關于分解質因數(shù)的例題講析
通過把一個合數(shù)分解為兩個或兩個以上質因數(shù)，來解答應用題的解題方法叫做分解質因數(shù)法。
分解質因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時有用，在學習有理數(shù)的運算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應用。分解質因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。
*例1 ABC×D=1673，在這個乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于六年級程度）
解：因為ABC×D=1673，ABC是一個三位數(shù)，所以可把1673分解質因數(shù)，然后把質因數(shù)組合成一個三位數(shù)與另一個數(shù)相乘的形式，這個三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。
1673=239×7
答：ABC代表239。
例2 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長是多少米？（適于六年級程度）
解：先把2304分解質因數(shù)，并把分解后所得的質因數(shù)分成積相同的兩組質因數(shù)，每組質因數(shù)的積就是正方形的邊長。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）
=48×48
正方形的邊長是48米。
這塊田地的周長是：
48×4=192（米）
答略。
*例3 有3250個桔子，平均分給一個幼兒園的小朋友，剩下10個。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個。求這個幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級程度）
解：3250-10=3240（個）
把3240分解質因數(shù)：
3240=23×34×5
接近40的數(shù)有36、37、38、39
這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。
23×34×5÷（22×32）
=2×32×5
=90
答：這個幼兒園有90名小朋友。
*例4 105的約數(shù)共有幾個？（適于六年級程度）
解：求一個給定的自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，可先將這個數(shù)分解質因數(shù)，然后按一個質數(shù)、兩個質數(shù)、三個質數(shù)的乘積……逐一由小到大寫出，再求出它的個數(shù)即可。
因為，105=3×5×7，
所以，含有一個質數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個；
含有兩個質數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個；
含有三個質數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個。
所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個。
答略。
*例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個數(shù)平均分成三組，使每組三個數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級程度）
解：將這九個數(shù)分別分解質因數(shù)：
15=3×5
22=2×11
30=2×3×5
35=5×7
39=3×13
44=2×2×11
52=2×2×13
77=7×11
91=7×13
觀察上面九個數(shù)的質因數(shù)，不難看出，九個數(shù)的質因數(shù)中共有六個2，三個3，三個5，三個7，三個11，三個13，這樣每組中三個數(shù)應包括的質因數(shù)有兩個2，一個3，一個5，一個7，一個11和一個13。
由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：
15、52和77；
22、30和91；
35、39和44。
答略。
*例6 有四個學生，他們的年齡恰好一個比一個大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個學生的年齡分別是幾歲？（適于六年級程度）
解：把5040分解質因數(shù)：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四個學生的年齡一個比一個大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個連續(xù)自然數(shù)。用八個質因數(shù)表示四個連續(xù)自然數(shù)是：
7，2×2×2，3×3，2×5
即四個學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。
答略。
*例7 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的兩個括號中，填上適當?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級程度）
解：將已知等式的兩邊分解質因數(shù)，得：
5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）
把上面的等式化簡，得：
15×（ ）=4×（ ）
所以，在左邊的括號內填4，在右邊的括號內填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例8 把84名學生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級程度）
解：把84分解質因數(shù)：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的約數(shù)有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的 約數(shù)進行分組。 84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。
因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。
答略。
*例9 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個數(shù)分成兩組，每組四個數(shù)，要使各組數(shù)中四個數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級程度）
解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質因數(shù)，它們所含有的質因數(shù)一定相同。因此，首先應把八個數(shù)分解質因數(shù)。
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13
33=3×11 4445=5×7×127
75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的質因式中，質因數(shù)2、7、11、127各有2個，質因數(shù)3、5、13各有4個。
在把題中的八個數(shù)分為兩組時，應使每一組中的質因數(shù)2、7、11、127各有1個，質因數(shù)3、5、13各有2個。
按這個要求每一組四個數(shù)的積應是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因為，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根據(jù)接下來為“14、75、 143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個數(shù)是：30、33、169、4445。
答略。
*例10 一個長方形的面積是315平方厘米，長比寬多6厘米。求這個長方形的長和寬。（適于五年級程度）
解：設長方形的寬為x厘米，則長為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得：
x（x+6）= 315
x（x+6）=3×3×5×7
=（3×5）×（3×7）
x（x+6）=15×21
x（x+6）=15×（15+6）
x=15
x+6=21
答：這個長方形的長是21厘米，寬是15厘米。
*例11 已知三個連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個自然數(shù)各是多少？（適于五年級程度）
解：設這三個連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得：
（x-1）×x×（x+1）
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。
答：這三個連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。
*例12 將37分為甲、乙、丙三個數(shù)，使甲、乙、丙三個數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級程度）
解：把1440分解質因數(shù)：
1440= 12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）
=8×9×20
如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則：
8×9=72，
20×3+12=72
正符合題中條件。
答：甲、乙、丙三個數(shù)分別是8、9、20。
*例13 一個星期天的早晨，母親對孩子們說：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘 積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10。”從這次談話中，你能否確定母親在多大時，才生下第二個兒子？（適于六年級程度）
解：由題意可知，母親有三個兒子。母親的年齡與三個兒子年齡的乘積等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解質因數(shù)：
27090=43×7×5×32×2
根據(jù)“大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和”，重新組合上面的質因式得：
43×14×9×5
這個質因式中14就是9與5之和。
所以母親43歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。
43-9=34（歲）
答：母親在34歲時生下第二個兒子。
