二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題
對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。
例7 某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？
分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。
解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得
由①②，得
將③代入①，得
說明：此題引入v1，v2兩個(gè)未知量作參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書《五年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)課》第26講。
例8 整片牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，那么有多少頭牛？
分析：本題中牧場(chǎng)原有草量是多少？每天能生長(zhǎng)草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個(gè)方程。若能消去a，b，c，便可解決問題。
解：設(shè)整片牧場(chǎng)的原有草量為a，每天生長(zhǎng)的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內(nèi)能把牧場(chǎng)上的草吃完，則有
�、�-①，得
36b=120C。 ④
�、�-②，得
96xc=1800c＋36b。 ⑤
將④代入⑤，得
96xc＝1800c+120c。
解得x=20。
答：有20頭牛。
例9 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米。車從甲地開往乙從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？
解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得
①＋②，得
將y=210－x代入①式，得
解得x＝140。
答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。
