�1843年10月16日，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了"四元數(shù)"的概念。所謂四元數(shù)，就是一種形如的數(shù)。它是由一個標(biāo)量 （實數(shù)）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數(shù)）組成的。四元數(shù)的數(shù)論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應(yīng)用。與此同時，人們還開展了對"多元數(shù)"理論的研究。多元數(shù)已超出了復(fù)數(shù)的范疇，人們稱其為超復(fù)數(shù)。 由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產(chǎn)生，把數(shù)學(xué)研究推向新的高峰。這些概念也都應(yīng)列入數(shù)字計算的范疇，但若歸入超復(fù)數(shù)中不太合適，所以，人們將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)稱為狹義數(shù)，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數(shù)。盡管人們對數(shù)的歸類法還有某些分歧，但在承認(rèn)數(shù)的概念還會不斷發(fā)展這一點上意見是一致的。到目前為止，數(shù)的家庭已發(fā)展得十分龐大。
