·每道題的答題時(shí)間不應(yīng)超過15分鐘。答案明日公布！
難度：★★★★
小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)天天練：計(jì)數(shù)
一個(gè)長方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長方形最多把平面分成多少部分?
【答案】
解答：一個(gè)長方形把平面分成兩部分．第二個(gè)長方形的每一條邊至多把第一個(gè)長方形的內(nèi)部分成2部分，這樣第一個(gè)長方形的內(nèi)部至多被第二個(gè)長方形分成五部分．
同理，第二個(gè)長方形的內(nèi)部至少被第一個(gè)長方形分成五部分．這兩個(gè)長方形有公共部分(如下圖，標(biāo)有數(shù)字9的部分)．還有一個(gè)區(qū)域位于兩個(gè)長方形外面，所以兩個(gè)長方形至多把平面分成10部分．
第三個(gè)長方形的每一條邊至多與前兩個(gè)長方形中的每一個(gè)的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個(gè)長方形內(nèi)部的某一部分一分為二，所以至多增加3×4=12個(gè)部分．而第三個(gè)長方形的4個(gè)頂點(diǎn)都在前兩個(gè)長方形的外面，至多能增加4個(gè)部分．
所以三個(gè)長方形最多能將平面分成10+12+4=26．
難度：★★★★★
小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)天天練：計(jì)數(shù)
一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，…，A11，A12．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問共有多少種不同的連法?
【答案】
解答：我們采用遞推的方法．
I如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法．
�、蛉绻麍A上有6個(gè)點(diǎn)，除A1點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A1所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法．
�、笕绻麍A上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1所在的三角形．此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在：
�、貯1所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；
②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上．
在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的�。�
如果是情形①，則由Ⅱ，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；
如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法．
共有12種連法。
�、糇詈罂紤]圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A1所在三角形，剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能：
①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上：
�、谟�6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；
③每三個(gè)點(diǎn)在A1所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55種。
所以當(dāng)圓周上有12個(gè)點(diǎn)時(shí)，滿足題意的連法有55種。
