從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律．
例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個(gè)點(diǎn)？
解：方法1：從上到下一行一行地?cái)?shù)，見下圖．
點(diǎn)的總數(shù)是：
5+5+5+5=5×4．
方法2：從左至右一列一列地?cái)?shù)，見下圖．
點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5．
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：
5×4=4×5
從這個(gè)等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：
兩個(gè)數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變．
這就是乘法交換律．
正因?yàn)檫@樣，在兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，以后我們也可以不再區(qū)分哪個(gè)是乘數(shù)，哪個(gè)是被乘數(shù)，把兩個(gè)數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個(gè)說法：
兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．
如果用字母a、b表示兩個(gè)因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．
方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖．
前一塊4行，每行3個(gè)點(diǎn)，共3×4個(gè)點(diǎn)．
后一塊4行，每行2個(gè)點(diǎn)，共2×4個(gè)點(diǎn)．
兩塊的總點(diǎn)數(shù)=3×4+2×4．
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：
3×4+2×4=5×4．
仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個(gè)數(shù)的關(guān)系：
3+2=5
所以上面的等式可以寫成：
3×4+2×4=（3+2）×4
也可以把這個(gè)等式調(diào)過頭來寫成：
�。�3+2）×4=3×4+2×4．
這就是乘法對(duì)加法的分配律．
如果用字母a、b、c代表三個(gè)數(shù)，那么乘法對(duì)加法的分配律可以表示成下面的形式：
（a+b）×c=a×c+b×c
分配律的意思是說：兩個(gè)數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積加上第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積之和．
進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號(hào)中是減法運(yùn)算的情況呢？請(qǐng)看下面的例子：
計(jì)算（3-2）×4和3×4-2×4．
解：（3-2）×4=1×4=4
3×4-2×4=12-8=4．
兩式的計(jì)算結(jié)果都是4，從而可知：
�。�3-2）×4=3×4-2×4
這就是說，這個(gè)分配律也適用于一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的差與第三個(gè)數(shù)相乘的情況．
如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個(gè)數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．
正因?yàn)檫@個(gè)分配律對(duì)括號(hào)中的“+”和“-”號(hào)都成立，于是，通常人們就簡(jiǎn)稱它為乘法分配律．
例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長(zhǎng)方體是由多少個(gè)小長(zhǎng)方體組成的？
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見上右圖．
第一層 4×2個(gè)
第二層 4×2個(gè)
第三層 4×2個(gè)
三層小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)（4×2）×3個(gè)．
方法2：從左至右一排一排地?cái)?shù)，見下圖．
第一排 2×3個(gè)
第二排 2×3個(gè)
第三排 2×3個(gè)
第四排 2×3個(gè)
四排小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)為（2×3）×4．
若把括號(hào)中的2×3看成是一個(gè)因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．
因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中小長(zhǎng)方體的總個(gè)數(shù)是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．
這就是說在三個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同．
或是說，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘以第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再去乘第一個(gè)數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律．
如果用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．
巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔、迅速．
從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計(jì)算公式．
例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)？
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖．
總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群（但要上下顛倒放置）和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立（見下圖）：
三角形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2
因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=10×9=（1+9）×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2=45．
進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來看：
方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù)．
方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”．經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長(zhǎng)方形點(diǎn)群，而長(zhǎng)方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來了．
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2．
這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡(jiǎn)單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國(guó)的古算書上就出現(xiàn)了．
