整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識(shí)以外，還必須通過課外活動(dòng)來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識(shí)，以及解決問題的思路和方法。

　　對(duì)于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時(shí)要用下面的方法來表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　

　　就是

　　

一、整除

　　整除是整數(shù)問題中一個(gè)重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時(shí)，b是a的一個(gè)因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù).

　　1.整除的性質(zhì)

　　性質(zhì)1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設(shè)a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性質(zhì)2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性質(zhì)3 如果a能同時(shí)被m、n整除，那么a也一定

　　能被m和n的最小公倍數(shù)整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.

　　如果兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.

　　例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.

　　性質(zhì)4 整數(shù)a，能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72

　　能被3與4的乘積12整除.

　　性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.

　　性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.因?yàn)閎與c互

　　質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運(yùn)用如下解題思路：

　　要使a被b×c整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題.

　　2.數(shù)的整除特征

　�。�1）能被2整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.

　�。�2）能被5整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.

　�。�3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　�。�4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　�。�5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　�。�6）能被11整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減�。┠鼙�11整除，那么它必能被11整除.

　　

　　是什么數(shù)字？

　　解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考慮被9整除，四個(gè)數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此數(shù)是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此數(shù)是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此數(shù)是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此數(shù)是7848.

　　因此其中最小數(shù)是7146.

　　根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個(gè)典型.

　　例2 一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請(qǐng)把這筆賬補(bǔ)上.

　　解：把□67.9□寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.72＝9×8，9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　這筆帳是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個(gè)數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個(gè)數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.

　　解：如果選數(shù)字5，組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個(gè)數(shù)字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個(gè)2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是

　　122364.

　　例4 四位數(shù)7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).

　　解：55＝5×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個(gè)位數(shù)只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　�。�7+4）-（百位數(shù)字+0）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.

　�。�7+4）-（百位數(shù)字+5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被所有不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645.

　　滿足條件的四位數(shù)只有兩個(gè)：7040，7645.

　　例5 一個(gè)七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個(gè)？

　　

　　，要使它被11整除，要滿足

　�。�9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個(gè)數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.

　　再介紹另一種解法.

　　先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11（參見下頁除式）.

　　要滿足題目的條件，這個(gè)數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個(gè)數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個(gè)數(shù)字.

 

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個(gè)數(shù)是9876504.

　　思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個(gè)數(shù)呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某個(gè)七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？

　　與上例題一樣，有兩種解法.

　　解一：從整除特征考慮.

　　這個(gè)七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.

　　另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個(gè)數(shù)：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.

　　解二：直接用除式來考慮.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個(gè)七位數(shù)要被2520整除.

　　現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

 

　　因?yàn)?2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面這個(gè)41位數(shù)

 

　　能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？

　　解：因?yàn)?111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.這樣，18個(gè)5和18個(gè)9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.

　　

　　右邊的三個(gè)加數(shù)中，前、后兩個(gè)數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數(shù)就能被7整除.

　　把55□99拆成兩個(gè)數(shù)的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因?yàn)?丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，記住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.

　　兩人先約定一個(gè)整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字之一填入下面任一個(gè)方格中

 

　　每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個(gè)六位數(shù).如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.

　　如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙能取勝？

　　解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數(shù)的個(gè)位，填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.

　　上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.

　　如果N＝1，很明顯乙必獲勝.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.

　　考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個(gè)六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.

　　綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.

　　記住，1001＝7×11×13，在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測(cè)驗(yàn)題時(shí)，常常是有用的.

二、分解質(zhì)因數(shù)

　　一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.

　　質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….

　　例9 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.

　　解：209可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即

　　209＝11×19.

　　不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.

　　這個(gè)算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.

　　一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).

　　任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　還可以寫成360＝2³×3²×5.

　　這里2³表示3個(gè)2相乘，3²表示2個(gè)3相乘.在2³中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在3²中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.

　　例10 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

　　5040＝2⁴×3²×5×7.

　　再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：

　　2⁴×3²×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個(gè)簡單的例子.

　　我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

　　因?yàn)?4＝2³×3，所以24的約數(shù)是2³的約數(shù)（1，2，2²，2³）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，2²×1，2²×3，2³×1，2³×3.

　　這里有4×2＝8個(gè)，即 （3＋1）×（1＋1）個(gè)，即對(duì)于24＝2³×3中的2³，有（3＋1）種選擇：1，2，2²，2³，對(duì)于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，

　　144＝2⁴×3².

　　因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是（4＋1）×（2+1）＝15（個(gè)）.

　　例11 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）2⁷＝128，符合要求，

　　3⁷＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

　　（2）2³＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　3³＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　5³＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136.

　　利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如

　　720＝2⁴×3²×5，168＝2³×3×7.

　　那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是2³，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是

　　2³×3＝ 24.

　　在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

　　2⁴×3²×5×7＝5040.

　　例12 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少？

　　解：180＝2²×3²×5，

　　30＝2×3×5.

　　對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從2²與2就知道，一數(shù)中含2²，另一數(shù)中含2；從3²與3就知道，一數(shù)中含3²，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是

　　90＝2×3²×5.

　　就知道另一數(shù)是

　　2²×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.

　　例13 有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

　　解：把420分解質(zhì)因數(shù)

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是

　　

　　

　　兩個(gè)整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.

　　例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù).

　　利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非�；�本又是很有用的方法，再舉三個(gè)例題.

　　例14 將8個(gè)數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，并且每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，請(qǐng)寫出一種分組.

　　解：要想每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也一樣才行.把8個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù).

　　6＝2×3， 24＝2³×3，

　　45＝3²×5， 65＝5×13，

　　77＝7×11， 78＝2×3×13，

　　105＝3×5×7， 110＝2×5×11.

　　先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個(gè)2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，必須把77和65放在第一組中.看質(zhì)因數(shù)7，105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到

　　第一組：24，65，77，45.

　　第二組：6，78，110，105.

　　在講述下一例題之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)名詞--完全平方數(shù).

　　一個(gè)整數(shù)，可以分解成相同的兩個(gè)整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù).

　　例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數(shù).

　　一個(gè)完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù).

　　例如：144＝3²×4²， 100＝2²×5²，…

　　例15 甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？

　　解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).

　　2800＝2⁴×5²×7.

　　在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

　　1，2²，2⁴，5²，2²×5²，2⁴×5².

　　在這6個(gè)數(shù)中只有2²×5²＝100，它的約數(shù)是（2＋1）×（2+1）＝9（個(gè)）.

　　2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝2²×5²，因此乙數(shù)至少要含有2⁴和7，而2⁴×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.

　　綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.

　　例16 小明買紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價(jià)都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴.小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？

　　解：35＝5×7.紅、藍(lán)的單價(jià)不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

　　記�。簩�(duì)筆價(jià)來說，已排除了5，7，10，12這四個(gè)數(shù).

　　筆價(jià)不能是35-17=18（元）的約數(shù).如果筆價(jià)是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價(jià)不能是18的約數(shù)：1，2，3，6，9.

　　當(dāng)然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.現(xiàn)在筆價(jià)又排除了：

　　1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.

　　綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍(lán)筆每支 4元.

三、余數(shù)

　　在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：

　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.

　　上面兩個(gè)算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是

　　被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù).

　　上面兩個(gè)算式可以寫成

　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.

　　也就是

被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).

　　通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖?ldquo;余數(shù)”出發(fā)去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的.

　　特別要提請(qǐng)注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時(shí)常作為依據(jù).

　　例17 5397被一個(gè)質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個(gè)質(zhì)數(shù).

　　解：這個(gè)質(zhì)數(shù)能整除

　　5397-15＝5382，

　　而 5382＝2×3¹⁹⁹⁷×13×23.

　　因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.

　　當(dāng)被除數(shù)較大時(shí)，求余數(shù)的一個(gè)簡便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).

　　例18 求645763除以7的余數(shù).

　　解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數(shù)是6.這個(gè)過程可簡單地記成

　　645763→15763→1763→363→13→6.

　　如果你演算能力強(qiáng)，上面過程可以更簡單地寫成：

　　645763→15000→1000→6.

　　帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：

　　如果兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)之差就能被那個(gè)除數(shù)整除.

　　例19 有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？

　　解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即

　　1000-967＝33＝3×11，

　　2001-1000＝1001＝7×11×13，

　　2001-967＝1034＝2×11×47.

　　這個(gè)整數(shù)是這三個(gè)差的公約數(shù)11.

　　請(qǐng)注意，我們不必求出三個(gè)差，只要求出其中兩個(gè)就夠了.因?yàn)榱硪粋�(gè)差總可以由這兩個(gè)差得到.

　　例如，求出差1000-967與2001-1000，

　　那么差

　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）

　�。�1001＋33

　�。�1034.

　　從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：

　　甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來除，得到兩個(gè)余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).

　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數(shù)是5＋9＝14被13除的余數(shù)1.

　　例20 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是15，第二個(gè)數(shù)是40，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)是多少？

　　解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個(gè)數(shù)起，把前兩個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：

 

　　從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?/font>

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.

　　一些有規(guī)律的數(shù)，常常會(huì)循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　這十二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)循環(huán).

　　按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　這也是一個(gè)循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時(shí)間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.

　　循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說周期是12，7個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.

　　下面我們?cè)倥e出兩個(gè)余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個(gè)從帶余除式得出的結(jié)論：

　　甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個(gè)余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)的積，被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數(shù)是 4×5＝20被 11除后的余數(shù) 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×2＝4.

　　例 21 19¹⁹⁹⁷被7除余幾？

　　解：從上面的結(jié)論知道，19¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)與2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).

　　先寫出一列數(shù)

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐個(gè)用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：

 

　　事實(shí)上，只要用前一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請(qǐng)想一想.）

　　從表中可以看出，第四個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對(duì)余數(shù)的計(jì)算，就知道，第五個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個(gè)數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)，與2¹⁹⁹⁷ 被 7除的余數(shù)相同，這個(gè)余數(shù)是4.

　　再看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.

　　例22 70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和.這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　問：最右邊一個(gè)數(shù)（第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？

　　解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)數(shù)：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

　　……

　　不過，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下：

　　將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.

　　用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下：

 

　　注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)0×3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來減 1.

　　從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：

　　“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：

　　一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù).

　　這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白的.這里，我們通過兩個(gè)例題，對(duì)較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.

　　例23 有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？

　　解：除以3余2的數(shù)有：

　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

　　它們除以12的余數(shù)是：

　　2，5，8，11，2，5，8，11，….

　　除以4余1的數(shù)有：

　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

　　它們除以12的余數(shù)是：

　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5.

　　上面解法中，我們逐個(gè)列出被3除余2的整數(shù)，又逐個(gè)列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個(gè)考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時(shí)，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的.

　　如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個(gè)數(shù).很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是

　　5＋ 12×整數(shù)，

　　整數(shù)可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問題有三個(gè)條件，我們可以先把兩個(gè)條件合并成一個(gè).然后再與第三個(gè)條件合并，就可找到答案.

　　例24 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的最小數(shù).

　　解：先列出除以3余2的數(shù)：

　　2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

　　再列出除以5余3的數(shù)：

　　3， 8， 13， 18， 23， 28，….

　　這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個(gè)條件合并成一個(gè)就是

　　8＋15×整數(shù)，

　　列出這一串?dāng)?shù)是

　　8， 23， 38，…，

　　再列出除以7余2的數(shù)

　　2， 9， 16， 23， 30，…，

　　就得出符合題目條件的最小數(shù)是23.

　　事實(shí)上，我們已把題目中三個(gè)條件合并成一個(gè)：被105除余23.

　　最后再看一個(gè)例子.

　　例25 在100至200之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù).

　　解：先找出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，第一個(gè)能被3整除，第二個(gè)能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是11.

　　3和5的最小公倍數(shù)是15，考慮11加15的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3，5，7整除.

　　為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數(shù)105.所求三數(shù)是

　　159， 160， 161.

　　注意，本題實(shí)際上是：求一個(gè)數(shù)（100～200之間），它被3整除，被5除余4，被7除余5.請(qǐng)考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？