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“中國剩余定理”問題的解題技巧

來源:奧數(shù)網(wǎng)整理 2011-07-04 19:31:28

智能內(nèi)容

  【問題】有1個數(shù),除以7余2.除以8余4,除以9余3,這個數(shù)至少是多少?

  這種問題稱為“中國剩余定理”問題。

  我一般用兩種方法解決這類問題。

  第一種是逐步滿足法,方法麻煩一點,但適合所有這類題目。

  第二種是最小共倍法,方法簡單,但只適合特殊類型的題目。

  還有“中國剩余定理”的方法,但它不完善且解法較為復(fù)雜,普及應(yīng)用有一定難度,還不穩(wěn)定。所以一般不用。

  下面分別介紹一下常用的兩種方法。

  通用的方法:逐步滿足法

  【問題】一個數(shù),除以5余1,除以3余2。問這個數(shù)最小是多少?

  把除以5余1的數(shù)從小到大排列:1,6,11,16,21,26,……

  然后從小到大找除以3余2的,發(fā)現(xiàn)最小的是11.

  所以11就是所求的數(shù)。

  先滿足一個條件,再滿足另一個條件,所以稱之為“逐步滿足法”。

  好多數(shù)學(xué)題目都可以用逐步滿足的思想解決。

  特殊的方法:最小公倍法

  情況一

  【問題】一個數(shù)除以5余1,除以3也余1。問這個數(shù)最小是多少?(1除外)

  除以5余1:說明這個數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。

  除以3余1:說明這個數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。

  所以,這個數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小,所以這個數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)減去1后是15,所以這個數(shù)是15+1=16.

  情況二

  【問題】一個數(shù)除以5余4,除以3余2。問這個數(shù)最小是多少?

  這種情況也可以用特殊法。

  數(shù)除以5余4,說明這個數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。

  數(shù)除以3余2,說明這個數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。

  所以,這個數(shù)加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小,所以這個數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)加上1后是15,所以這個數(shù)是15-1=14.

  多個數(shù)的,比如3個數(shù)的,有時候其中兩個可以用特殊法,那就先用特殊法,用特殊法求出滿足兩個條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個條件的數(shù)。

  所以有時候特殊法和通用法混合使用。在使用的過程中如果能靈活運用余數(shù)問題的技巧,會非常有利于解題。

  我們接下來分析最開始的那個問題。

  【問題】有1個數(shù),除以7余2.除以8余4,除以9余3,這個數(shù)至少是多少?

  這道題目不能用特殊法,我們用通用法,解題過程中注意余數(shù)知識的運用。

  除以7余2的數(shù)可以寫成7n+2。

  7n+2這樣的數(shù)除以8余4,由于2除以8余2,所以要求7n除以8余2。(余數(shù)知識)

  7n除以8余2,7除以8余7,要求n除以8余6(余數(shù)知識),則n最小取6。

  所以滿足“除以7余2,除以8余4”的最小的數(shù)是7×6+2=44.

  所有滿足“除以7余2,除以8余4”的數(shù)都可以寫成44+56×m。(想想為什么?)

  要求44+56×m除以9余3,由于44除以9余8,所以要求56×m除以9余4。(余數(shù)知識)

  56×m除以9余4,由于56除以9余2,所以要求m除以9余2(余數(shù)知識),則m最小取2。

  所以滿足“除以7余2,除以8余4,除以9余3”的最小的數(shù)是44+56×2=156.

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