9、有多少種方法可以把1994表示為兩個(gè)自然數(shù)之和？
分析：1994=1993+1=1+1993
=1992+2=2+1992
=……
=998+996+996+998
=997+997
解 ：一共有997種方法可以把1994寫成兩個(gè)自然數(shù)之和。
點(diǎn)金術(shù)：采用有限窮舉法并考慮到加法交換律。
10、試把14分拆為兩個(gè)自然數(shù)之和，使它們的乘積最大。
分析：把14分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，共有7種不同的方式。對(duì)每一種分拆計(jì)算相應(yīng)的乘積：
14=1+13， 1×13=13； 14=2+12， 2×12=24；
14=3+11， 3×11=33； 14=4+10， 4×10=40；
14=5+9， 5×9=45； 14=6+8， 6×8=48；
14=7+7， 7×7=49。
因此，當(dāng)把14分拆為兩個(gè)7之和時(shí)，乘積（7×7=49）最大。
點(diǎn)金術(shù)：巧用舉例法分析得出結(jié)論。
11、把14分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，在求出這些數(shù)的積，要使得到的乘積最大，應(yīng)把14如何分析？這個(gè)最大的乘積是多少？
分析：先考慮分成哪些數(shù)時(shí)乘積才盡可能地大。
首先分成的數(shù)中不能有1，這是顯然的。
其次，分成的數(shù)中不能有大于4的整數(shù)，否則可以將這個(gè)數(shù)再拆成2與另外一個(gè)數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)乘積一定比原數(shù)大，例如7就比它分成的2和5的乘積小。
再次，因?yàn)?=2×2，故我們可以只考慮將數(shù)分拆成2和3
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的數(shù)中如果有三個(gè)2，不如換成兩個(gè)3，既分成的數(shù)中至多只能有兩個(gè)2，其余都是3。
解：根據(jù)上面的分析，因把14分成四個(gè)3與一個(gè)2之和，
即：
14=3+3+3+3+2
這五個(gè)數(shù)的積最大，且最大值為3×3×3×2=162。
點(diǎn)金術(shù)：巧用排除和舉例法架起已知與未知之間的聯(lián)系。
12、有一些自然數(shù)，它可以表示為9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，求滿足上述條件的最小自然數(shù)。
分析：設(shè)滿足要求的最小自然數(shù)為11，由9個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是中間的數(shù)（第5個(gè)數(shù)）的9倍知，n是9的倍數(shù)；
同理，n是11的倍數(shù)；
又10個(gè)連續(xù)自然數(shù)a1,a2,…,a10的和為：
（a1+a10）×10÷2=5(a1+a10)
是5的倍數(shù)，所以n是5的倍數(shù)；
而9，11，5兩兩互質(zhì)，所以n是5×9×11=495的倍數(shù)，由n的最小性取n=495，事實(shí)上，有：
495=51+52+53+…+59（9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和）
=45+46+47+…+54（10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和）
=40+41+42+…+50（11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和）
從而知，滿足條件的最小自然數(shù)是495。
點(diǎn)金術(shù)：巧用同理的方法把已知和未知之間聯(lián)系起來。
13、把70表示成11個(gè)不同的自然數(shù)之和，同時(shí)要求含有質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)最多。
分析：先考慮把70表示成11個(gè)不同的自然數(shù)之和。
因1+2+3+……+11=66，現(xiàn)在要將4分配到適當(dāng)?shù)募訑?shù)上，使其和等于70，又要使這11個(gè)加數(shù)互不相等。
先將4分別加在后四個(gè)加數(shù)上，得到四種分拆方法：
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
再將4拆成1+3，把1和3放在適當(dāng)?shù)奈恢蒙�，僅有一種新方法：
70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
再將4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分別加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故這樣的分拆方法一共有五種。
顯然，這五種分拆方法中含有質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)最多的是：
1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
點(diǎn)金術(shù)：巧用舉例和篩選法得出結(jié)論。
用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？
分析：用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢與用2分和5分硬幣湊成不超過一元錢的湊法是一樣的。于是，本題轉(zhuǎn)化為：“有2分硬幣50個(gè)，5分硬幣20個(gè)，湊成不超過一元錢的不同湊法有多少種？”
解：按5分硬幣的個(gè)數(shù)分21類計(jì)數(shù)；
假若5分硬幣有20個(gè)，顯然只有一種湊法；
假若5分硬幣有19個(gè)，則2分硬幣的幣值不超過100-5×19=5（分），于是2分硬幣可取0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，既有3種不同的湊法；
假若5分硬幣有18個(gè)，則2分硬幣的幣值不超過100-5×18=10（分），于是2分硬幣可取0個(gè)、1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)或5個(gè)，既有6種不同的湊法；
…如此繼續(xù)下去，可以得到不同的湊法共有：
1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51
=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51
=90+400+51
=541（種）
點(diǎn)金術(shù)：巧用轉(zhuǎn)化法假設(shè)法架起已知與未知之間的橋梁。
15、將1992表示成若干個(gè)自然數(shù)的和,如果要使這些數(shù)的乘積最大,這些自然數(shù)是______.
(1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)
講析:若把一個(gè)整數(shù)拆分成幾個(gè)自然數(shù)時(shí),有大于4的數(shù),則把大于4的這個(gè)數(shù)再分成一個(gè)2與另一個(gè)大于2的自然數(shù)之和,則這個(gè)2與大于2的這個(gè)數(shù)的乘積肯定比它大.又如果拆分的數(shù)中含有1,則與"乘積最大"不符.
所以,要使加數(shù)之積最大,加數(shù)只能是2和3.
但是,若加數(shù)中含有3個(gè)2,則不如將它分成2個(gè)3.因?yàn)?×2×2=8,而3×3=9.
所以,拆分出的自然數(shù)中,至多含有兩個(gè)2,而其余都是3.
而1992÷3=664.故,這些自然數(shù)是664個(gè)3.
